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1.「2025湖北中考」一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是 （
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
由方程$x^2-4x+3=0$可知,$a=1,b=-4,c=3$,
$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1x_2=\frac{c}{a}=3$.故选D.
$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1x_2=\frac{c}{a}=3$.故选D.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；最后代入公式计算两根和与两根积，和选项逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，可排除A、B选项；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，可排除C选项。
因此只有D选项结论正确。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别方程中各项的系数，牢记公式的同时避免符号计算错误，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；最后代入公式计算两根和与两根积，和选项逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，可排除A、B选项；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，可排除C选项。
因此只有D选项结论正确。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别方程中各项的系数，牢记公式的同时避免符号计算错误，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.「2026辽宁营口月考」已知$α,β$是方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$的两个实数根，则$αβ - 2(α+β) + 4$的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{13}{2}$
C.$3$
D.$\frac{3}{2}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{13}{2}$
C.$3$
D.$\frac{3}{2}$
答案
由根与系数的关系得 $α+β=\frac{3}{2},αβ=-\frac{1}{2}$,
$\therefore αβ-2(α+β)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$.
故选 A.
$\therefore αβ-2(α+β)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$.
故选 A.
解析
【分析】
本题要求关于一元二次方程两个实数根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算。解题思路为：第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据根与系数的关系求出两根之和α+β与两根之积αβ；第三步将所求的α+β、αβ整体代入待求代数式，计算得到结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=-1$。
根据根与系数的关系，若$α、β$是方程的两个实数根，则：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$，
$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
将上述结果代入代数式$αβ - 2(α+β) + 4$得：
原式$=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4$
$=-\frac{1}{2}-3+4$
$=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规考查题型，重点考查对相关公式的记忆与应用，采用整体代入的方法计算可简化运算，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
本题要求关于一元二次方程两个实数根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算。解题思路为：第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据根与系数的关系求出两根之和α+β与两根之积αβ；第三步将所求的α+β、αβ整体代入待求代数式，计算得到结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=-1$。
根据根与系数的关系，若$α、β$是方程的两个实数根，则：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$，
$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
将上述结果代入代数式$αβ - 2(α+β) + 4$得：
原式$=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4$
$=-\frac{1}{2}-3+4$
$=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规考查题型，重点考查对相关公式的记忆与应用，采用整体代入的方法计算可简化运算，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
3.「2026天津红桥月考」一元二次方程$x^2+mx+m-1=0$的两个根分别为$x_1,x_2$,若$x_1 · x_2=3$,则$x_1+x_2$的值为
-4
.答案
答案 -4
解析 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=-m,x_1 · x_2=m-1=3,\therefore m=4,\therefore x_1+x_2=-m=-4$.
解析 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=-m,x_1 · x_2=m-1=3,\therefore m=4,\therefore x_1+x_2=-m=-4$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$中，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$；第二步，结合题目给出的两根之积$x_1·x_2=3$，列出关于参数$m$的方程，求解得到$m$的值；第三步，将$m$代入两根之和的公式，即可算出$x_1+x_2$的结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+mx+m-1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-1$。
根据根与系数的关系可得：$x_1·x_2=\frac{c}{a}=m-1$，
已知$x_1·x_2=3$，因此$m-1=3$，解得$m=4$。
又因为两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，将$m=4$代入得$x_1+x_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟记两根之和、两根之积与方程各项系数的对应关系，通过已知条件先求参数再计算目标值即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$中，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$；第二步，结合题目给出的两根之积$x_1·x_2=3$，列出关于参数$m$的方程，求解得到$m$的值；第三步，将$m$代入两根之和的公式，即可算出$x_1+x_2$的结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+mx+m-1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-1$。
根据根与系数的关系可得：$x_1·x_2=\frac{c}{a}=m-1$，
已知$x_1·x_2=3$，因此$m-1=3$，解得$m=4$。
又因为两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，将$m=4$代入得$x_1+x_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟记两根之和、两根之积与方程各项系数的对应关系，通过已知条件先求参数再计算目标值即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
4.「2025四川乐山中考」若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为（
A.-1
B.1
C.-2
D.2
C
）A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案
C 由题意得 $x_1+x_2=1,x_1x_2=-2$,
$\therefore x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) = -2$.故选 C.
$\therefore x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) = -2$.故选 C.
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，可通过提取公因式将其变形为含两根之和、两根之积的形式，无需解出方程的具体根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，再整体代入计算即可，解题更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2$。
对所求代数式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$= -2 × 1 = -2$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
根与系数的关系；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，重点考查对韦达定理的掌握程度和代数式变形能力，通过整体代入的方法可快速求解，避免了解方程的繁琐，是该考点的常规题型。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，可通过提取公因式将其变形为含两根之和、两根之积的形式，无需解出方程的具体根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，再整体代入计算即可，解题更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2$。
对所求代数式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$= -2 × 1 = -2$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
根与系数的关系；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，重点考查对韦达定理的掌握程度和代数式变形能力，通过整体代入的方法可快速求解，避免了解方程的繁琐，是该考点的常规题型。
【难度系数】
0.8
5.「2025四川眉山中考」已知方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$的值为
-2
.答案
答案 -2
解析 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=2,x_1x_2=-5$.
$\therefore (x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
解析 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=2,x_1x_2=-5$.
$\therefore (x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需计算出方程两个根的具体值，首先先将待求的代数式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$展开整理，可发现整理后的式子包含两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系，直接从原方程的系数求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入整理后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
将待求式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用，解题核心是将待求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，避免求解方程的具体根，大大简化计算过程，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需计算出方程两个根的具体值，首先先将待求的代数式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$展开整理，可发现整理后的式子包含两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系，直接从原方程的系数求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入整理后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
将待求式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用，解题核心是将待求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，避免求解方程的具体根，大大简化计算过程，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.85
6.「2026河北沧州期中」若直角三角形的两条直角边的长$a,b$是方程$2x^2 -6x +1=0$的两个根，则该直角三角形的斜边长为
$2\sqrt{2}$
。答案
答案 $2\sqrt{2}$
解析 由根与系数的关系得 $a+b=-\frac{-6}{2}=3,ab=\frac{1}{2}$,
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×\frac{1}{2}=8$,
$\therefore$ 直角三角形的斜边长为 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.故答案为 $2\sqrt{2}$.
解析 由根与系数的关系得 $a+b=-\frac{-6}{2}=3,ab=\frac{1}{2}$,
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×\frac{1}{2}=8$,
$\therefore$ 直角三角形的斜边长为 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.故答案为 $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}$，因此只需要求出$a^2+b^2$的值即可。已知$a、b$是一元二次方程的两个根，若直接求解方程得到$a、b$的值再计算平方和运算较繁琐，因此可以利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，再通过完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$求出$a^2+b^2$，最后代入勾股公式计算斜边即可。
【解析】
解：$\because a、b$是方程$2x^2 -6x +1=0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{-6}{2}=3$，$ab=\frac{1}{2}$，
根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×\frac{1}{2}=9-1=8$，
$\because$该三角形是直角三角形，$a、b$为两条直角边的长，
$\therefore$斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，解题的核心是避免直接求解方程的根，灵活运用根与系数的关系结合完全平方公式的变形求代数式的值，简化了运算过程，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}$，因此只需要求出$a^2+b^2$的值即可。已知$a、b$是一元二次方程的两个根，若直接求解方程得到$a、b$的值再计算平方和运算较繁琐，因此可以利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，再通过完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$求出$a^2+b^2$，最后代入勾股公式计算斜边即可。
【解析】
解：$\because a、b$是方程$2x^2 -6x +1=0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{-6}{2}=3$，$ab=\frac{1}{2}$，
根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×\frac{1}{2}=9-1=8$，
$\because$该三角形是直角三角形，$a、b$为两条直角边的长，
$\therefore$斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，解题的核心是避免直接求解方程的根，灵活运用根与系数的关系结合完全平方公式的变形求代数式的值，简化了运算过程，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.「2026河北廊坊安次月考」已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 -5x +1=0$的两个实数根,求下列各式的值:
(1)$(x_1 -2)(x_2 -2)$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
(1)$(x_1 -2)(x_2 -2)$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
答案
解析 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=\frac{5}{2},x_1x_2=\frac{1}{2}$.
(1)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=\frac{1}{2}-2×\frac{5}{2}+4=-\frac{1}{2}$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(\frac{5}{2})^2-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{21}{2}$.
(1)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=\frac{1}{2}-2×\frac{5}{2}+4=-\frac{1}{2}$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(\frac{5}{2})^2-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{21}{2}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，无需直接求解方程的根，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般式，利用根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将待求的代数式进行恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可得到结果。其中(1)式可直接利用多项式乘多项式法则展开变形，(2)式先通分，再结合完全平方公式进行变形。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -5x +1=0$，可得：
$x_1+x_2=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$
(1) 展开式子变形：
$(x_1 -2)(x_2 -2)=x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4$
代入数值计算：
原式$=\frac{1}{2} - 2×\frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{2} - 5 + 4 = -\frac{1}{2}$
(2) 通分后结合完全平方公式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{25}{4} - 1}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{21}{2}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}$；(2)$\frac{21}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心思路是将待求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，可避免直接求解方程根的繁琐运算，重点考查代数式变形能力和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，无需直接求解方程的根，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般式，利用根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将待求的代数式进行恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可得到结果。其中(1)式可直接利用多项式乘多项式法则展开变形，(2)式先通分，再结合完全平方公式进行变形。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -5x +1=0$，可得：
$x_1+x_2=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$
(1) 展开式子变形：
$(x_1 -2)(x_2 -2)=x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4$
代入数值计算：
原式$=\frac{1}{2} - 2×\frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{2} - 5 + 4 = -\frac{1}{2}$
(2) 通分后结合完全平方公式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{25}{4} - 1}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{21}{2}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}$；(2)$\frac{21}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心思路是将待求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，可避免直接求解方程根的繁琐运算，重点考查代数式变形能力和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
8.「2026安徽合肥期末」已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若原方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 =3$,求$m$的值.
(1)求证:不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若原方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 =3$,求$m$的值.
答案
解析 (1)证明:$\because a=1,b=-(m+2),c=m-1$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4(m-1)=m^2+8$.
$\because m^2\ge0,\therefore m^2+8＞0$,即 $\Delta＞0$,
$\therefore$ 不论 $m$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+2,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$,
$\therefore x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=(m+2)^2-(m-1)=m^2+4m+4-m+1=m^2+3m+5$.
$\because x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3,\therefore m^2+3m+5=3$,
整理得 $m^2+3m+2=0,\therefore (m+1)(m+2)=0$,
解得 $m_1=-1,m_2=-2,\therefore m$ 的值为-1或-2.
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4(m-1)=m^2+8$.
$\because m^2\ge0,\therefore m^2+8＞0$,即 $\Delta＞0$,
$\therefore$ 不论 $m$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+2,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$,
$\therefore x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=(m+2)^2-(m-1)=m^2+4m+4-m+1=m^2+3m+5$.
$\because x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3,\therefore m^2+3m+5=3$,
整理得 $m^2+3m+2=0,\therefore (m+1)(m+2)=0$,
解得 $m_1=-1,m_2=-2,\therefore m$ 的值为-1或-2.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，证明化简结果恒大于0即可。
(2)已知含两根的代数式的值求参数，需利用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再将所求代数式通过完全平方公式变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1)证明：$\because$ 方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1,b=-(m+2),c=m-1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4(m-1)=m^2+8$，
$\because$ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$，
$\therefore m^2+8＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 不论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+2,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$，
对代数式变形可得：
$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$，
代入得：$(m+2)^2-(m-1)=m^2+4m+4-m+1=m^2+3m+5$，
$\because x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3$，
$\therefore m^2+3m+5=3$，
整理得 $m^2+3m+2=0$，因式分解得$(m+1)(m+2)=0$，
解得 $m_1=-1,m_2=-2$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$m$的值为$-1$或$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，主要考察根的判别式、韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握相关公式，对代数式进行正确变形，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
(1)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，证明化简结果恒大于0即可。
(2)已知含两根的代数式的值求参数，需利用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再将所求代数式通过完全平方公式变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1)证明：$\because$ 方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1,b=-(m+2),c=m-1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4(m-1)=m^2+8$，
$\because$ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$，
$\therefore m^2+8＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 不论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+2,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$，
对代数式变形可得：
$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$，
代入得：$(m+2)^2-(m-1)=m^2+4m+4-m+1=m^2+3m+5$，
$\because x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3$，
$\therefore m^2+3m+5=3$，
整理得 $m^2+3m+2=0$，因式分解得$(m+1)(m+2)=0$，
解得 $m_1=-1,m_2=-2$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$m$的值为$-1$或$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，主要考察根的判别式、韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握相关公式，对代数式进行正确变形，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
9.「2026山东济南莱芜月考」若$x=-1$是关于$x$的方程$x^2 - 2x - m = 0$的一个根，则方程的另一个根是（
A.-3
B.3
C.-1
D.1
B
）A.-3
B.3
C.-1
D.1
答案
9.B 设另一个根为 $x_2$,由根与系数的关系得 $-1+x_2=2$,
解得 $x_2=3$.故选 B.
解得 $x_2=3$.故选 B.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：思路一：先将已知根x=-1代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路二：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和等于-b/a的结论计算，无需计算参数即可快速求出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 - 2x - m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
已知一个根为$-1$，可得：$-1 + x_2 = 2$，解得$x_2=3$。
方法二（代入求参数再解方程）：
将$x=-1$代入方程$x^2 - 2x - m = 0$，得：
$(-1)^2 - 2×(-1) - m = 0$，即$1+2-m=0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此另一个根为3。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：思路一：先将已知根x=-1代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路二：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和等于-b/a的结论计算，无需计算参数即可快速求出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 - 2x - m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
已知一个根为$-1$，可得：$-1 + x_2 = 2$，解得$x_2=3$。
方法二（代入求参数再解方程）：
将$x=-1$代入方程$x^2 - 2x - m = 0$，得：
$(-1)^2 - 2×(-1) - m = 0$，即$1+2-m=0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此另一个根为3。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
10.「2026甘肃陇南武都期末改编」已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(m-4)x-2m=0$.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两根互为相反数,求该方程的解.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两根互为相反数,求该方程的解.
答案
解析 (1)证明:已知方程 $x^2+(m-4)x-2m=0$,
则 $a=1,b=m-4,c=-2m$,则 $\Delta=b^2-4ac=(m-4)^2-4×(-2m)=m^2+16＞0,\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 该方程的两根互为相反数,
$\therefore x_1+x_2=-(m-4)=0,\therefore m=4$,
则原方程为 $x^2-8=0$,解得 $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
则 $a=1,b=m-4,c=-2m$,则 $\Delta=b^2-4ac=(m-4)^2-4×(-2m)=m^2+16＞0,\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 该方程的两根互为相反数,
$\therefore x_1+x_2=-(m-4)=0,\therefore m=4$,
则原方程为 $x^2-8=0$,解得 $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，证明$\Delta$恒大于0即可。首先确定方程的各项系数$a、b、c$，代入判别式公式化简后，利用平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可完成证明。
(2) 已知两根互为相反数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，而互为相反数的两个数和为0，据此列方程求出$m$的值，再将$m$代入原方程求解即可得到方程的解。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2+(m-4)x-2m=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m-4$，常数项$c=-2m$，
则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(m-4)^2-4×1×(-2m)=m^2-8m+16+8m=m^2+16$，
∵ 无论$m$取任意实数，$m^2≥0$，
∴ $m^2+16≥16＞0$，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：设方程的两根为$x_1、x_2$，
∵ 两根互为相反数，
∴ $x_1+x_2=0$，
根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(m-4)$，
∴ $-(m-4)=0$，解得$m=4$，
将$m=4$代入原方程得：$x^2+(4-4)x-2×4=0$，即$x^2-8=0$，
移项得$x^2=8$，解得$x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，同时考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题的核心是牢记相关公式，计算判别式时注意符号不要出错，代入参数求值时要保证计算准确。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，证明$\Delta$恒大于0即可。首先确定方程的各项系数$a、b、c$，代入判别式公式化简后，利用平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可完成证明。
(2) 已知两根互为相反数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，而互为相反数的两个数和为0，据此列方程求出$m$的值，再将$m$代入原方程求解即可得到方程的解。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2+(m-4)x-2m=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m-4$，常数项$c=-2m$，
则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(m-4)^2-4×1×(-2m)=m^2-8m+16+8m=m^2+16$，
∵ 无论$m$取任意实数，$m^2≥0$，
∴ $m^2+16≥16＞0$，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：设方程的两根为$x_1、x_2$，
∵ 两根互为相反数，
∴ $x_1+x_2=0$，
根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(m-4)$，
∴ $-(m-4)=0$，解得$m=4$，
将$m=4$代入原方程得：$x^2+(4-4)x-2×4=0$，即$x^2-8=0$，
移项得$x^2=8$，解得$x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，同时考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题的核心是牢记相关公式，计算判别式时注意符号不要出错，代入参数求值时要保证计算准确。
【难度系数】
0.75
