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12. 解方程组：
(1) $\begin{cases} y=5-x, \\ 2x+y=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, \mathrm{①} \\ x+0.4y=40. \mathrm{②} \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y=5-x, \\ 2x+y=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, \mathrm{①} \\ x+0.4y=40. \mathrm{②} \end{cases}$
答案
解：
(1) $\begin{cases} y=5-x, & ① \\ 2x+y=8. & ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2x + 5 - x = 8$
解得 $x=3$
把$x=3$代入①，得：
$y=5-3=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, & ① \\ x+0.4y=40. & ② \end{cases}$
由②得：$x=40-0.4y$ ③
把③代入①，得：
$0.5×(40-0.4y) + 0.7y = 35$
$20 - 0.2y + 0.7y = 35$
$0.5y = 15$
解得 $y=30$
把$y=30$代入③，得：
$x=40 - 0.4×30 = 28$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y=5-x, & ① \\ 2x+y=8. & ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2x + 5 - x = 8$
解得 $x=3$
把$x=3$代入①，得：
$y=5-3=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, & ① \\ x+0.4y=40. & ② \end{cases}$
由②得：$x=40-0.4y$ ③
把③代入①，得：
$0.5×(40-0.4y) + 0.7y = 35$
$20 - 0.2y + 0.7y = 35$
$0.5y = 15$
解得 $y=30$
把$y=30$代入③，得：
$x=40 - 0.4×30 = 28$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
解析
【分析】
本题是二元一次方程组求解问题，均可使用代入消元法解答：（1）第一个方程已直接给出y用x表示的形式，直接代入第二个方程即可消去y，得到关于x的一元一次方程，解出x后再代回原式求出y的值；（2）第二个方程中x的系数为1，可先变形得到x用y表示的式子，再代入第一个方程消去x，解出y后代回求出x的值，涉及小数运算时要注意计算准确。
【解析】
(1) 令$\begin{cases} y=5-x, & ① \\ 2x+y=8. & ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2x + 5 - x = 8$
解得 $x=3$
把$x=3$代入①，得：
$y=5-3=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
(2) 令$\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, & ① \\ x+0.4y=40. & ② \end{cases}$
由②得：$x=40-0.4y$ ③
把③代入①，得：
$0.5×(40-0.4y) + 0.7y = 35$
$20 - 0.2y + 0.7y = 35$
$0.5y = 15$
解得 $y=30$
把$y=30$代入③，得：
$x=40 - 0.4×30 = 28$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查代入消元法的实际应用，核心思路是通过代入消元将二元方程转化为一元一次方程求解，计算过程中要注意小数运算的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组求解问题，均可使用代入消元法解答：（1）第一个方程已直接给出y用x表示的形式，直接代入第二个方程即可消去y，得到关于x的一元一次方程，解出x后再代回原式求出y的值；（2）第二个方程中x的系数为1，可先变形得到x用y表示的式子，再代入第一个方程消去x，解出y后代回求出x的值，涉及小数运算时要注意计算准确。
【解析】
(1) 令$\begin{cases} y=5-x, & ① \\ 2x+y=8. & ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2x + 5 - x = 8$
解得 $x=3$
把$x=3$代入①，得：
$y=5-3=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
(2) 令$\begin{cases} 0.5x+0.7y=35, & ① \\ x+0.4y=40. & ② \end{cases}$
由②得：$x=40-0.4y$ ③
把③代入①，得：
$0.5×(40-0.4y) + 0.7y = 35$
$20 - 0.2y + 0.7y = 35$
$0.5y = 15$
解得 $y=30$
把$y=30$代入③，得：
$x=40 - 0.4×30 = 28$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=28 \\ y=30 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查代入消元法的实际应用，核心思路是通过代入消元将二元方程转化为一元一次方程求解，计算过程中要注意小数运算的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
13. 解一元一次不等式$2+\frac{x-1}{2}＜1$，并将解集在数轴上表示出来. 
答案
解：
去分母，两边同乘2，得
$ 4 + x - 1 ＜ 2 $
合并同类项，得
$ x + 3 ＜ 2 $
移项，得
$ x ＜ 2 - 3 $
$ x ＜ -1 $
在数轴上表示解集：在刻度为-1的位置画空心圆圈，从该点沿数轴向左画出指向负方向的射线，代表所有小于-1的数都属于该不等式的解集。
去分母，两边同乘2，得
$ 4 + x - 1 ＜ 2 $
合并同类项，得
$ x + 3 ＜ 2 $
移项，得
$ x ＜ 2 - 3 $
$ x ＜ -1 $
在数轴上表示解集：在刻度为-1的位置画空心圆圈，从该点沿数轴向左画出指向负方向的射线，代表所有小于-1的数都属于该不等式的解集。
解析
【分析】
解本题可类比一元一次方程的求解步骤进行：首先去分母，注意不等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数2，不能漏乘不含分母的常数项；之后合并同类项，再将常数项移到不等式右侧，即可求出解集；最后根据数轴表示解集的规则，小于某个数时在对应刻度画空心圆圈，向左画射线表示解集范围即可。
【解析】
1. 求解不等式：
第一步去分母：不等式两边同时乘以2，得
$4 + x - 1 ＜ 2$
第二步合并同类项：计算左侧常数项，得
$x + 3 ＜ 2$
第三步移项：将左侧常数项移到右侧变号，得
$x ＜ 2 - 3$
计算得$x ＜ -1$
2. 数轴表示解集：
在数轴刻度为-1的位置画空心圆圈（表示不包含-1这个点），从该点沿数轴向左画出指向负方向的射线，代表所有小于-1的数都属于该不等式的解集。
【答案】
不等式的解集为$\boldsymbol{x ＜ -1}$，数轴表示为在-1处画空心圆圈，向左延伸的射线。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式的常规求解步骤，以及解集在数轴上的规范表示，解题时需注意去分母环节不要漏乘常数项，数轴表示时要正确区分空心（不含该点）和实心（含该点）的使用，以及根据不等号方向确定射线的朝向。
【难度系数】
0.8
解本题可类比一元一次方程的求解步骤进行：首先去分母，注意不等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数2，不能漏乘不含分母的常数项；之后合并同类项，再将常数项移到不等式右侧，即可求出解集；最后根据数轴表示解集的规则，小于某个数时在对应刻度画空心圆圈，向左画射线表示解集范围即可。
【解析】
1. 求解不等式：
第一步去分母：不等式两边同时乘以2，得
$4 + x - 1 ＜ 2$
第二步合并同类项：计算左侧常数项，得
$x + 3 ＜ 2$
第三步移项：将左侧常数项移到右侧变号，得
$x ＜ 2 - 3$
计算得$x ＜ -1$
2. 数轴表示解集：
在数轴刻度为-1的位置画空心圆圈（表示不包含-1这个点），从该点沿数轴向左画出指向负方向的射线，代表所有小于-1的数都属于该不等式的解集。
【答案】
不等式的解集为$\boldsymbol{x ＜ -1}$，数轴表示为在-1处画空心圆圈，向左延伸的射线。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式的常规求解步骤，以及解集在数轴上的规范表示，解题时需注意去分母环节不要漏乘常数项，数轴表示时要正确区分空心（不含该点）和实心（含该点）的使用，以及根据不等号方向确定射线的朝向。
【难度系数】
0.8
14. 已知$ a-1 $的平方根是$ \pm6 $，$ b $的立方根是$-3$，$ c $是$ \sqrt{8} $的整数部分.
(1)直接写出$ a,b,c $的值；
(2)若$ x $是$ \sqrt{8} $的小数部分，求$ (\sqrt{8} +2)-x $的算术平方根.
(1)直接写出$ a,b,c $的值；
(2)若$ x $是$ \sqrt{8} $的小数部分，求$ (\sqrt{8} +2)-x $的算术平方根.
答案
解：
(1) 由题意可得：
$a-1=(\pm6)^2=36$，解得$a=37$；
$b=(-3)^3=-27$；
因为$2＜\sqrt{8}＜3$，$\sqrt{8}$的整数部分为2，所以$c=2$。
即$a=37$，$b=-27$，$c=2$。
(2) 因为$\sqrt{8}$的整数部分是2，$x$是$\sqrt{8}$的小数部分，
所以$x=\sqrt{8}-2$，
代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+2)-x&=\sqrt{8}+2-(\sqrt{8}-2)\\&=\sqrt{8}+2-\sqrt{8}+2\\&=4\end{aligned}$
4的算术平方根是2，
所以$(\sqrt{8}+2)-x$的算术平方根为2。
(1) 由题意可得：
$a-1=(\pm6)^2=36$，解得$a=37$；
$b=(-3)^3=-27$；
因为$2＜\sqrt{8}＜3$，$\sqrt{8}$的整数部分为2，所以$c=2$。
即$a=37$，$b=-27$，$c=2$。
(2) 因为$\sqrt{8}$的整数部分是2，$x$是$\sqrt{8}$的小数部分，
所以$x=\sqrt{8}-2$，
代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+2)-x&=\sqrt{8}+2-(\sqrt{8}-2)\\&=\sqrt{8}+2-\sqrt{8}+2\\&=4\end{aligned}$
4的算术平方根是2，
所以$(\sqrt{8}+2)-x$的算术平方根为2。
解析
【分析】
本题可根据平方根、立方根的定义以及无理数的估算方法逐步求解：
(1) 求a的值：根据平方根的定义，若一个数的平方根是±6，那么这个数等于(±6)²，由此可列等式a-1=(±6)²，计算即可得到a的值；求b的值：根据立方根的定义，若一个数的立方根是-3，那么这个数等于(-3)³，直接计算即可得到b的值；求c的值：先估算√8的大小，找到和8相邻的两个完全平方数4和9，可得2＜√8＜3，因此√8的整数部分是2，即c的值为2。
(2) 先明确无理数的小数部分=原数-整数部分，由此可得√8的小数部分x=√8-2，将x代入式子(√8+2)-x化简求值，再根据算术平方根的定义求出结果的算术平方根即可。
【解析】
(1) 由题意可得：
$a-1=(\pm6)^2=36$，解得$a=37$；
$b=(-3)^3=-27$；
因为$2＜\sqrt{8}＜3$，$\sqrt{8}$的整数部分为2，所以$c=2$。
即$a=37$，$b=-27$，$c=2$。
(2) 因为$\sqrt{8}$的整数部分是2，$x$是$\sqrt{8}$的小数部分，
所以$x=\sqrt{8}-2$，
代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+2)-x&=\sqrt{8}+2-(\sqrt{8}-2)\\&=\sqrt{8}+2-\sqrt{8}+2\\&=4\end{aligned}$
4的算术平方根是2，
所以$(\sqrt{8}+2)-x$的算术平方根为2。
【答案】
(1) $a=37$，$b=-27$，$c=2$；(2) $2$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，算术平方根的计算
【点评】
本题属于实数相关的基础综合题，解题的核心是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的概念，以及无理数整数部分和小数部分的估算方法，这类题型是实数章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
本题可根据平方根、立方根的定义以及无理数的估算方法逐步求解：
(1) 求a的值：根据平方根的定义，若一个数的平方根是±6，那么这个数等于(±6)²，由此可列等式a-1=(±6)²，计算即可得到a的值；求b的值：根据立方根的定义，若一个数的立方根是-3，那么这个数等于(-3)³，直接计算即可得到b的值；求c的值：先估算√8的大小，找到和8相邻的两个完全平方数4和9，可得2＜√8＜3，因此√8的整数部分是2，即c的值为2。
(2) 先明确无理数的小数部分=原数-整数部分，由此可得√8的小数部分x=√8-2，将x代入式子(√8+2)-x化简求值，再根据算术平方根的定义求出结果的算术平方根即可。
【解析】
(1) 由题意可得：
$a-1=(\pm6)^2=36$，解得$a=37$；
$b=(-3)^3=-27$；
因为$2＜\sqrt{8}＜3$，$\sqrt{8}$的整数部分为2，所以$c=2$。
即$a=37$，$b=-27$，$c=2$。
(2) 因为$\sqrt{8}$的整数部分是2，$x$是$\sqrt{8}$的小数部分，
所以$x=\sqrt{8}-2$，
代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+2)-x&=\sqrt{8}+2-(\sqrt{8}-2)\\&=\sqrt{8}+2-\sqrt{8}+2\\&=4\end{aligned}$
4的算术平方根是2，
所以$(\sqrt{8}+2)-x$的算术平方根为2。
【答案】
(1) $a=37$，$b=-27$，$c=2$；(2) $2$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，算术平方根的计算
【点评】
本题属于实数相关的基础综合题，解题的核心是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的概念，以及无理数整数部分和小数部分的估算方法，这类题型是实数章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
15. 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
答案
解：
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x + 3y = 600 \\50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 200 \\4x + 3y = 520\end{cases}$
由$2x + y = 200$得$y = 200 - 2x$，代入$4x + 3y = 520$：
$4x + 3(200 - 2x) = 520$
解得 $x = 40$
将$x=40$代入$y=200-2x$，得 $y = 120$
(2) 计算节省的总金额：
$80×40×(1-0.8) + 100×120×(1-0.75)$
$= 640 + 3000$
$= 3640$（元）
答：(1) 打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元；(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元。
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x + 3y = 600 \\50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 200 \\4x + 3y = 520\end{cases}$
由$2x + y = 200$得$y = 200 - 2x$，代入$4x + 3y = 520$：
$4x + 3(200 - 2x) = 520$
解得 $x = 40$
将$x=40$代入$y=200-2x$，得 $y = 120$
(2) 计算节省的总金额：
$80×40×(1-0.8) + 100×120×(1-0.75)$
$= 640 + 3000$
$= 3640$（元）
答：(1) 打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元；(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元。
解析
【分析】
（1）本题需求两个未知量，因此考虑设两个未知数列二元一次方程组求解。首先提取题干的两个等量关系：①打折前6盒甲品牌粽子总价+3盒乙品牌粽子总价=600元；②打折后50盒甲品牌粽子（按八折计算）总价+40盒乙品牌粽子（按七五折计算）总价=5200元，列出方程组后用代入消元法求解即可得到两种粽子的单价。
（2）计算节省金额时，可分别算出每盒甲、乙粽子打折后少花的钱，乘对应购买数量后相加，也可以用不打折的总花费减去打折后的总花费，两种方法均可以快速得出结果。
【解析】
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x + 3y = 600 \\50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 200 ①\\4x + 3y = 520 ②\end{cases}$
由①得$y = 200 - 2x$，将其代入②：
$4x + 3(200 - 2x) = 520$
$4x + 600 - 6x = 520$
$-2x = -80$
解得 $x = 40$
将$x=40$代入$y=200-2x$，得 $y = 200 - 2×40 = 120$
(2) 计算节省的总金额：
甲品牌每盒节省$40×(1-0.8)=8$元，80盒共节省$80×8=640$元；
乙品牌每盒节省$120×(1-0.75)=30$元，100盒共节省$100×30=3000$元；
总节省金额为$640 + 3000 = 3640$（元）
【答案】
(1) 打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元；
(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售折扣问题
【点评】
本题结合节日促销的生活场景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题的关键是审清题意，准确换算折扣，找准打折前后的数量关系，整体计算量较小。
【难度系数】
0.8
（1）本题需求两个未知量，因此考虑设两个未知数列二元一次方程组求解。首先提取题干的两个等量关系：①打折前6盒甲品牌粽子总价+3盒乙品牌粽子总价=600元；②打折后50盒甲品牌粽子（按八折计算）总价+40盒乙品牌粽子（按七五折计算）总价=5200元，列出方程组后用代入消元法求解即可得到两种粽子的单价。
（2）计算节省金额时，可分别算出每盒甲、乙粽子打折后少花的钱，乘对应购买数量后相加，也可以用不打折的总花费减去打折后的总花费，两种方法均可以快速得出结果。
【解析】
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x + 3y = 600 \\50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 200 ①\\4x + 3y = 520 ②\end{cases}$
由①得$y = 200 - 2x$，将其代入②：
$4x + 3(200 - 2x) = 520$
$4x + 600 - 6x = 520$
$-2x = -80$
解得 $x = 40$
将$x=40$代入$y=200-2x$，得 $y = 200 - 2×40 = 120$
(2) 计算节省的总金额：
甲品牌每盒节省$40×(1-0.8)=8$元，80盒共节省$80×8=640$元；
乙品牌每盒节省$120×(1-0.75)=30$元，100盒共节省$100×30=3000$元；
总节省金额为$640 + 3000 = 3640$（元）
【答案】
(1) 打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元；
(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售折扣问题
【点评】
本题结合节日促销的生活场景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题的关键是审清题意，准确换算折扣，找准打折前后的数量关系，整体计算量较小。
【难度系数】
0.8
