登录
1. 下列图案中,可以把一个基础图形通过平移得到的是()
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记平移的特征：图形平移后，仅位置发生改变，形状、大小、自身的朝向都不会变化；而旋转会改变图形的朝向。解题时依次分析每个选项的组成图形，判断其朝向是否一致，就能选出正确答案。
【解析】
根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，逐一分析选项：
选项A：组成图形的4个扇形朝向各不相同，是基础扇形绕圆心旋转得到的，不符合平移的特征；
选项B：组成六角星的6个菱形朝向不同，是基础菱形绕中心旋转得到的，不符合平移的特征；
选项C：组成图形的4个小平行四边形形状、大小、朝向完全相同，仅位置不同，可由基础小平行四边形平移得到，符合平移的特征；
选项D：组成图形的4个三角形朝向各不相同，是基础三角形绕正方形中心旋转得到的，不符合平移的特征。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质、图形变换识别
【点评】
本题考查平移与旋转的区分，解题关键是抓住“平移不改变图形朝向”这一核心特点，即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记平移的特征：图形平移后，仅位置发生改变，形状、大小、自身的朝向都不会变化；而旋转会改变图形的朝向。解题时依次分析每个选项的组成图形，判断其朝向是否一致，就能选出正确答案。
【解析】
根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，逐一分析选项：
选项A：组成图形的4个扇形朝向各不相同，是基础扇形绕圆心旋转得到的，不符合平移的特征；
选项B：组成六角星的6个菱形朝向不同，是基础菱形绕中心旋转得到的，不符合平移的特征；
选项C：组成图形的4个小平行四边形形状、大小、朝向完全相同，仅位置不同，可由基础小平行四边形平移得到，符合平移的特征；
选项D：组成图形的4个三角形朝向各不相同，是基础三角形绕正方形中心旋转得到的，不符合平移的特征。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质、图形变换识别
【点评】
本题考查平移与旋转的区分，解题关键是抓住“平移不改变图形朝向”这一核心特点，即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 下列语句中是命题的是()
A.将27开方
B.任意三角形的三条中线交于一点吗
C.锐角小于直角
D.作一条直线和已知直线垂直
A.将27开方
B.任意三角形的三条中线交于一点吗
C.锐角小于直角
D.作一条直线和已知直线垂直
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要回忆命题的定义：命题是能够判断一件事情真假的陈述句，核心有两个判定特征，一是属于陈述句，不是疑问句、操作类祈使句；二是可以明确判断表述的真假。接下来我们只要对照这两个特征逐一分析每个选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确命题的判定规则：判断一件事情的语句叫做命题，需同时满足“是陈述句”“可判断真假”两个条件。
对各选项逐一分析：
A. “将27开方”是操作指令，属于祈使句，没有对事情做出判断，不是命题；
B. “任意三角形的三条中线交于一点吗”是疑问句，仅提出问题没有做出判断，不是命题；
C. “锐角小于直角”是陈述句，且根据锐角（大于0°小于90°）和直角（等于90°）的定义，该表述是正确的，可判断真假，属于命题；
D. “作一条直线和已知直线垂直”是作图操作指令，没有做出判断，不是命题。
综上，符合命题要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
命题的定义
【点评】
本题考查对命题概念的辨识，解题的关键是牢牢把握命题的两个核心特征，注意祈使句、疑问句都不属于命题，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆命题的定义：命题是能够判断一件事情真假的陈述句，核心有两个判定特征，一是属于陈述句，不是疑问句、操作类祈使句；二是可以明确判断表述的真假。接下来我们只要对照这两个特征逐一分析每个选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确命题的判定规则：判断一件事情的语句叫做命题，需同时满足“是陈述句”“可判断真假”两个条件。
对各选项逐一分析：
A. “将27开方”是操作指令，属于祈使句，没有对事情做出判断，不是命题；
B. “任意三角形的三条中线交于一点吗”是疑问句，仅提出问题没有做出判断，不是命题；
C. “锐角小于直角”是陈述句，且根据锐角（大于0°小于90°）和直角（等于90°）的定义，该表述是正确的，可判断真假，属于命题；
D. “作一条直线和已知直线垂直”是作图操作指令，没有做出判断，不是命题。
综上，符合命题要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
命题的定义
【点评】
本题考查对命题概念的辨识，解题的关键是牢牢把握命题的两个核心特征，注意祈使句、疑问句都不属于命题，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
3. 如图,点P是直线a外的一点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足为B,PA⊥PC,则下列正确的语句是()
A.线段PC的长是点P到直线a的距离
B.线段PC的长是点C到直线AP的距离
C.线段AC的长是点A到直线PC的距离
D.线段AC的长是点C到直线PA的距离
A.线段PC的长是点P到直线a的距离
B.线段PC的长是点C到直线AP的距离
C.线段AC的长是点A到直线PC的距离
D.线段AC的长是点C到直线PA的距离
答案
B
解析
【分析】
首先明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。解题时需要先找到每个选项描述中对应的点和直线，再判断给出的线段是否是该点到对应直线的垂线段，即可逐一判断正误。
【解析】
根据点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐一分析选项：
A. 点P到直线a的垂线段是PB，因此只有PB的长是点P到直线a的距离，故A错误；
B. 已知PA⊥PC，即PC⊥AP，因此线段PC是点C到直线AP的垂线段，所以线段PC的长是点C到直线AP的距离，故B正确；
C. 已知PA⊥PC，因此点A到直线PC的垂线段是AP，即AP的长是点A到直线PC的距离，故C错误；
D. 点C到直线PA的垂线段是PC，因此PC的长是点C到直线PA的距离，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题重点考查对“点到直线的距离”概念的掌握，解题的核心是准确匹配“点”“直线”“垂线段”三个要素，同时要注意“距离”是垂线段的长度，是数值，不是线段本身，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
首先明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。解题时需要先找到每个选项描述中对应的点和直线，再判断给出的线段是否是该点到对应直线的垂线段，即可逐一判断正误。
【解析】
根据点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐一分析选项：
A. 点P到直线a的垂线段是PB，因此只有PB的长是点P到直线a的距离，故A错误；
B. 已知PA⊥PC，即PC⊥AP，因此线段PC是点C到直线AP的垂线段，所以线段PC的长是点C到直线AP的距离，故B正确；
C. 已知PA⊥PC，因此点A到直线PC的垂线段是AP，即AP的长是点A到直线PC的距离，故C错误；
D. 点C到直线PA的垂线段是PC，因此PC的长是点C到直线PA的距离，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题重点考查对“点到直线的距离”概念的掌握，解题的核心是准确匹配“点”“直线”“垂线段”三个要素，同时要注意“距离”是垂线段的长度，是数值，不是线段本身，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
4. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射.已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的.如
图，∠1=40°，∠2=110°，则∠3+∠4的值为（）
A.100°
B.110°
C.120°
D.150°
图，∠1=40°，∠2=110°，则∠3+∠4的值为（）
A.100°
B.110°
C.120°
D.150°
答案
B
解析
【分析】
解题时首先梳理题目给出的平行条件：水中的两条光线平行、空气中的两条折射光线平行，再结合烧杯水面与底部互相平行的隐含条件，分两步求解：第一步利用空气中光线平行的性质，同位角相等求出∠3的度数；第二步利用水中光线平行、水面和杯底平行的性质，结合邻补角的定义求出∠4的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 空气中的两条折射光线互相平行，水面为截线，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠3 = ∠1 = 40°。
∵ 水中的两条入射光线互相平行，且水面与烧杯底部互相平行，
∠2与该入射光线在水面下方的夹角为邻补角，
∴ 入射光线与水面下方的夹角为180° - 110° = 70°，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠4 = 70°。
∴ ∠3 + ∠4 = 40° + 70° = 110°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，邻补角定义，角度运算
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别图中的各组平行线及对应的截线，挖掘出水面和杯底平行的隐含条件，结合平行线的性质推导角的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目给出的平行条件：水中的两条光线平行、空气中的两条折射光线平行，再结合烧杯水面与底部互相平行的隐含条件，分两步求解：第一步利用空气中光线平行的性质，同位角相等求出∠3的度数；第二步利用水中光线平行、水面和杯底平行的性质，结合邻补角的定义求出∠4的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 空气中的两条折射光线互相平行，水面为截线，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠3 = ∠1 = 40°。
∵ 水中的两条入射光线互相平行，且水面与烧杯底部互相平行，
∠2与该入射光线在水面下方的夹角为邻补角，
∴ 入射光线与水面下方的夹角为180° - 110° = 70°，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠4 = 70°。
∴ ∠3 + ∠4 = 40° + 70° = 110°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，邻补角定义，角度运算
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别图中的各组平行线及对应的截线，挖掘出水面和杯底平行的隐含条件，结合平行线的性质推导角的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 将一块含$30°$角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$.若$∠ 1=α$，则$∠ 3-∠ 2$的大小为()
A.$30°$
B.$60°$
C.$(30+α)°$
D.$(30+2α)°$
A.$30°$
B.$60°$
C.$(30+α)°$
D.$(30+2α)°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用直尺对边平行的性质得到∠1的内错角与∠1相等，再结合三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），建立∠3、∠2、∠A和∠1之间的数量关系，最后代入∠A=30°、∠1=α整理即可得到结果。
【解析】
∵直尺的上下两条对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1对应的内错角大小为α。
由三角形外角的性质可知，∠3等于∠2、∠A与上述和∠1相等的内错角的和，即：
$∠ 3 = ∠ 2 + ∠ A + α$
已知$∠ A=30°$，代入上式得：
$∠ 3 = ∠ 2 + 30° + α$
移项整理可得：
$∠ 3 - ∠ 2 = (30+α)°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考查平行线性质和三角形外角性质的应用，解题的核心是准确找到角与角之间的数量关系，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直尺对边平行的性质得到∠1的内错角与∠1相等，再结合三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），建立∠3、∠2、∠A和∠1之间的数量关系，最后代入∠A=30°、∠1=α整理即可得到结果。
【解析】
∵直尺的上下两条对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1对应的内错角大小为α。
由三角形外角的性质可知，∠3等于∠2、∠A与上述和∠1相等的内错角的和，即：
$∠ 3 = ∠ 2 + ∠ A + α$
已知$∠ A=30°$，代入上式得：
$∠ 3 = ∠ 2 + 30° + α$
移项整理可得：
$∠ 3 - ∠ 2 = (30+α)°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考查平行线性质和三角形外角性质的应用，解题的核心是准确找到角与角之间的数量关系，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,直线AB与CD相交于点E,在∠CEB的平分线上有一点F,FM//AB,当∠3=24°时,∠F的度数是。
答案
$\boldsymbol{102°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用对顶角相等的性质，由已知∠3的度数得到∠AEC的度数；再根据邻补角的和为180°，算出∠CEB的度数；之后结合角平分线的定义，求出∠BEF的度数；最后利用平行线的同旁内角互补的性质，即可算出∠F的度数。
【解析】
1. 因为直线AB与CD相交于点E，∠3=24°，根据对顶角相等，可得$∠ AEC=∠ 3=24°$。
2. 根据邻补角的性质，$∠ CEB=180°-∠ AEC=180°-24°=156°$。
3. 因为点F在$∠ CEB$的平分线上，根据角平分线的定义，$∠ BEF=\frac{1}{2}∠ CEB=\frac{1}{2}×156°=78°$。
4. 因为$FM// AB$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ BEF+∠ F=180°$，因此$∠ F=180°-78°=102°$。
【答案】
$102°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础综合题，解题的关键是梳理清楚不同角之间的位置和数量关系，逐步推导即可得到结果，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用对顶角相等的性质，由已知∠3的度数得到∠AEC的度数；再根据邻补角的和为180°，算出∠CEB的度数；之后结合角平分线的定义，求出∠BEF的度数；最后利用平行线的同旁内角互补的性质，即可算出∠F的度数。
【解析】
1. 因为直线AB与CD相交于点E，∠3=24°，根据对顶角相等，可得$∠ AEC=∠ 3=24°$。
2. 根据邻补角的性质，$∠ CEB=180°-∠ AEC=180°-24°=156°$。
3. 因为点F在$∠ CEB$的平分线上，根据角平分线的定义，$∠ BEF=\frac{1}{2}∠ CEB=\frac{1}{2}×156°=78°$。
4. 因为$FM// AB$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ BEF+∠ F=180°$，因此$∠ F=180°-78°=102°$。
【答案】
$102°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础综合题，解题的关键是梳理清楚不同角之间的位置和数量关系，逐步推导即可得到结果，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是.
答案
解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
解析
【分析】
首先将实际场景转化为几何模型：把河边抽象为一条直线，牧童所在的A点是这条直线外的点，问题转化为找直线外一点到直线的最短线段。回忆所学的线段性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。观察题图可知AB是A到河边的垂线段，因此沿AB走路径最短，依据就是垂线段最短的性质。
【解析】
解：我们可以把河边看作一条直线，牧童所在的A点是该直线外的一点，由图可知AB垂直于河边所在的直线，即AB是点A到这条直线的垂线段。根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短的性质，可知沿AB的路径走能走最少的路。
【答案】
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【知识点】
垂线段的性质
【点评】
本题考查几何性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为对应的几何模型，结合基础的几何性质即可快速得出结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.9
首先将实际场景转化为几何模型：把河边抽象为一条直线，牧童所在的A点是这条直线外的点，问题转化为找直线外一点到直线的最短线段。回忆所学的线段性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。观察题图可知AB是A到河边的垂线段，因此沿AB走路径最短，依据就是垂线段最短的性质。
【解析】
解：我们可以把河边看作一条直线，牧童所在的A点是该直线外的一点，由图可知AB垂直于河边所在的直线，即AB是点A到这条直线的垂线段。根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短的性质，可知沿AB的路径走能走最少的路。
【答案】
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【知识点】
垂线段的性质
【点评】
本题考查几何性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为对应的几何模型，结合基础的几何性质即可快速得出结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.9
二维码中的几何魔法
每个二维码角落的三个“回”字方框，其实是利用勾股定理设计的定位符！这三个方框的边长比为1:1:3，且三个方框边线构成直角三角形，这就确保扫码枪无论从哪个角度都能快速识别二维码，就像北斗七星指引方向一样，这些几何图形让手机瞬间“锁定”二维码位置.下次扫描二维码时，试着用尺子测量定位符边长，你会发现它们严格遵循“勾三股四弦五”的比例.
二维码中的每个小黑格其实代表数字“1”，白格代表“0”，这正是七年级学习的二进制知识.
超市商品标签上的二维码，可能藏着“11010010”这样的密码串，对应着价格、生产日期等信息.
内,下列四个命题:
①如果$a// b,a⊥ c$,那么$b⊥ c$;
②如果$b// a,c// a$,那么$b// c$;
③如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b⊥ c$;
④如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b// c$.
其中假命题有 .(填序号)
每个二维码角落的三个“回”字方框，其实是利用勾股定理设计的定位符！这三个方框的边长比为1:1:3，且三个方框边线构成直角三角形，这就确保扫码枪无论从哪个角度都能快速识别二维码，就像北斗七星指引方向一样，这些几何图形让手机瞬间“锁定”二维码位置.下次扫描二维码时，试着用尺子测量定位符边长，你会发现它们严格遵循“勾三股四弦五”的比例.
二维码中的每个小黑格其实代表数字“1”，白格代表“0”，这正是七年级学习的二进制知识.
超市商品标签上的二维码，可能藏着“11010010”这样的密码串，对应着价格、生产日期等信息.
内,下列四个命题:
①如果$a// b,a⊥ c$,那么$b⊥ c$;
②如果$b// a,c// a$,那么$b// c$;
③如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b⊥ c$;
④如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b// c$.
其中假命题有 .(填序号)
答案
解：
逐一分析各命题：
① 若$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质，可得$b⊥ c$，该命题是真命题；
② 若$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题；
③ 若$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，即$b// c$，并非$b⊥ c$，该命题是假命题；
④ 若$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题。
其中假命题有 $\boldsymbol{③}$。
逐一分析各命题：
① 若$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质，可得$b⊥ c$，该命题是真命题；
② 若$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题；
③ 若$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，即$b// c$，并非$b⊥ c$，该命题是假命题；
④ 若$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题。
其中假命题有 $\boldsymbol{③}$。
解析
【分析】
这道题考查平面内直线平行与垂直关系的命题真假判断，解题时首先回忆直线位置关系的相关定理，再逐一对4个命题验证：第一步用平行线的性质判断命题①；第二步用平行公理的推论判断命题②；第三步结合“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的结论判断命题③和④，最后找出假命题即可。
【解析】
我们逐一分析四个命题：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，可得$b⊥ c$，该命题是真命题；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据同一平面内的直线位置规律：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，并非$b⊥ c$，该命题是假命题；
④ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题。
【答案】
$\boldsymbol{③}$
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直的性质
【点评】
本题以二维码的相关知识为背景，考查直线平行与垂直相关的命题辨析，题目侧重基础，熟练掌握相关定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
这道题考查平面内直线平行与垂直关系的命题真假判断，解题时首先回忆直线位置关系的相关定理，再逐一对4个命题验证：第一步用平行线的性质判断命题①；第二步用平行公理的推论判断命题②；第三步结合“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的结论判断命题③和④，最后找出假命题即可。
【解析】
我们逐一分析四个命题：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，可得$b⊥ c$，该命题是真命题；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据同一平面内的直线位置规律：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，并非$b⊥ c$，该命题是假命题；
④ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，该命题是真命题。
【答案】
$\boldsymbol{③}$
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直的性质
【点评】
本题以二维码的相关知识为背景，考查直线平行与垂直相关的命题辨析，题目侧重基础，熟练掌握相关定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
