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9.已知∠A与∠B一边互相垂直，另一边互相平行，且∠A比∠B大30°，则∠A的度数为.
答案
解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为$x-30°$。
由∠A与∠B一边互相平行、另一边互相垂直，可知两角之和为$90°$，列方程得：
$x + (x - 30°) = 90°$
$2x = 120°$
$x = 60°$
答：∠A的度数为$\boldsymbol{60°}$。
由∠A与∠B一边互相平行、另一边互相垂直，可知两角之和为$90°$，列方程得：
$x + (x - 30°) = 90°$
$2x = 120°$
$x = 60°$
答：∠A的度数为$\boldsymbol{60°}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确两角的位置关系对应的数量关系：当两个角的一边互相垂直，另一边互相平行时，两个角要么相等，要么和为90°。已知∠A比∠B大30°，说明两角不相等，因此两角之和为90°，接下来我们可以通过设未知数列一元一次方程求解∠A的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为$x-30°$。
由∠A与∠B一边互相平行、另一边互相垂直，可知两角之和为$90°$，列方程得：
$x + (x - 30°) = 90°$
$2x = 120°$
$x = 60°$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平行线的性质；角的运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的关键是先根据两个角的位置关系判断出它们的数量关系，再结合已知的角度差列方程求解，需要熟练掌握平行线的相关性质和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两角的位置关系对应的数量关系：当两个角的一边互相垂直，另一边互相平行时，两个角要么相等，要么和为90°。已知∠A比∠B大30°，说明两角不相等，因此两角之和为90°，接下来我们可以通过设未知数列一元一次方程求解∠A的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为$x-30°$。
由∠A与∠B一边互相平行、另一边互相垂直，可知两角之和为$90°$，列方程得：
$x + (x - 30°) = 90°$
$2x = 120°$
$x = 60°$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平行线的性质；角的运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的关键是先根据两个角的位置关系判断出它们的数量关系，再结合已知的角度差列方程求解，需要熟练掌握平行线的相关性质和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为$A(-1,2),B(-3,1),C(0,-1)$。
（1）将三角形ABC先向右沿平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形$A_1B_1C_1$，请在图中作出平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
（2）点$A_1$的坐标为，三角形$A_1B_1C_1$的面积为。
（1）将三角形ABC先向右沿平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形$A_1B_1C_1$，请在图中作出平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
（2）点$A_1$的坐标为，三角形$A_1B_1C_1$的面积为。
答案
解：
(1) 分别将点A、B、C按规则平移：向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点$A_1(2,1)$，$B_1(0,0)$，$C_1(3,-2)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接即可得到三角形$A_1B_1C_1$。
(2) 点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
利用割补法计算面积：将三角形置于边长为3的矩形内，
$S=3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×3=9-1-3-1.5=3.5$，
平移不改变图形面积，因此三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$（或3.5）。
(1) 分别将点A、B、C按规则平移：向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点$A_1(2,1)$，$B_1(0,0)$，$C_1(3,-2)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接即可得到三角形$A_1B_1C_1$。
(2) 点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
利用割补法计算面积：将三角形置于边长为3的矩形内，
$S=3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×3=9-1-3-1.5=3.5$，
平移不改变图形面积，因此三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$（或3.5）。
解析
【分析】
解决第(1)问时，依据平面直角坐标系中点的平移规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，先算出A、B、C三点平移后的对应点坐标，再描点、顺次连线即可得到平移后的图形。解决第(2)问时，第一个空直接按平移规律计算A点平移后的坐标即可；第二个空利用平移不改变图形面积的性质，用割补法计算原三角形ABC的面积，即可得到平移后三角形的面积。
【解析】
(1) 按照平移规则：向右平移3个单位，横坐标加3；向下平移1个单位，纵坐标减1。
计算各对应点坐标：
点A(-1,2)平移后：横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为$2-1=1$，得$A_1(2,1)$；
点B(-3,1)平移后：横坐标为$-3+3=0$，纵坐标为$1-1=0$，得$B_1(0,0)$；
点C(0,-1)平移后：横坐标为$0+3=3$，纵坐标为$-1-1=-2$，得$C_1(3,-2)$。
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，顺次连接即可得到三角形$A_1B_1C_1$。
(2) ①由上述计算可得点$A_1$的坐标为$(2,1)$。
②因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将$△ ABC$放在边长为3的矩形内，矩形面积为$3×3=9$，减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
则$S_{△ ABC}=9-1-3-1.5=3.5=\frac{7}{2}$，即三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\frac{7}{2}$（或3.5）。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boldsymbol{(2,1)}$；$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$（或3.5）
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考察平移变换的规则和网格内图形面积的计算方法，掌握核心规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，依据平面直角坐标系中点的平移规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，先算出A、B、C三点平移后的对应点坐标，再描点、顺次连线即可得到平移后的图形。解决第(2)问时，第一个空直接按平移规律计算A点平移后的坐标即可；第二个空利用平移不改变图形面积的性质，用割补法计算原三角形ABC的面积，即可得到平移后三角形的面积。
【解析】
(1) 按照平移规则：向右平移3个单位，横坐标加3；向下平移1个单位，纵坐标减1。
计算各对应点坐标：
点A(-1,2)平移后：横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为$2-1=1$，得$A_1(2,1)$；
点B(-3,1)平移后：横坐标为$-3+3=0$，纵坐标为$1-1=0$，得$B_1(0,0)$；
点C(0,-1)平移后：横坐标为$0+3=3$，纵坐标为$-1-1=-2$，得$C_1(3,-2)$。
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，顺次连接即可得到三角形$A_1B_1C_1$。
(2) ①由上述计算可得点$A_1$的坐标为$(2,1)$。
②因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将$△ ABC$放在边长为3的矩形内，矩形面积为$3×3=9$，减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
则$S_{△ ABC}=9-1-3-1.5=3.5=\frac{7}{2}$，即三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\frac{7}{2}$（或3.5）。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boldsymbol{(2,1)}$；$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$（或3.5）
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考察平移变换的规则和网格内图形面积的计算方法，掌握核心规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
11.如图，$AB⊥ AC$，$AB⊥ BD$，点C，D在线段AB的异侧，点E，F分别在线段AC，BD上，连接DE，CF分别交AB于点G，H.若$∠ C=∠ D$，求证：$∠ 1=∠ 2$. 
答案
证明：
∵ $AB⊥AC$，$AB⊥BD$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，
∴ $AC// BD$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ C = ∠ BHF$（两直线平行，同位角相等），
又∵ $∠ C = ∠ D$，
∴ $∠ D = ∠ BHF$，
∴ $DE// CF$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又∵ $∠ 2 = ∠ 3$（对顶角相等），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$。
∵ $AB⊥AC$，$AB⊥BD$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，
∴ $AC// BD$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ C = ∠ BHF$（两直线平行，同位角相等），
又∵ $∠ C = ∠ D$，
∴ $∠ D = ∠ BHF$，
∴ $DE// CF$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又∵ $∠ 2 = ∠ 3$（对顶角相等），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$。
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：首先根据垂直的定义得到∠A和∠B都是90°，利用同旁内角互补可判定AC//BD；再根据平行线的同位角相等得到∠C=∠BHF，结合已知∠C=∠D，等量代换后得到∠D=∠BHF，进而可判定DE//CF；再根据平行线的同位角相等得到∠1=∠3，最后利用对顶角相等得到∠2=∠3，等量代换即可证明∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵ $AB⊥AC$，$AB⊥BD$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，
∴ $AC// BD$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ C = ∠ BHF$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ C = ∠ D$，
∴ $∠ D = ∠ BHF$，
∴ $DE// CF$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ 2 = ∠ 3$（对顶角相等），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$。
【答案】
$∠ 1=∠ 2$，得证
【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角相等；垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的判定和性质的综合应用，解题的关键是先由垂直关系得到平行线，再结合已知角相等的条件逐步推导角的等量关系，需要注意区分平行线的判定和性质的使用条件，是几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手：首先根据垂直的定义得到∠A和∠B都是90°，利用同旁内角互补可判定AC//BD；再根据平行线的同位角相等得到∠C=∠BHF，结合已知∠C=∠D，等量代换后得到∠D=∠BHF，进而可判定DE//CF；再根据平行线的同位角相等得到∠1=∠3，最后利用对顶角相等得到∠2=∠3，等量代换即可证明∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵ $AB⊥AC$，$AB⊥BD$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，
∴ $AC// BD$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ C = ∠ BHF$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ C = ∠ D$，
∴ $∠ D = ∠ BHF$，
∴ $DE// CF$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ 2 = ∠ 3$（对顶角相等），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$。
【答案】
$∠ 1=∠ 2$，得证
【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角相等；垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的判定和性质的综合应用，解题的关键是先由垂直关系得到平行线，再结合已知角相等的条件逐步推导角的等量关系，需要注意区分平行线的判定和性质的使用条件，是几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 如图,点D,E,F分别在线段AB,AC,BC上,点G在线段EF上.若EF//AB,∠A+∠DGF=180°.
(1)求证:DG//AC;
(2)若EF平分∠DEC,∠GDE=30°,求∠DGF的度数.
(1)求证:DG//AC;
(2)若EF平分∠DEC,∠GDE=30°,求∠DGF的度数.
答案
解：
(1) 证明：
∵ EF//AB，
∴ ∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵ ∠A + ∠DGF = 180°，
∴ ∠AEF = ∠DGF（同角的补角相等），
∴ DG//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ DG//AC，
∴ ∠GDE = ∠AED = 30°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DEC = 180° - ∠AED = 150°，
∵ EF平分∠DEC，
∴ ∠DEF = $\frac{1}{2}$∠DEC = 75°，
在△DEG中，∠DGE = 180° - ∠GDE - ∠DEF = 180° - 30° - 75° = 75°，
由平角的定义得：∠DGF = 180° - ∠DGE = 180° - 75° = 105°。
答：∠DGF的度数为105°。
(1) 证明：
∵ EF//AB，
∴ ∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵ ∠A + ∠DGF = 180°，
∴ ∠AEF = ∠DGF（同角的补角相等），
∴ DG//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ DG//AC，
∴ ∠GDE = ∠AED = 30°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DEC = 180° - ∠AED = 150°，
∵ EF平分∠DEC，
∴ ∠DEF = $\frac{1}{2}$∠DEC = 75°，
在△DEG中，∠DGE = 180° - ∠GDE - ∠DEF = 180° - 30° - 75° = 75°，
由平角的定义得：∠DGF = 180° - ∠DGE = 180° - 75° = 105°。
答：∠DGF的度数为105°。
解析
【分析】
(1) 要证明$DG// AC$，可通过寻找角的等量关系推导：已知$EF// AB$，根据平行线的性质可得$∠ A$与$∠ AEF$互补，结合题目给出的$∠ A$与$∠ DGF$互补，利用同角的补角相等可得到一组同位角相等，即可判定$DG// AC$。
(2) 求$∠ DGF$的度数，先利用第一问$DG// AC$的结论，由平行线内错角相等得到$∠ AED$的度数，再根据平角定义算出$∠ DEC$的度数，结合角平分线的定义求出$∠ DEF$的度数，在$△ DEG$中用三角形内角和求出$∠ DGE$的度数，最后根据平角定义即可算出$∠ DGF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ A + ∠ DGF = 180°$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ DGF$（同角的补角相等），
$\therefore DG// AC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ GDE = ∠ AED = 30°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ DEC = 180° - ∠ AED = 150°$，
$\because EF$平分$∠ DEC$，
$\therefore ∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DEC = 75°$，
在$△ DEG$中，$∠ DGE = 180° - ∠ GDE - ∠ DEF = 180° - 30° - 75° = 75°$，
由平角的定义得：$∠ DGF = 180° - ∠ DGE = 180° - 75° = 105°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{105°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练运用平行线的相关定理，理清角与角之间的数量关系，推导过程中每一步都要有对应的定理作为依据，整体逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$DG// AC$，可通过寻找角的等量关系推导：已知$EF// AB$，根据平行线的性质可得$∠ A$与$∠ AEF$互补，结合题目给出的$∠ A$与$∠ DGF$互补，利用同角的补角相等可得到一组同位角相等，即可判定$DG// AC$。
(2) 求$∠ DGF$的度数，先利用第一问$DG// AC$的结论，由平行线内错角相等得到$∠ AED$的度数，再根据平角定义算出$∠ DEC$的度数，结合角平分线的定义求出$∠ DEF$的度数，在$△ DEG$中用三角形内角和求出$∠ DGE$的度数，最后根据平角定义即可算出$∠ DGF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ A + ∠ DGF = 180°$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ DGF$（同角的补角相等），
$\therefore DG// AC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ GDE = ∠ AED = 30°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ DEC = 180° - ∠ AED = 150°$，
$\because EF$平分$∠ DEC$，
$\therefore ∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DEC = 75°$，
在$△ DEG$中，$∠ DGE = 180° - ∠ GDE - ∠ DEF = 180° - 30° - 75° = 75°$，
由平角的定义得：$∠ DGF = 180° - ∠ DGE = 180° - 75° = 105°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{105°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练运用平行线的相关定理，理清角与角之间的数量关系，推导过程中每一步都要有对应的定理作为依据，整体逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
