1. 新趋势·条件开放 [2024 德州中考] 如图，C是AB的中点，且CD = BE，请添加一个条件，使得△ACD≌△CBE.

$AD = CE$(答案不唯一)

【分析】
解题时先整理已知条件，再结合三角形全等的判定定理推导需要补充的条件：首先由C是AB中点可得$AC=CB$，题目还给出$CD=BE$，此时两个三角形已有两组边对应相等，若用SSS判定全等，需补充第三组边相等；若用SAS判定全等，需补充两组已知边的夹角相等，据此补充符合要求的条件即可。
【解析】
∵C是AB的中点，
∴$AC=CB$，
已知$△ ACD$和$△ CBE$中已有对应边相等：$AC=CB$，$CD=BE$，
若添加条件$AD=CE$，则两个三角形三组对应边均相等，根据“边边边（SSS）”全等判定定理，可证$△ ACD≌△ CBE$。
（也可添加$∠ ACD=∠ B$，根据“边角边（SAS）”判定全等，答案不唯一）
【答案】
$AD = CE$(答案不唯一)
【知识点】
线段中点的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题为条件开放型题目，主要考查全等三角形判定定理的灵活应用，要求学生能结合已有条件匹配判定规则，补充缺失的成立条件，对逆向思维有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.8

2. 新趋势·条件开放 已知:如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$B,E,C,F$在同一条直线上.给出下面四个条件:①$AB = DE$;②$AC = DF$;③$BE = CF$;④$∠ ABC = ∠ DEF$.
(1)请选择其中的三个条件,使得$△ ABC ≌ △ DEF$(写出一种情况即可);
(2)在(1)的条件下,求证:$△ ABC ≌ △ DEF$.

(1)解:根据题意,可以选择的条件为①②③(或①③④).
(2)选择的条件为①②③.
证明:$\because BE = CF$,$\therefore BE + EC = CF + EC$,即$BC = EF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB = DE, \\ BC = EF, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$.
选择的条件为①③④.
证明:$\because BE = CF$,$\therefore BE + EC = CF + EC$,即$BC = EF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB = DE, \\ ∠ ABC = ∠ DEF, \\ BC = EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，可结合三角形全等的判定定理选择合适的条件。已知条件③BE=CF，结合B、E、C、F在同一直线，可通过线段和的关系推出BC=EF，即间接得到一组对应边相等。若搭配①AB=DE、②AC=DF，可满足三边对应相等，符合SSS的全等判定要求；若搭配①AB=DE、④∠ABC=∠DEF，可满足两边及夹角对应相等，符合SAS的全等判定要求，因此可选择①②③或①③④。
(2) 证明时首先利用BE=CF推导出BC=EF，再结合所选的剩余两个条件，对应全等判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 可选择的三个条件为①②③（或①③④，写出一种即可）。
(2) 选择条件①②③的证明：
∵BE = CF，
∴BE + EC = CF + EC，即BC = EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB = DE, \\ BC = EF, \\ AC = DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
选择条件①③④的证明：
∵BE = CF，
∴BE + EC = CF + EC，即BC = EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB = DE, \\ ∠ABC = ∠DEF, \\ BC = EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
【答案】
(1) ①②③（或①③④）
(2) 选择①②③时可通过SSS证明△ABC≌△DEF，选择①③④时可通过SAS证明△ABC≌△DEF，证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 线段和差计算
3. 等式的性质
【点评】
本题为条件开放类基础题，重点考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题关键是先通过线段的等量关系转化得到证明全等所需的等边，再结合选定的条件匹配对应的判定定理完成证明，能有效考查学生对全等判定知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8

3. [2026泉州期中]如图，AC与BD交于点O，若OA=OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（）


A.OB=OC
B.AB=DC
C.∠A=∠D
D.∠B=∠C

A 已知一夹边$(OA=OD)$,夹角$(∠ AOB = ∠ DOC)$,找另一夹边$(OB=OC)$.

【分析】
要解决这个问题，首先明确“SAS”判定三角形全等的要求：需要两个三角形有两边及其夹角对应相等。先梳理已知条件：已知OA=OD，AC与BD交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等，这组角正好是OA与OB的夹角、OD与OC的夹角。目前已经有一组边相等、一组夹角相等，要满足SAS的条件，只需要补充该夹角的另一组对应边相等即可，同时要区分其他判定定理的条件，排除不符合SAS要求的选项。
【解析】
SAS判定全等的规则为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
在△AOB和△DOC中：
1. 已知OA=OD；
2. ∠AOB与∠DOC是对顶角，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC。
要使用SAS判定两三角形全等，需要补充∠AOB的另一邻边OB与∠DOC的另一邻边OC相等，即OB=OC。
逐一分析选项：
A. OB=OC：此时OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，满足SAS判定条件，符合要求；
B. AB=DC：对应条件为OA=OD，∠AOB=∠DOC，AB=DC，属于SSA，不能判定三角形全等，不符合；
C. ∠A=∠D：对应条件为∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，属于ASA判定条件，不是SAS，不符合；
D. ∠B=∠C：对应条件为∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，属于AAS判定条件，不是SAS，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质；全等三角形判定
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定定理的应用，解题核心是准确把握SAS判定中“两边夹一角”的要求，结合已知条件和图形性质筛选符合要求的条件，注意不要混淆不同全等判定定理的使用条件，同时牢记SSA无法判定三角形全等。
【难度系数】
0.8

4.如图，E是线段AC上一点，AB⊥EB于点B，AD⊥ED于点D，且∠1=∠2，CB=CD。求证：∠3=∠4。

证明:$\because AB⊥ EB$,$AD⊥ ED$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ ADE = 90°$.
在$△ ABE$和$△ ADE$中,$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ ADE, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE(\mathrm{AAS}),\therefore BE = DE$.
在$△ BCE$和$△ DCE$中,$\begin{cases} CB = CD, \\ BE = DE, \\ CE = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ DCE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ 3 = ∠ 4$.
得分要点：证明线段相等或角相等时,往往可以通过证明三角形全等获得.证明三角形全等,必须具备全等的条件,有时需要证明两次全等才能完成,其中第一次全等为第二次全等创造条件,本题先利用"AAS"证明$△ ABE≌△ ADE$,可得$BE=DE$,再利用"SSS"证明$△ BCE≌△ DCE$,根据全等三角形对应角相等即可得证.

【分析】
要证明∠3=∠4，可先分析两个角所属的三角形，∠3在△BCE中，∠4在△DCE中，因此只需证明△BCE≌△DCE即可。已知△BCE和△DCE有公共边CE，且题目给出CB=CD，还缺少BE=DE这一条件。接下来推导BE=DE：观察△ABE和△ADE，二者均为直角三角形，有公共边AE，且已知∠1=∠2，可先通过AAS判定△ABE≌△ADE，得到BE=DE，即可满足△BCE和△DCE全等的SSS判定条件，最终推出对应角∠3=∠4。
【解析】
证明:$\because AB⊥ EB$,$AD⊥ ED$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ ADE = 90°$.
在$△ ABE$和$△ ADE$中,$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ ADE, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE(\mathrm{AAS}),\therefore BE = DE$.
在$△ BCE$和$△ DCE$中,$\begin{cases} CB = CD, \\ BE = DE, \\ CE = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ DCE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ 3 = ∠ 4$.
【答案】
证明过程如上，可证得∠3=∠4。
【知识点】
1.三角形全等的判定
2.全等三角形的性质
3.垂直的定义
【点评】
本题是三角形全等综合应用的典型题，需要通过两次全等完成证明，第一次全等为第二次全等提供必要的边相等条件。解题时可从结论倒推所需条件，再结合已知信息正向推导，衔接两次全等即可顺利得证。
【难度系数】
0.7