1. [2026 蚌埠期末]如图,已知 $AB ⊥ BD$, $CD ⊥ BD$,若用 HL 判定 $Rt△ ABD$ 和 $Rt△ CDB$ 全等,则需要添加的条件是 ()

A.$AD = CB$
B.$∠ A = ∠ C$
C.$BD = DB$
D.$AB = CD$

1 A 由题图可知 BD 为公共边,若想用 HL 判定 Rt△ABD和 Rt△CDB 全等,必须添加 AD = CB.

【分析】
解题时首先明确题目要求：用HL判定两个直角三角形全等。第一步先回忆HL的判定规则：仅适用于直角三角形，需满足斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形才全等。第二步梳理已知条件：两个三角形都是直角三角形，BD是公共直角边，已经满足一条直角边相等的条件。第三步推导需要补充的条件：按照HL要求，还差斜边对应相等，找到两个三角形的斜边分别是AD、CB，因此只需添加AD=CB即可。最后可逐一排除不符合HL要求的其他选项。
【解析】
首先，HL判定定理的内容是：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
已知$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，所以$∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，$△ ABD$和$△ CDB$都是直角三角形。
观察两个三角形的边：
1. 公共边$BD=DB$，是两个直角三角形的一组相等的直角边；
2. 要使用HL判定全等，还需要一组斜边相等：$\mathrm{Rt}△ ABD$的斜边是$AD$，$\mathrm{Rt}△ CDB$的斜边是$CB$，因此添加$AD=CB$即可用HL判定两三角形全等。
再分析其他选项：
选项B：$∠ A=∠ C$，结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，是AAS判定，不符合HL要求；
选项C：$BD=DB$是已有公共边，仅这一条件无法判定全等，也不符合HL的补充要求；
选项D：$AB=CD$，结合$BD=DB$、$∠ ABD=∠ CDB$，是SAS判定，不符合HL要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理；全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时要注意HL的适用范围仅为直角三角形，且需明确区分HL与其他全等判定定理的条件差异，先找到已有的相等边、角，再结合判定要求补充缺失的条件即可。
【难度系数】
0.7

2. [2026阜阳期中]下列判定两个直角三角形全等的方法中,错误的是 ()

A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一直角边对应相等
D.两锐角对应相等

2 D A项,根据“SAS”可判定两个直角三角形全等,故A项判定方法正确,不符合题意;B项,根据“AAS”可判定两个直角三角形全等,故B项判定方法正确,不符合题意;C项,根据“HL”可判定两个直角三角形全等,故C项判定方法正确,不符合题意;D项,两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等,故D项判定方法错误,符合题意.

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定方法，解题时首先回忆普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）以及直角三角形特有的HL判定定理，明确全等三角形的判定必须包含至少一组对应边相等的条件，再逐一分析每个选项的判定依据，即可找出错误的判定方法。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A项：两条直角边对应相等，二者的夹角为直角也相等，符合“SAS”全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，判定方法正确，不符合题意；
B项：斜边和一锐角对应相等，加上两个直角三角形的直角相等，符合“AAS”全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，判定方法正确，不符合题意；
C项：斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形特有的“HL”判定定理，可判定两个直角三角形全等，判定方法正确，不符合题意；
D项：两锐角对应相等时，没有对应边相等的条件，无法判定两个直角三角形全等，判定方法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形判定定理
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的核心是牢记全等三角形的所有判定方法都需要有对应边相等的条件，仅角对应相等不能判定三角形全等，要准确区分各类全等判定的适用条件。
【难度系数】
0.8

3. [2025合肥包河区段考]如图，D,C,F,B四点在同一直线上，AB = DE,AC ⊥ BD,EF ⊥ BD,垂足分别为C,F,CD = BF.求证:△ABC≌△EDF.

3 证明:
∵ AC ⊥ BD,EF ⊥ BD,
∴ △ABC 和 △EDF 为直角三角形,∠ACB = ∠EFD = 90°.
∵ BF = CD,
∴ CF + BF = CF + CD,即 BC = DF.
在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中,$\begin{cases} AB = ED, \\ BC = DF, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).

【分析】
要证明△ABC≌△EDF，首先观察三角形特征：已知AC⊥BD、EF⊥BD，可先确定两个三角形都是直角三角形，因此可优先考虑直角三角形全等的判定定理。已知斜边AB=DE，只需再证明一组直角边相等即可；题中给出CD=BF，给这两条相等线段同时加上公共部分CF，根据等式性质即可得到直角边BC=DF，满足HL定理的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AC ⊥ BD，EF ⊥ BD，
∴ △ABC 和 △EDF 为直角三角形，∠ACB = ∠EFD = 90°。
∵ BF = CD，
∴ CF + BF = CF + CD，即 BC = DF。
在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中，
$\begin{cases} AB = ED, \\ BC = DF, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△EDF(HL)。
【答案】
证明过程如上所述，可证得△ABC≌△EDF。
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）、线段和差计算、垂直的定义
【点评】
本题属于基础的全等证明类题目，解题关键是先通过垂直判定三角形为直角三角形，再利用线段和差推出相等的直角边，结合已知的斜边相等条件，用HL定理完成证明，需注意HL是仅适用于直角三角形的全等判定定理。
【难度系数】
0.85

4. 如图,已知AD,CE是△ABC的两条高线,AD=CE,∠CAD=25°,则∠OCD的度数为 ()

A.40°
B.45°
C.30°
D.50°

4 A
∵ AD,CE 是 △ABC 的两条高线,
∴ △CEA 与 △ADC都是直角三角形.
∵ CE = AD,CA = AC,
∴ Rt△CEA≌Rt△ADC(HL),
∴ ∠ACE = ∠CAD = 25°.
∵ ∠ACD = 90° - ∠CAD = 65°,
∴ ∠OCD = ∠ACD - ∠ACE = 40°.

【分析】
解题时首先从已知条件“AD、CE是△ABC的两条高线”入手，可得到两个直角三角形，且两个直角三角形有公共斜边AC，结合已知AD=CE，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；再利用直角三角形两锐角互余求出∠ACD的度数，最后通过角度差计算出∠OCD的度数即可。
【解析】
∵ AD,CE是△ABC的两条高线,
∴ ∠CEA=∠ADC=90°，即△CEA与△ADC都是直角三角形。
在$Rt△ CEA$和$Rt△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l} CE=AD \\ CA=AC \end{array} $
∴ $Rt△ CEA≌Rt△ ADC(HL)$,
∴ $∠ ACE=∠ CAD=25°$。
∵ 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$,
∴ $∠ ACD=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$,
∴ $∠ OCD=∠ ACD-∠ ACE=65°-25°=40°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于基础的几何综合题，解题的关键是挖掘公共斜边这一隐含条件，结合HL定理证明三角形全等，再利用直角三角形的角度性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7

5. [2025合肥瑶海区期中]如图,有两个长度相同的滑梯BC,EF斜靠在一面竖直的墙上,且左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF=6 m,DE=8 m,AD=4 m,则BF的长度为 ()

A.18 m
B.16 m
C.12 m
D.10 m

5 A 由题意知,滑梯、墙、地面正好构成直角三角形.在Rt△ABC和 Rt△DEF 中,$\begin{cases} BC = EF, \\ AC = DF, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴ AB = DE = 8 m,
∴ BF = AB + AD + DF = 8 + 4 + 6 = 18(m).

【分析】
首先观察图形，可知AC垂直地面BF、DE垂直地面BF，因此△ABC和△DEF都是直角三角形。题目已知两个滑梯长度相等即BC=EF，且AC=DF，符合直角三角形全等的HL判定条件，可先证明两个三角形全等，得到对应边AB=DE；再观察BF的构成，BF是AB、AD、DF三段线段的和，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得：$∠ BAC=∠ EDF=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases} BC = EF \\ AC = DF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore AB=DE=8\ \mathrm{m}$
又$\because AD=4\ \mathrm{m}$，$DF=6\ \mathrm{m}$
$\therefore BF=AB+AD+DF=8+4+6=18\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是几何基础应用题，解题关键是结合场景确定直角三角形，利用HL证明全等得到未知边的长度，再结合图形的线段和差关系求解，考查对基础全等判定的掌握和图形观察能力。
【难度系数】
0.8

6. [2026六安质测]如图，$AC = BC$，$BE = CD$，$AD ⊥ CE$，$BE ⊥ CE$，垂足分别是$D$，$E$。
求证:(1)$△ ADC ≌ △ CEB$；
(2)$AC ⊥ BC$。

6 证明:(1)
∵ AD ⊥ CE,BE ⊥ CE,
∴ ∠ADC = ∠E = 90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△CEB 中,$\begin{cases} AC = CB, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△CEB(HL).
(2)
∵ Rt△ADC≌Rt△CEB,
∴ ∠DAC = ∠ECB.
∵ AD ⊥ CE,
∴ ∠DAC + ∠DCA = 90°,
∴ ∠ECB + ∠DCA = 90°,
∴ ∠ACB = 90°,即 AC ⊥ BC.

【分析】
（1）要证明△ADC≌△CEB，先判断三角形类型：由AD⊥CE、BE⊥CE可知△ADC和△CEB均为直角三角形，题中已给出斜边AC=CB，一组直角边CD=BE，符合直角三角形全等的HL判定条件，代入条件即可证明全等。
（2）要证明AC⊥BC，只需证∠ACB=90°。可利用（1）的全等结论得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，通过角的等量代换推导∠ECB与∠DCA的和为90°，即可得到∠ACB为直角，推出垂直关系。
【解析】
(1)
∵ AD ⊥ CE,BE ⊥ CE,
∴ ∠ADC = ∠E = 90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△CEB 中,$\begin{cases} AC = CB, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△CEB(HL).
(2)
∵ Rt△ADC≌Rt△CEB,
∴ ∠DAC = ∠ECB.
∵ AD ⊥ CE,
∴ ∠DAC + ∠DCA = 90°,
∴ ∠ECB + ∠DCA = 90°,
∴ ∠ACB = 90°,即 AC ⊥ BC.
【答案】
(1) △ADC≌△CEB，得证；
(2) AC⊥BC，得证。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察直角三角形全等判定定理和全等性质的综合应用，解题时先从已知的垂直、边长相等条件入手证明全等，再通过角的等量代换推导角度关系即可得证，需熟练掌握全等相关定理的应用。
【难度系数】
0.8

7. [2026广州增城区期末]太阳能热水器()环保节能，安全可靠，维护简单，备受人们的喜爱.它的支架我们可以看作$Rt△ ABC$()，为增强其牢固性，增加了DA，DE两根支架，已知$DE⊥ AB$，$∠ C=90°$，且$AC=AE$，$∠ B=58°$.
(1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明；
(2)求$∠ ADC$的度数.

7 解:(1)Rt△ADC≌Rt△ADE. 证明如下:
∵ DE ⊥ AB,∠C = 90°,
∴ ∠C = ∠AED = 90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△ADE 中,$\begin{cases} AC = AE, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
(2)
∵ ∠B = 58°,∠C = 90°,
∴ ∠BAC = 90° - 58° = 32°.
∵ Rt△ADC≌Rt△ADE,
∴ ∠DAC = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 16°,
∴ ∠ADC = 180° - ∠C - ∠DAC = 180° - 90° - 16° = 74°.

【分析】
(1) 观察图形可知存在两个直角三角形$Rt△ ADC$和$Rt△ ADE$，已知两个三角形均为直角三角形，有公共斜边$AD$，且直角边$AC=AE$，符合直角三角形全等的HL判定条件，即可证明二者全等；
(2) 先在$Rt△ ABC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAC$的度数，再根据全等三角形对应角相等得到$AD$平分$∠ BAC$，求出$∠ DAC$的度数，最后在$Rt△ ADC$中利用三角形内角和即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
(1) 全等三角形为$\boldsymbol{Rt△ ADC ≌ Rt△ ADE}$，证明如下：
$\because DE ⊥ AB$，$∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ C = ∠ AED = 90°$，
在$Rt△ ADC$和$Rt△ ADE$中：
$\begin{cases} AC = AE \\ AD = AD \end{cases}$
$\therefore Rt△ ADC ≌ Rt△ ADE(\mathrm{HL})$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B = 58°$，$∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = 90° - ∠ B = 90° - 58° = 32°$，
由$Rt△ ADC ≌ Rt△ ADE$可得$∠ DAC = ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 32° = 16°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ DAC = 180° - 90° - 16° = 74°$。
【答案】
(1) $Rt△ ADC ≌ Rt△ ADE$，证明见解析；
(2) $∠ ADC = 74°$
【知识点】
HL定理、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活场景命题，考查直角三角形全等的判定与性质的应用，解题关键是先证明三角形全等，再利用全等性质转化角的关系计算，是基础几何应用类题目。
【难度系数】
0.7