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1. [2025 滁州期末] 如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,点 $B,F,C,D$ 在同一条直线上,已知 $∠ A = ∠ D$, $AB = DE$, 添加以下条件,不能判定 $△ ABC ≌ △ DEF$ 的是 (
A.$∠ B = ∠ E$
B.$AC = DF$
C.$∠ ACB = ∠ DFE$
D.$BC = EF$
D
)A.$∠ B = ∠ E$
B.$AC = DF$
C.$∠ ACB = ∠ DFE$
D.$BC = EF$
答案
逐项分析如下：
| 添加条件 | 已知条件 | 判定依据 | 能否判定$△ ABC≌△ DEF$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A. $∠ B = ∠ E$ | μltirow{4}{*}{$∠ A = ∠ D$, $AB=DE$} | ASA | 能 |
| B. $AC = DF$ | | SAS | 能 |
| C. $∠ ACB = ∠ DFE$ | | AAS | 能 |
| D. $BC = EF$ | | | 否 |
| 添加条件 | 已知条件 | 判定依据 | 能否判定$△ ABC≌△ DEF$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A. $∠ B = ∠ E$ | μltirow{4}{*}{$∠ A = ∠ D$, $AB=DE$} | ASA | 能 |
| B. $AC = DF$ | | SAS | 能 |
| C. $∠ ACB = ∠ DFE$ | | AAS | 能 |
| D. $BC = EF$ | | | 否 |
解析
【分析】
本题考查三角形全等的判定，解题时先明确已知条件：△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再结合全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS）逐一分析各选项添加的条件是否符合判定要求，注意SSA无法判定一般三角形全等，即可得出答案。
【解析】
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，逐项分析如下：
1. 若添加条件∠B=∠E，满足“两角及其夹边对应相等”的ASA判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
2. 若添加条件AC=DF，满足“两边及其夹角对应相等”的SAS判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
3. 若添加条件∠ACB=∠DFE，满足“两角及其中一角的对边对应相等”的AAS判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
4. 若添加条件BC=EF，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定定理，无法判定△ABC≌△DEF。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. SSA的判定局限性
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，主要考查对各判定定理适用条件的掌握，需牢记SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，是该部分知识点的常见易错题。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形全等的判定，解题时先明确已知条件：△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再结合全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS）逐一分析各选项添加的条件是否符合判定要求，注意SSA无法判定一般三角形全等，即可得出答案。
【解析】
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，逐项分析如下：
1. 若添加条件∠B=∠E，满足“两角及其夹边对应相等”的ASA判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
2. 若添加条件AC=DF，满足“两边及其夹角对应相等”的SAS判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
3. 若添加条件∠ACB=∠DFE，满足“两角及其中一角的对边对应相等”的AAS判定规则，可判定△ABC≌△DEF；
4. 若添加条件BC=EF，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定定理，无法判定△ABC≌△DEF。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. SSA的判定局限性
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，主要考查对各判定定理适用条件的掌握，需牢记SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，是该部分知识点的常见易错题。
【难度系数】
0.8
2. 新趋势·过程性学习 如图,点 D,E 分别在 AB,AC上,∠ADC = ∠AEB = 90°,BE,CD 相交于点 O,OB = OC. 求证:∠1 = ∠2.
小虎同学的证明过程如下.
证明:∵ ∠ADC = ∠AEB = 90°,
∴ ∠DOB + ∠B = ∠EOC + ∠C = 90°.
∵ ∠DOB = ∠EOC,
∴ ∠B = ∠C. 第一步
又 OA = OA,OB = OC,
∴ △ABO≌△ACO, 第二步
∴ ∠1 = ∠2. 第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第
(2)请写出正确的证明过程.
小虎同学的证明过程如下.
证明:∵ ∠ADC = ∠AEB = 90°,
∴ ∠DOB + ∠B = ∠EOC + ∠C = 90°.
∵ ∠DOB = ∠EOC,
∴ ∠B = ∠C. 第一步
又 OA = OA,OB = OC,
∴ △ABO≌△ACO, 第二步
∴ ∠1 = ∠2. 第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第
二
步出现错误；(2)请写出正确的证明过程.
答案
(1)二
(2)证明如下:$\because ∠ ADC = ∠ AEB = 90°$,
$\therefore ∠ BDO = ∠ CEO = 90°$.
在$△ DOB$和$△ EOC$中,$\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO, \\ ∠ DOB = ∠ EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{AAS}),\therefore OD = OE$.
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\begin{cases} OA = OA, \\ OD = OE, \end{cases}$
$\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),\therefore ∠ 1 = ∠ 2$.
(2)证明如下:$\because ∠ ADC = ∠ AEB = 90°$,
$\therefore ∠ BDO = ∠ CEO = 90°$.
在$△ DOB$和$△ EOC$中,$\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO, \\ ∠ DOB = ∠ EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{AAS}),\therefore OD = OE$.
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\begin{cases} OA = OA, \\ OD = OE, \end{cases}$
$\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),\therefore ∠ 1 = ∠ 2$.
解析
【分析】
(1) 分析小虎的证明步骤：第一步推导∠B=∠C是正确的，第二步判定△ABO≌△ACO时，用到的条件是OA=OA、OB=OC、∠B=∠C，属于“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，不符合三角形全等的判定规则，因此第二步出错。
(2) 正确解题思路：首先利用垂直的性质、对顶角相等、OB=OC三个条件，用AAS证明△DOB和△EOC全等，得到OD=OE；再结合OD⊥AB、OE⊥AC，OA为公共边，用HL证明Rt△ADO和Rt△AEO全等，即可推出∠1=∠2。
【解析】
(1) 三角形全等判定中没有SSA定理，小虎第二步的全等判定依据不成立，因此第二步出现错误。
(2) 正确证明过程：
$\because ∠ADC = ∠AEB = 90°$，
$\therefore ∠BDO = ∠CEO = 90°$。
在$△DOB$和$△EOC$中，
$\begin{cases} ∠BDO = ∠CEO \\ ∠DOB = ∠EOC \\ OB = OC \end{cases}$
$\therefore △DOB≌△EOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD = OE$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中，
$\begin{cases} OA = OA \\ OD = OE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠1 = ∠2$。
【答案】
(1) 二
(2) 证明过程见上述解析
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的性质，HL定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质应用，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，解题时需结合已知条件选择合适的判定定理，保证证明逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
(1) 分析小虎的证明步骤：第一步推导∠B=∠C是正确的，第二步判定△ABO≌△ACO时，用到的条件是OA=OA、OB=OC、∠B=∠C，属于“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，不符合三角形全等的判定规则，因此第二步出错。
(2) 正确解题思路：首先利用垂直的性质、对顶角相等、OB=OC三个条件，用AAS证明△DOB和△EOC全等，得到OD=OE；再结合OD⊥AB、OE⊥AC，OA为公共边，用HL证明Rt△ADO和Rt△AEO全等，即可推出∠1=∠2。
【解析】
(1) 三角形全等判定中没有SSA定理，小虎第二步的全等判定依据不成立，因此第二步出现错误。
(2) 正确证明过程：
$\because ∠ADC = ∠AEB = 90°$，
$\therefore ∠BDO = ∠CEO = 90°$。
在$△DOB$和$△EOC$中，
$\begin{cases} ∠BDO = ∠CEO \\ ∠DOB = ∠EOC \\ OB = OC \end{cases}$
$\therefore △DOB≌△EOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD = OE$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中，
$\begin{cases} OA = OA \\ OD = OE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠1 = ∠2$。
【答案】
(1) 二
(2) 证明过程见上述解析
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的性质，HL定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质应用，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，解题时需结合已知条件选择合适的判定定理，保证证明逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
3. ▶教材 P108 例9 变式 求证:全等三角形对应边上的角平分线相等.
答案
证明过程如下.
已知:如图,$△ ABC≌△ A'B'C'$,线段$AD$,$A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线.
求证:$AD = A'D'$.
证明:$\because △ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',∠ BAC = ∠ B'A'C',∠ B = ∠ B'$.
$\because AD,A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ B'A'D', \\ AB = A'B', \\ ∠ B = ∠ B', \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{ASA}), \therefore AD = A'D'$.
解析
【分析】
遇到文字类几何证明题，首先要将文字命题转化为几何语言：先根据题意画出图形，把命题的条件写为已知，结论写为求证。要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中可先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线的定义得到一组角相等，进而证明AD和A'D'所在的△ABD与△A'B'D'全等，即可得证。
【解析】
首先写出已知、求证，再进行证明：
已知：如图，$△ ABC≌△ A'B'C'$，线段$AD$，$A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线。
求证：$AD = A'D'$。
证明：$\because △ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',∠ BAC = ∠ B'A'C',∠ B = ∠ B'$.
$\because AD,A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ B'A'D', \\ AB = A'B', \\ ∠ B = ∠ B', \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{ASA}), \therefore AD = A'D'$.
【答案】
已知:如图,$△ ABC≌△ A'B'C'$,线段$AD$,$A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线.
求证:$AD = A'D'$.
证明:$\because △ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',∠ BAC = ∠ B'A'C',∠ B = ∠ B'$.
$\because AD,A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ B'A'D', \\ AB = A'B', \\ ∠ B = ∠ B', \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{ASA}), \therefore AD = A'D'$.
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的判定（ASA）；角平分线的定义
【点评】
本题是文字命题证明类的基础题，需要先掌握文字命题转化为几何语言的方法，明确已知和求证后，结合全等三角形的性质与判定即可完成推导，有助于巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
遇到文字类几何证明题，首先要将文字命题转化为几何语言：先根据题意画出图形，把命题的条件写为已知，结论写为求证。要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中可先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线的定义得到一组角相等，进而证明AD和A'D'所在的△ABD与△A'B'D'全等，即可得证。
【解析】
首先写出已知、求证，再进行证明：
已知：如图，$△ ABC≌△ A'B'C'$，线段$AD$，$A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线。
求证：$AD = A'D'$。
证明：$\because △ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',∠ BAC = ∠ B'A'C',∠ B = ∠ B'$.
$\because AD,A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ B'A'D', \\ AB = A'B', \\ ∠ B = ∠ B', \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{ASA}), \therefore AD = A'D'$.
【答案】
已知:如图,$△ ABC≌△ A'B'C'$,线段$AD$,$A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线.
求证:$AD = A'D'$.
证明:$\because △ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',∠ BAC = ∠ B'A'C',∠ B = ∠ B'$.
$\because AD,A'D'$分别为$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ B'A'D', \\ AB = A'B', \\ ∠ B = ∠ B', \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{ASA}), \therefore AD = A'D'$.
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的判定（ASA）；角平分线的定义
【点评】
本题是文字命题证明类的基础题，需要先掌握文字命题转化为几何语言的方法，明确已知和求证后，结合全等三角形的性质与判定即可完成推导，有助于巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
4. [2025合肥瑶海区期末]如图1,在△ABC中,D为BC上一点,且∠ADC = 60°,∠ACB和∠CAD的平分线CF,AE交于点M,CF与AD交于点G.
(1)求∠AMC的度数;
(2)如图2,连接BM,交AD于点H,若∠BME = 60°,求证:△AHM≌△BCM.
(1)求∠AMC的度数;
(2)如图2,连接BM,交AD于点H,若∠BME = 60°,求证:△AHM≌△BCM.
答案
解题思路:(1)由$∠ ADC = 60°$,求得$∠ ACD + ∠ CAD = 120°$,由$∠ MCA = ∠ MCD = \frac{1}{2}∠ ACD$,$∠ MAC = ∠ MAD = \frac{1}{2}∠ CAD$,求得$∠ AMF = ∠ MCA + ∠ MAC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CAD) = 60°$,则$∠ AMC = 180° - ∠ AMF = 120°$;
(2)由$∠ CME = ∠ AMF = 60°$,$∠ FME = ∠ AMC = 120°$,且$∠ BME = 60°$,得$∠ BMC = 120°$,$∠ HMF = 60°$,求得$∠ AMH = 120°$,则$∠ AMH = ∠ BMC$,$∠ AMC = ∠ BMC$,而$∠ ACM = ∠ BCM$,$∠ CAM = ∠ HAM$,可证明$△ ACM≌△ BCM$,得$AM = BM$,$∠ CAM = ∠ CBM$,则$∠ HAM = ∠ CBM$,即可根据"ASA"证明$△ AHM≌△ BCM$.
(1)解:由三角形的内角和定理,可知$∠ ACD + ∠ CAD = 180° - ∠ ADC = 120°$.
$\because ∠ ACB$和$∠ CAD$的平分线$CF$,$AE$交于点$M$,
$\therefore ∠ MCA = ∠ MCD = \frac{1}{2}∠ ACD$,$∠ MAC = ∠ MAD = \frac{1}{2}∠ CAD$,
$\therefore ∠ AMF = ∠ MCA + ∠ MAC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CAD) = 60°$(三角形外角的性质定理),
$\therefore ∠ AMC = 180° - ∠ AMF = 120°$.
(2)证明:由(1)得$∠ AMF = 60°$,$∠ AMC = 120°$,
$\therefore ∠ CME = ∠ AMF = 60°$,$∠ FME = ∠ AMC = 120°$.
$\because ∠ BME = 60°$,
$\therefore ∠ BMC = ∠ BME + ∠ CME = 120°$,$∠ HMF = ∠ FME - ∠ BME = 60°$,
$\therefore ∠ AMH = ∠ AMF + ∠ HMF = 120°$,
$\therefore ∠ AMH = ∠ BMC$,$∠ AMC = ∠ BMC$.
$\because CF$平分$∠ ACB$,$AE$平分$∠ CAD$,
$\therefore ∠ ACM = ∠ BCM$,$∠ CAM = ∠ HAM$.
在$△ ACM$和$△ BCM$中,$\begin{cases} ∠ ACM = ∠ BCM, \\ CM = CM, \\ ∠ AMC = ∠ BMC, \end{cases}$
$\therefore △ ACM≌△ BCM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AM = BM$,$∠ CAM = ∠ CBM$,
$\therefore ∠ HAM = ∠ CBM$.
在$△ AHM$和$△ BCM$中,$\begin{cases} ∠ HAM = ∠ CBM, \\ AM = BM, \\ ∠ AMH = ∠ BMC, \end{cases}$
$\therefore △ AHM≌△ BCM(\mathrm{ASA})$.
(2)由$∠ CME = ∠ AMF = 60°$,$∠ FME = ∠ AMC = 120°$,且$∠ BME = 60°$,得$∠ BMC = 120°$,$∠ HMF = 60°$,求得$∠ AMH = 120°$,则$∠ AMH = ∠ BMC$,$∠ AMC = ∠ BMC$,而$∠ ACM = ∠ BCM$,$∠ CAM = ∠ HAM$,可证明$△ ACM≌△ BCM$,得$AM = BM$,$∠ CAM = ∠ CBM$,则$∠ HAM = ∠ CBM$,即可根据"ASA"证明$△ AHM≌△ BCM$.
(1)解:由三角形的内角和定理,可知$∠ ACD + ∠ CAD = 180° - ∠ ADC = 120°$.
$\because ∠ ACB$和$∠ CAD$的平分线$CF$,$AE$交于点$M$,
$\therefore ∠ MCA = ∠ MCD = \frac{1}{2}∠ ACD$,$∠ MAC = ∠ MAD = \frac{1}{2}∠ CAD$,
$\therefore ∠ AMF = ∠ MCA + ∠ MAC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CAD) = 60°$(三角形外角的性质定理),
$\therefore ∠ AMC = 180° - ∠ AMF = 120°$.
(2)证明:由(1)得$∠ AMF = 60°$,$∠ AMC = 120°$,
$\therefore ∠ CME = ∠ AMF = 60°$,$∠ FME = ∠ AMC = 120°$.
$\because ∠ BME = 60°$,
$\therefore ∠ BMC = ∠ BME + ∠ CME = 120°$,$∠ HMF = ∠ FME - ∠ BME = 60°$,
$\therefore ∠ AMH = ∠ AMF + ∠ HMF = 120°$,
$\therefore ∠ AMH = ∠ BMC$,$∠ AMC = ∠ BMC$.
$\because CF$平分$∠ ACB$,$AE$平分$∠ CAD$,
$\therefore ∠ ACM = ∠ BCM$,$∠ CAM = ∠ HAM$.
在$△ ACM$和$△ BCM$中,$\begin{cases} ∠ ACM = ∠ BCM, \\ CM = CM, \\ ∠ AMC = ∠ BMC, \end{cases}$
$\therefore △ ACM≌△ BCM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AM = BM$,$∠ CAM = ∠ CBM$,
$\therefore ∠ HAM = ∠ CBM$.
在$△ AHM$和$△ BCM$中,$\begin{cases} ∠ HAM = ∠ CBM, \\ AM = BM, \\ ∠ AMH = ∠ BMC, \end{cases}$
$\therefore △ AHM≌△ BCM(\mathrm{ASA})$.
解析
【分析】
(1) 求∠AMC的度数时，先在△ADC中利用三角形内角和求出∠ACD与∠CAD的和，再结合角平分线的性质得到∠MCA、∠MAC分别是∠ACD、∠CAD的一半，算出∠MCA+∠MAC的度数，最后在△AMC中用内角和定理即可求出∠AMC的大小。
(2) 证明△AHM≌△BCM时，先结合(1)的结论和已知∠BME=60°推导得到∠AMH=∠BMC，再通过证明△ACM≌△BCM得到AM=BM以及∠HAM=∠CBM，最后利用ASA判定定理即可证明目标三角形全等。
【解析】
(1) 在$△ ADC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACD + ∠ CAD = 180° - ∠ ADC = 180° - 60° = 120°$
$\because CF$平分$∠ ACB$，$AE$平分$∠ CAD$
$\therefore ∠ MCA = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ MAC = \frac{1}{2}∠ CAD$
$\therefore ∠ MCA + ∠ MAC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CAD) = \frac{1}{2}×120° = 60°$
在$△ AMC$中：
$∠ AMC = 180° - (∠ MCA + ∠ MAC) = 180° - 60° = 120°$
(2) 由(1)得$∠ AMC=120°$，因此$∠ CME = 180° - ∠ AMC = 60°$
$\because ∠ BME=60°$
$\therefore ∠ BMC = ∠ BME + ∠ CME = 60° + 60° = 120°$，$∠ AMH = 180° - ∠ BME = 120°$
$\therefore ∠ AMH = ∠ BMC$，且$∠ AMC = ∠ BMC=120°$
在$△ ACM$和$△ BCM$中：
$\begin{cases}∠ ACM = ∠ BCM \quad (\mathrm{CF平分}∠ ACB) \\CM = CM \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ AMC = ∠ BMC\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$
$\therefore AM = BM$，$∠ CAM = ∠ CBM$
$\because AE$平分$∠ CAD$，$\therefore ∠ CAM = ∠ HAM$，故$∠ HAM = ∠ CBM$
在$△ AHM$和$△ BCM$中：
$\begin{cases}∠ HAM = ∠ CBM \\AM = BM \\∠ AMH = ∠ BMC\end{cases}$
$\therefore △ AHM ≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$
【答案】
(1) $\boxed{120°}$
(2) 证明成立，详见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合类题目，将角度计算和全等三角形判定相结合，解题核心是利用角平分线性质推导角的等量关系，逐步获取全等所需的边、角条件，对逻辑推理能力的提升有较大帮助。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠AMC的度数时，先在△ADC中利用三角形内角和求出∠ACD与∠CAD的和，再结合角平分线的性质得到∠MCA、∠MAC分别是∠ACD、∠CAD的一半，算出∠MCA+∠MAC的度数，最后在△AMC中用内角和定理即可求出∠AMC的大小。
(2) 证明△AHM≌△BCM时，先结合(1)的结论和已知∠BME=60°推导得到∠AMH=∠BMC，再通过证明△ACM≌△BCM得到AM=BM以及∠HAM=∠CBM，最后利用ASA判定定理即可证明目标三角形全等。
【解析】
(1) 在$△ ADC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACD + ∠ CAD = 180° - ∠ ADC = 180° - 60° = 120°$
$\because CF$平分$∠ ACB$，$AE$平分$∠ CAD$
$\therefore ∠ MCA = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ MAC = \frac{1}{2}∠ CAD$
$\therefore ∠ MCA + ∠ MAC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CAD) = \frac{1}{2}×120° = 60°$
在$△ AMC$中：
$∠ AMC = 180° - (∠ MCA + ∠ MAC) = 180° - 60° = 120°$
(2) 由(1)得$∠ AMC=120°$，因此$∠ CME = 180° - ∠ AMC = 60°$
$\because ∠ BME=60°$
$\therefore ∠ BMC = ∠ BME + ∠ CME = 60° + 60° = 120°$，$∠ AMH = 180° - ∠ BME = 120°$
$\therefore ∠ AMH = ∠ BMC$，且$∠ AMC = ∠ BMC=120°$
在$△ ACM$和$△ BCM$中：
$\begin{cases}∠ ACM = ∠ BCM \quad (\mathrm{CF平分}∠ ACB) \\CM = CM \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ AMC = ∠ BMC\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$
$\therefore AM = BM$，$∠ CAM = ∠ CBM$
$\because AE$平分$∠ CAD$，$\therefore ∠ CAM = ∠ HAM$，故$∠ HAM = ∠ CBM$
在$△ AHM$和$△ BCM$中：
$\begin{cases}∠ HAM = ∠ CBM \\AM = BM \\∠ AMH = ∠ BMC\end{cases}$
$\therefore △ AHM ≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$
【答案】
(1) $\boxed{120°}$
(2) 证明成立，详见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合类题目，将角度计算和全等三角形判定相结合，解题核心是利用角平分线性质推导角的等量关系，逐步获取全等所需的边、角条件，对逻辑推理能力的提升有较大帮助。
【难度系数】
0.6
