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1.「2026山东济南莱芜月考」若$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个根，则$-2m^2 +3m +n +2028$的值为（
A.2 025
B.2 026
C.2 027
D.2 028
C
）A.2 025
B.2 026
C.2 027
D.2 028
答案
∵ m,n 是方程 $x^2-x-1=0$ 的根,
∴ m+n=1 , $m^2-m-1=0$ ,
∴ $m^2 = m+1$ ,
则原式 $= -2( m+1 ) +3m +n +2 028 = -2m -2 +3m +n + 2 028 = m+n+2 026 = 1+2 026 = 2 027$.故选 C.
解析
【分析】
要解这道题，我们可以从一元二次方程根的两个核心性质入手思考：①方程的根代入原方程等式成立，可借此将代数式中的高次项降次，避免计算根的具体值；②已知方程两个根时，可通过根与系数的关系直接得到两根之和，用于整体代入。解题时先根据根的定义推导m²与m的等量关系，再用根与系数的关系求出m+n的值，最后将原式降次整理后整体代入计算即可。
【解析】
∵ m,n是方程$x^2 -x -1=0$的两个根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$m+n=1$，
根据一元二次方程根的定义，将m代入原方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 = m + 1$，
将$m^2 = m + 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}-2m^2 +3m +n +2028&=-2(m+1)+3m +n +2028\\&=-2m -2 +3m +n +2028\\&=m +n +2026\end{aligned}$
再将$m+n=1$代入上式，得原式$=1 + 2026 = 2027$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，不需要求解根的具体数值，通过降次和整体代入即可快速计算，重点考查学生对根的相关性质的掌握程度，以及整体运算思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
要解这道题，我们可以从一元二次方程根的两个核心性质入手思考：①方程的根代入原方程等式成立，可借此将代数式中的高次项降次，避免计算根的具体值；②已知方程两个根时，可通过根与系数的关系直接得到两根之和，用于整体代入。解题时先根据根的定义推导m²与m的等量关系，再用根与系数的关系求出m+n的值，最后将原式降次整理后整体代入计算即可。
【解析】
∵ m,n是方程$x^2 -x -1=0$的两个根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$m+n=1$，
根据一元二次方程根的定义，将m代入原方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 = m + 1$，
将$m^2 = m + 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}-2m^2 +3m +n +2028&=-2(m+1)+3m +n +2028\\&=-2m -2 +3m +n +2028\\&=m +n +2026\end{aligned}$
再将$m+n=1$代入上式，得原式$=1 + 2026 = 2027$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，不需要求解根的具体数值，通过降次和整体代入即可快速计算，重点考查学生对根的相关性质的掌握程度，以及整体运算思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
2.「2026四川成都青羊月考」已知方程$x^2 + x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$x_1^2 -x_2^2 +2x_1$的值为
-1
。答案
∵ 方程 $x^2+x-5=0$ 的两根分别为 $x_1,x_2$ ,
∴ $x_1+x_2=-1$ ,
∴ $x_1^2-x_2^2+2x_1=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+2x_1=-(x_1-x_2)+2x_1=x_1+x_2=-1$.
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，优先考虑利用根与系数的关系（韦达定理）整体代入求解，无需计算两根的具体值。第一步先观察所求代数式的结构，$x_1^2 - x_2^2$符合平方差公式的形式，先因式分解；第二步代入韦达定理得到的两根之和$x_1+x_2=-1$；第三步对变形后的式子合并同类项，最终凑出两根之和的整体，代入数值即可得到结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 + x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
∴ 根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，
对所求代数式变形：
$x_1^2 -x_2^2 +2x_1=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+2x_1$，
将$x_1+x_2=-1$代入上式得：
原式$=-1×(x_1-x_2)+2x_1=-x_1+x_2+2x_1=x_1+x_2$，
再代入$x_1+x_2=-1$，得原式$=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式化简与韦达定理结合的基础应用题，解题核心是通过因式分解将所求代数式转化为含两根之和的结构，利用整体代入思想计算，避免了求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，优先考虑利用根与系数的关系（韦达定理）整体代入求解，无需计算两根的具体值。第一步先观察所求代数式的结构，$x_1^2 - x_2^2$符合平方差公式的形式，先因式分解；第二步代入韦达定理得到的两根之和$x_1+x_2=-1$；第三步对变形后的式子合并同类项，最终凑出两根之和的整体，代入数值即可得到结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 + x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
∴ 根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，
对所求代数式变形：
$x_1^2 -x_2^2 +2x_1=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+2x_1$，
将$x_1+x_2=-1$代入上式得：
原式$=-1×(x_1-x_2)+2x_1=-x_1+x_2+2x_1=x_1+x_2$，
再代入$x_1+x_2=-1$，得原式$=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式化简与韦达定理结合的基础应用题，解题核心是通过因式分解将所求代数式转化为含两根之和的结构，利用整体代入思想计算，避免了求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
3.「2025福建厦门自主招生考试」设$x_1, x_2$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个根，那么$x_1^3 - 4x_2^2 + 15$的值为
-4
。答案
∵ $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+x-3=0$ 的两个根,
∴ $x_1^2+x_1-3=0$ ,$x_2^2+x_2-3=0$ ,$x_1+x_2=-1$ ,
∴ $x_1^2=3-x_1$ ,$x_2^2=3-x_2$ ,
∴ $x_1^3-4x_2^2+15=x_1(3-x_1)-4(3-x_2)+15$
$=3x_1-(3-x_1)-12+4x_2+15=4x_1+4x_2=-4$.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两个根，求含根的高次代数式的值的问题时，可按两步思路推导：①利用一元二次方程根的定义，根满足原方程，可将高次幂（如$x^3$、$x^2$）转化为一次式，实现降次以简化计算；②利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，代入降次后的代数式即可求出结果。本题先通过方程将$x_1^3$、$x_2^2$均替换为一次式，合并后代入两根之和计算即可。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义得：$x_1^2 + x_1 - 3 = 0$，$x_2^2 + x_2 - 3 = 0$，
根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -1$，
整理得：$x_1^2 = 3 - x_1$，$x_2^2 = 3 - x_2$，
对所求代数式降次变形：
$x_1^3 - 4x_2^2 + 15$
$= x_1·x_1^2 - 4x_2^2 + 15$
$= x_1(3 - x_1) - 4(3 - x_2) + 15$
$= 3x_1 - x_1^2 - 12 + 4x_2 + 15$
再将$x_1^2 = 3 - x_1$代入上式：
$= 3x_1 - (3 - x_1) + 4x_2 + 3$
$= 3x_1 - 3 + x_1 + 4x_2 + 3$
$= 4x_1 + 4x_2$
$= 4(x_1 + x_2)$
代入$x_1 + x_2 = -1$得：
原式$= 4×(-1) = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式降次求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的典型题型，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，避免了直接求解方程根的繁琐运算，重点考查转化思想和代数化简能力。
【难度系数】
0.6
遇到已知一元二次方程的两个根，求含根的高次代数式的值的问题时，可按两步思路推导：①利用一元二次方程根的定义，根满足原方程，可将高次幂（如$x^3$、$x^2$）转化为一次式，实现降次以简化计算；②利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，代入降次后的代数式即可求出结果。本题先通过方程将$x_1^3$、$x_2^2$均替换为一次式，合并后代入两根之和计算即可。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义得：$x_1^2 + x_1 - 3 = 0$，$x_2^2 + x_2 - 3 = 0$，
根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -1$，
整理得：$x_1^2 = 3 - x_1$，$x_2^2 = 3 - x_2$，
对所求代数式降次变形：
$x_1^3 - 4x_2^2 + 15$
$= x_1·x_1^2 - 4x_2^2 + 15$
$= x_1(3 - x_1) - 4(3 - x_2) + 15$
$= 3x_1 - x_1^2 - 12 + 4x_2 + 15$
再将$x_1^2 = 3 - x_1$代入上式：
$= 3x_1 - (3 - x_1) + 4x_2 + 3$
$= 3x_1 - 3 + x_1 + 4x_2 + 3$
$= 4x_1 + 4x_2$
$= 4(x_1 + x_2)$
代入$x_1 + x_2 = -1$得：
原式$= 4×(-1) = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式降次求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的典型题型，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，避免了直接求解方程根的繁琐运算，重点考查转化思想和代数化简能力。
【难度系数】
0.6
4.「2026 湖南湘西州花垣期中」已知$x_1,x_2$是方程$x^2+5x+1=0$的两个实数根，求下列各式的值：
(1)$x_1(1+x_2)+x_2$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
(1)$x_1(1+x_2)+x_2$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
答案
根据题意得 $x_1+x_2=-5$ ,$x_1x_2=1$.
(1)$x_1(1+x_2)+x_2=x_1+x_2+x_1x_2=-5+1=-4$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2-2×1}{1}=23$.
(1)$x_1(1+x_2)+x_2=x_1+x_2+x_1x_2=-5+1=-4$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2-2×1}{1}=23$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时无需直接求解两根的具体值，首先利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第(1)问先将代数式去括号展开，整理为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再整体代入计算；第(2)问先对分式通分化简，再利用完全平方公式将分子变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入求值即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{5}{1}=-5$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
(1) 先展开化简原式：
$x_1(1+x_2)+x_2=x_1+x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=-5+1=-4$
(2) 先通分化简原式：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$
利用完全平方公式变形分子：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入得：
原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(-5)^2-2×1}{1}=\frac{25-2}{1}=23$
【答案】
(1) $-4$；(2) $23$
【知识点】
根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础题，核心考查整体代入的思想，通过将所求代数式转化为两根之和、两根之积的形式计算，避免了求解方程根的复杂运算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时无需直接求解两根的具体值，首先利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第(1)问先将代数式去括号展开，整理为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再整体代入计算；第(2)问先对分式通分化简，再利用完全平方公式将分子变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入求值即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{5}{1}=-5$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
(1) 先展开化简原式：
$x_1(1+x_2)+x_2=x_1+x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=-5+1=-4$
(2) 先通分化简原式：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$
利用完全平方公式变形分子：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入得：
原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(-5)^2-2×1}{1}=\frac{25-2}{1}=23$
【答案】
(1) $-4$；(2) $23$
【知识点】
根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础题，核心考查整体代入的思想，通过将所求代数式转化为两根之和、两根之积的形式计算，避免了求解方程根的复杂运算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.「2026上海闵行期中」已知关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1+x_2=\frac{7}{3},x_1x_2=-\frac{4}{9}$，那么这个方程可以是（
A.$9x^2+21x-4=0$
B.$3x^2-7x-\frac{4}{3}=0$
C.$x^2+\frac{7}{3}x-\frac{4}{9}=0$
D.$-9x^2+21x-4=0$
B
）A.$9x^2+21x-4=0$
B.$3x^2-7x-\frac{4}{3}=0$
C.$x^2+\frac{7}{3}x-\frac{4}{9}=0$
D.$-9x^2+21x-4=0$
答案
∵ $x_1+x_2=\frac{7}{3}$ ,$x_1x_2=-\frac{4}{9}$ ,
∴ $-\frac{b}{a}=\frac{7}{3}$ ,$\frac{c}{a}=-\frac{4}{9}$.
经验证,选项 B 中 $a=3$ ,$b=-7$ ,$c=-\frac{4}{3}$ ,
则 $-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$ ,
且 $\frac{c}{a}=\frac{-\frac{4}{3}}{3}=-\frac{4}{9}$ ,满足条件,其他选项均不满足条件.
故选 B.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路有两种：一是根据已知的两根之和、两根之积，结合韦达定理确定a、b、c的关系，构造符合要求的方程后匹配选项；二是逐一计算每个选项对应方程的两根之和、两根之积，与题干给出的数值对比，完全匹配的即为正确选项。解题时需注意韦达定理中两根之和对应$-\frac{b}{a}$，避免符号计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干已知$x_1+x_2=\frac{7}{3}$，$x_1x_2=-\frac{4}{9}$，逐一验证选项：
选项A：$a=9$，$b=21$，$c=-4$，$-\frac{b}{a}=-\frac{21}{9}=-\frac{7}{3}≠\frac{7}{3}$，不符合要求，排除；
选项B：$a=3$，$b=-7$，$c=-\frac{4}{3}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{-\frac{4}{3}}{3}=-\frac{4}{9}$，两个条件均满足，符合要求；
选项C：$a=1$，$b=\frac{7}{3}$，$c=-\frac{4}{9}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}≠\frac{7}{3}$，不符合要求，排除；
选项D：$a=-9$，$b=21$，$c=-4$，$\frac{c}{a}=\frac{-4}{-9}=\frac{4}{9}≠-\frac{4}{9}$，不符合要求，排除。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的一般式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，既可通过正向构造方程匹配选项求解，也可通过逆向验证选项快速得出答案，解题的关键是准确记忆韦达定理的公式，尤其注意两根之和对应的系数符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路有两种：一是根据已知的两根之和、两根之积，结合韦达定理确定a、b、c的关系，构造符合要求的方程后匹配选项；二是逐一计算每个选项对应方程的两根之和、两根之积，与题干给出的数值对比，完全匹配的即为正确选项。解题时需注意韦达定理中两根之和对应$-\frac{b}{a}$，避免符号计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干已知$x_1+x_2=\frac{7}{3}$，$x_1x_2=-\frac{4}{9}$，逐一验证选项：
选项A：$a=9$，$b=21$，$c=-4$，$-\frac{b}{a}=-\frac{21}{9}=-\frac{7}{3}≠\frac{7}{3}$，不符合要求，排除；
选项B：$a=3$，$b=-7$，$c=-\frac{4}{3}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{-\frac{4}{3}}{3}=-\frac{4}{9}$，两个条件均满足，符合要求；
选项C：$a=1$，$b=\frac{7}{3}$，$c=-\frac{4}{9}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}≠\frac{7}{3}$，不符合要求，排除；
选项D：$a=-9$，$b=21$，$c=-4$，$\frac{c}{a}=\frac{-4}{-9}=\frac{4}{9}≠-\frac{4}{9}$，不符合要求，排除。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的一般式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，既可通过正向构造方程匹配选项求解，也可通过逆向验证选项快速得出答案，解题的关键是准确记忆韦达定理的公式，尤其注意两根之和对应的系数符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
6.已知方程$x^2 +5x -2=0$,写一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数,则此新方程是（
A.$4y^2 -29y +1=0$
B.$4y^2 -25y +1=0$
C.$4y^2 -29y -1=0$
D.$4y^2 +25y +1=0$
A
）A.$4y^2 -29y +1=0$
B.$4y^2 -25y +1=0$
C.$4y^2 -29y -1=0$
D.$4y^2 +25y +1=0$
答案
设原方程的两根为 $m,n$,则 $m+n=-5$ ,$mn=-2$,
设新方程的两根为 $x_1,x_2$,
则 $x_1+x_2=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}=\frac{(m+n)^2-2mn}{(mn)^2}=\frac{29}{4}$ ,$x_1x_2=\frac{1}{m^2n^2}=\frac{1}{4}$ ,经检验,符合此关系的只有 A 选项.故选 A.
设新方程的两根为 $x_1,x_2$,
则 $x_1+x_2=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}=\frac{(m+n)^2-2mn}{(mn)^2}=\frac{29}{4}$ ,$x_1x_2=\frac{1}{m^2n^2}=\frac{1}{4}$ ,经检验,符合此关系的只有 A 选项.故选 A.
解析
【分析】
解决本题可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，无需解出原方程的具体根。首先设原方程的两根为m、n，先求出原方程两根的和与积；再设新方程的两根为原根平方的倒数，通过代数式变形，将新方程两根的和与积用原方程的两根和、两根积表示；最后根据“若一元二次方程两根为$x_1,x_2$，则方程可写为$y^2-(x_1+x_2)y+x_1x_2=0$”的规则构造新方程，对应选项即可。
【解析】
设原方程$x^2 +5x -2=0$的两根为$m,n$，根据根与系数的关系可得：
$m+n=-5$，$mn=-2$。
设新方程的两根为$y_1=\frac{1}{m^2}$、$y_2=\frac{1}{n^2}$，分别计算新方程两根的和与积：
1. 两根和：$y_1+y_2=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}$，利用完全平方公式变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入数值得：
$m^2+n^2=(-5)^2-2×(-2)=29$，$m^2n^2=(mn)^2=(-2)^2=4$，因此$y_1+y_2=\frac{29}{4}$。
2. 两根积：$y_1y_2=\frac{1}{m^2}·\frac{1}{n^2}=\frac{1}{(mn)^2}=\frac{1}{4}$。
根据两根构造方程得$y^2-\frac{29}{4}y+\frac{1}{4}=0$，两边同乘4化为整数系数方程，得$4y^2-29y+1=0$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】根与系数的关系；完全平方公式变形；一元二次方程构造
【点评】本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是通过代数式变形建立新老方程根的和、积的关联，避免了求解原方程根的复杂计算，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解题的关键。
【难度系数】0.7
解决本题可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，无需解出原方程的具体根。首先设原方程的两根为m、n，先求出原方程两根的和与积；再设新方程的两根为原根平方的倒数，通过代数式变形，将新方程两根的和与积用原方程的两根和、两根积表示；最后根据“若一元二次方程两根为$x_1,x_2$，则方程可写为$y^2-(x_1+x_2)y+x_1x_2=0$”的规则构造新方程，对应选项即可。
【解析】
设原方程$x^2 +5x -2=0$的两根为$m,n$，根据根与系数的关系可得：
$m+n=-5$，$mn=-2$。
设新方程的两根为$y_1=\frac{1}{m^2}$、$y_2=\frac{1}{n^2}$，分别计算新方程两根的和与积：
1. 两根和：$y_1+y_2=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}$，利用完全平方公式变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入数值得：
$m^2+n^2=(-5)^2-2×(-2)=29$，$m^2n^2=(mn)^2=(-2)^2=4$，因此$y_1+y_2=\frac{29}{4}$。
2. 两根积：$y_1y_2=\frac{1}{m^2}·\frac{1}{n^2}=\frac{1}{(mn)^2}=\frac{1}{4}$。
根据两根构造方程得$y^2-\frac{29}{4}y+\frac{1}{4}=0$，两边同乘4化为整数系数方程，得$4y^2-29y+1=0$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】根与系数的关系；完全平方公式变形；一元二次方程构造
【点评】本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是通过代数式变形建立新老方程根的和、积的关联，避免了求解原方程根的复杂计算，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解题的关键。
【难度系数】0.7
7.$x_1,x_2$为方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根,则以$x_1+1,x_2+1$为两根的一元二次方程为________
(二次项系数为1).
(二次项系数为1).
答案
$x^2-5x+2=0$
解析
∵ $x_1,x_2$ 为方程 $x^2-3x-2=0$ 的两根,
∴ $x_1+x_2=3$ ,$x_1x_2=-2$ ,则 $x_1+1+x_2+1=3+2=5$ ,$(x_1+1)(x_2+1)=x_1+x_2+x_1x_2+1=3-2+1=2$ ,则以 $x_1+1,x_2+1$ 为两根的一元二次方程为 $x^2-5x+2=0$.
解析
∵ $x_1,x_2$ 为方程 $x^2-3x-2=0$ 的两根,
∴ $x_1+x_2=3$ ,$x_1x_2=-2$ ,则 $x_1+1+x_2+1=3+2=5$ ,$(x_1+1)(x_2+1)=x_1+x_2+x_1x_2+1=3-2+1=2$ ,则以 $x_1+1,x_2+1$ 为两根的一元二次方程为 $x^2-5x+2=0$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可利用一元二次方程根与系数的关系求解：对于二次项系数为1的一元二次方程，已知两根时，一次项系数是两根之和的相反数，常数项是两根之积，因此只需要求出新两根$x_1+1$、$x_2+1$的和与积即可构造目标方程。第一步先从原方程求出原两根的和与积，第二步代入计算新两根的和与积，第三步按规则写出方程即可。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$为方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$
计算新两根的和：
$(x_1+1)+(x_2+1)=(x_1+x_2)+2=3+2=5$
计算新两根的积：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-2+3+1=2$
∵所求方程二次项系数为1，结合根与系数的对应关系，可得方程为：
$x^2 - 5x + 2 = 0$
【答案】
$x^2-5x+2=0$
【知识点】
根与系数的关系、一元二次方程的构造、整式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程系数与两根和、两根积的对应关系，计算新根乘积时注意不要漏项，整体代入原两根的和与积可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可利用一元二次方程根与系数的关系求解：对于二次项系数为1的一元二次方程，已知两根时，一次项系数是两根之和的相反数，常数项是两根之积，因此只需要求出新两根$x_1+1$、$x_2+1$的和与积即可构造目标方程。第一步先从原方程求出原两根的和与积，第二步代入计算新两根的和与积，第三步按规则写出方程即可。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$为方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$
计算新两根的和：
$(x_1+1)+(x_2+1)=(x_1+x_2)+2=3+2=5$
计算新两根的积：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-2+3+1=2$
∵所求方程二次项系数为1，结合根与系数的对应关系，可得方程为：
$x^2 - 5x + 2 = 0$
【答案】
$x^2-5x+2=0$
【知识点】
根与系数的关系、一元二次方程的构造、整式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程系数与两根和、两根积的对应关系，计算新根乘积时注意不要漏项，整体代入原两根的和与积可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
8.「2026山东济南章丘月考」小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在将其化为一般式的过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在将其化为一般式的过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原方程是
$x^2-7x+10=0$
。答案
∵ 小影写错了常数项,得到方程的两个根是 6 和 1,
∴ $x_1+x_2=6+1=7=-b$ ,即 $b=-7$,
∵ 小冬写错了一次项的系数,得到方程的两个根是 -2,-5,
∴ $x_1x_2=(-2)×(-5)=10=c$,
∴ 原方程是 $x^2-7x+10=0$.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先明确二次项系数为1的一元二次方程一般形式为$x^2+bx+c=0$，其中$b$是一次项系数，$c$是常数项。小影仅写错常数项，说明她得到的方程的二次项、一次项系数都是正确的，因此根据她得到的两根可求出正确的一次项系数$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的二次项、常数项都是正确的，因此根据他得到的两根可求出正确的常数项$c$，最后将$b$、$c$代入一般式即可得到原方程。
【解析】
设原二次项系数为1的一元二次方程一般式为$x^2+bx+c=0$。
1. 求一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，所得两根6和1对应的两根之和是正确的，根据根与系数的关系，二次项系数为1时，两根之和$x_1+x_2=-b$，因此：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，所得两根-2和-5对应的两根之积是正确的，根据根与系数的关系，二次项系数为1时，两根之积$x_1x_2=c$，因此：
$(-2)×(-5)=10=c$，即$c=10$。
3. 代入得原方程：将$b=-7$、$c=10$代入一般式，即可得到原方程。
【答案】
$x^2-7x+10=0$
【知识点】
根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的一般式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用考题，解题的核心是准确判断看错系数的前提下，两根和、两根积哪个是正确的，分别提取有效信息计算对应系数即可，解题时要注意二次项系数为1时韦达定理的表达式不要记错符号。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先明确二次项系数为1的一元二次方程一般形式为$x^2+bx+c=0$，其中$b$是一次项系数，$c$是常数项。小影仅写错常数项，说明她得到的方程的二次项、一次项系数都是正确的，因此根据她得到的两根可求出正确的一次项系数$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的二次项、常数项都是正确的，因此根据他得到的两根可求出正确的常数项$c$，最后将$b$、$c$代入一般式即可得到原方程。
【解析】
设原二次项系数为1的一元二次方程一般式为$x^2+bx+c=0$。
1. 求一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，所得两根6和1对应的两根之和是正确的，根据根与系数的关系，二次项系数为1时，两根之和$x_1+x_2=-b$，因此：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，所得两根-2和-5对应的两根之积是正确的，根据根与系数的关系，二次项系数为1时，两根之积$x_1x_2=c$，因此：
$(-2)×(-5)=10=c$，即$c=10$。
3. 代入得原方程：将$b=-7$、$c=10$代入一般式，即可得到原方程。
【答案】
$x^2-7x+10=0$
【知识点】
根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的一般式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用考题，解题的核心是准确判断看错系数的前提下，两根和、两根积哪个是正确的，分别提取有效信息计算对应系数即可，解题时要注意二次项系数为1时韦达定理的表达式不要记错符号。
【难度系数】
0.7
9.「2026 福建泉州石狮期中」关于$x$的方程$(x-1)(x+3)=p^2$（$p$为常数）的根的情况，下列结论正确的是 (
A.两个正根
B.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C.两个负根
D.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
D
)A.两个正根
B.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C.两个负根
D.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
答案
设方程的两根为 $a,b$,方程整理得 $x^2+2x-3-p^2=0$,
∴ $\Delta=4-4(-3-p^2)=4p^2+16＞0$ ,$a+b=-2＜0$ ,$ab=-3-p^2＜0$,则该方程有一个正根,一个负根,且正根的绝对值比负根的绝对值小.故选 D.
∴ $\Delta=4-4(-3-p^2)=4p^2+16＞0$ ,$a+b=-2＜0$ ,$ab=-3-p^2＜0$,则该方程有一个正根,一个负根,且正根的绝对值比负根的绝对值小.故选 D.
解析
【分析】
要判断该方程根的情况，首先需将原方程整理为一元二次方程的一般形式，第一步先计算根的判别式，确认方程是否有两个实数根；再利用根与系数的关系，通过两根之积的符号判断根的正负性，最后通过两根之和的符号比较正负根的绝对值大小。
【解析】
设方程的两根为$a,b$，先将原方程整理为一般形式：
展开$(x-1)(x+3)=p^2$得$x^2+2x-3=p^2$，移项得$x^2+2x-3-p^2=0$。
1. 计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-3-p^2) = 4 + 12 + 4p^2 = 4p^2 + 16$，因为$p^2≥0$，所以$\Delta = 4p^2 +16 ＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据根与系数的关系可得：
两根之和$a+b = -2 ＜ 0$，两根之积$ab = -3-p^2 ＜ 0$。
由$ab ＜ 0$可知，两根一正一负；由$a+b ＜ 0$可知，负根的绝对值更大，即正根的绝对值比负根的绝对值小。
综上，选项D结论正确。
【答案】D
【知识点】1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根的相关性质，无需解方程，仅通过判别式和根与系数的关系即可快速判断根的情况，熟练掌握两根之和、两根之积的符号与根的正负、绝对值大小的对应关系是解题的关键。
【难度系数】0.7
要判断该方程根的情况，首先需将原方程整理为一元二次方程的一般形式，第一步先计算根的判别式，确认方程是否有两个实数根；再利用根与系数的关系，通过两根之积的符号判断根的正负性，最后通过两根之和的符号比较正负根的绝对值大小。
【解析】
设方程的两根为$a,b$，先将原方程整理为一般形式：
展开$(x-1)(x+3)=p^2$得$x^2+2x-3=p^2$，移项得$x^2+2x-3-p^2=0$。
1. 计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-3-p^2) = 4 + 12 + 4p^2 = 4p^2 + 16$，因为$p^2≥0$，所以$\Delta = 4p^2 +16 ＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据根与系数的关系可得：
两根之和$a+b = -2 ＜ 0$，两根之积$ab = -3-p^2 ＜ 0$。
由$ab ＜ 0$可知，两根一正一负；由$a+b ＜ 0$可知，负根的绝对值更大，即正根的绝对值比负根的绝对值小。
综上，选项D结论正确。
【答案】D
【知识点】1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根的相关性质，无需解方程，仅通过判别式和根与系数的关系即可快速判断根的情况，熟练掌握两根之和、两根之积的符号与根的正负、绝对值大小的对应关系是解题的关键。
【难度系数】0.7
10.若关于x的方程$3x^2 + ax + 10 = 0$的两个实数根$x_1,x_2$满足$x_1＜1＜x_2$,求a的取值范围.
答案
∵ 关于 x 的方程 $3x^2+ax+10=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$ 且 $x_1＜1＜x_2$,
∴ $\Delta=a^2-4×3×10＞0$ ,$x_1+x_2=-\frac{a}{3}$ ,$x_1x_2=\frac{10}{3}$,
∵ $x_1＜1＜x_2$,
∴ $x_1-1＜0$ ,$x_2-1＞0$,
∴ $(x_1-1)(x_2-1)＜0$ ,整理得 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1＜0$,
∴ $\frac{10}{3}-(-\frac{a}{3})+1＜0$ ,解得 $a＜-13$,
经验证,满足题意,
∴ $a＜-13$.
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤展开：首先，题目明确一元二次方程有两个不等实根，因此首先要考虑判别式Δ＞0保证有两个不同实根；其次，已知x₁＜1＜x₂，可转化为x₁-1和x₂-1异号，即两者的乘积小于0；再将乘积展开，利用根与系数的关系（韦达定理）把两根之和、两根之积替换为含参数a的式子，解不等式得到a的范围，最后验证该范围是否满足判别式的要求即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$3x^2 + ax + 10 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1＜1＜x_2$
∴ 方程有两个不等实根，判别式$\Delta = a^2 - 4×3×10 ＞ 0$，
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$，$x_1x_2 = \frac{10}{3}$，
∵ $x_1＜1＜x_2$
∴ $x_1 - 1 ＜ 0$，$x_2 - 1 ＞ 0$，则$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ＜ 0$，
展开不等式左侧得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 ＜ 0$，
代入韦达定理的结果：$\frac{10}{3} - (-\frac{a}{3}) + 1 ＜ 0$，
化简得：$\frac{13 + a}{3} ＜ 0$，解得$a ＜ -13$，
当$a ＜ -13$时，$a^2 ＞ 169$，$\Delta = a^2 - 120 ＞ 169 - 120 = 49 ＞ 0$，满足判别式要求，符合题意。
【答案】
$a ＜ -13$
【知识点】
根的判别式；韦达定理；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的分布的基础题型，核心解题技巧是将根的大小关系转化为两根与分界值的差的乘积符号，结合韦达定理快速建立参数不等式，解题时要注意验证判别式条件，确保方程有两个实根。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤展开：首先，题目明确一元二次方程有两个不等实根，因此首先要考虑判别式Δ＞0保证有两个不同实根；其次，已知x₁＜1＜x₂，可转化为x₁-1和x₂-1异号，即两者的乘积小于0；再将乘积展开，利用根与系数的关系（韦达定理）把两根之和、两根之积替换为含参数a的式子，解不等式得到a的范围，最后验证该范围是否满足判别式的要求即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$3x^2 + ax + 10 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1＜1＜x_2$
∴ 方程有两个不等实根，判别式$\Delta = a^2 - 4×3×10 ＞ 0$，
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$，$x_1x_2 = \frac{10}{3}$，
∵ $x_1＜1＜x_2$
∴ $x_1 - 1 ＜ 0$，$x_2 - 1 ＞ 0$，则$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ＜ 0$，
展开不等式左侧得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 ＜ 0$，
代入韦达定理的结果：$\frac{10}{3} - (-\frac{a}{3}) + 1 ＜ 0$，
化简得：$\frac{13 + a}{3} ＜ 0$，解得$a ＜ -13$，
当$a ＜ -13$时，$a^2 ＞ 169$，$\Delta = a^2 - 120 ＞ 169 - 120 = 49 ＞ 0$，满足判别式要求，符合题意。
【答案】
$a ＜ -13$
【知识点】
根的判别式；韦达定理；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的分布的基础题型，核心解题技巧是将根的大小关系转化为两根与分界值的差的乘积符号，结合韦达定理快速建立参数不等式，解题时要注意验证判别式条件，确保方程有两个实根。
【难度系数】
0.7
