7. [2026淮南期末]如图,已知$∠ C = ∠ D,AC = AD$,增加下列条件仍不能判定$△ ABC ≌ △ AED$的是()

A.$AB = AE$
B.$BC = ED$
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.$∠ B = ∠ E$

7 A 逐项分析如下：
| 添加条件 | 已知条件 | 判定依据 | 能否判定$△ ABC≌△ AED$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A. $AB = AE$ | μltirow{4}{*}{$∠ C = ∠ D$, $AC = AD$} | | 否 |
| B. $BC = ED$ | | SAS | 能 |
| C. $∠ 1 = ∠ 2$ | | ASA | 能 |
| D. $∠ B = ∠ E$ | | AAS | 能 |

【分析】
解题时首先明确已知条件：△ABC和△AED中，∠C=∠D，AC=AD。接下来回忆三角形全等的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS，注意两边及其中一边的对角相等（SSA）不能判定三角形全等。最后逐一将各选项的附加条件代入，验证是否满足全等判定定理，即可选出符合要求的选项。
【解析】
已知△ABC和△AED中，∠C=∠D，AC=AD，逐项分析如下：
A. 若添加$AB=AE$，此时条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），不符合三角形全等的判定定理，不能判定$△ ABC ≌ △ AED$；
B. 若添加$BC=ED$，满足$\begin{cases} AC=AD \\ ∠ C=∠ D \\ BC=ED \end{cases}$，符合SAS判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ AED$；
C. 若添加$∠ 1=∠ 2$，可得$∠ 1+∠ EAB=∠ 2+∠ EAB$，即$∠ CAB=∠ DAE$，满足$\begin{cases} ∠ C=∠ D \\ AC=AD \\ ∠ CAB=∠ DAE \end{cases}$，符合ASA判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ AED$；
D. 若添加$∠ B=∠ E$，满足$\begin{cases} ∠ B=∠ E \\ ∠ C=∠ D \\ AC=AD \end{cases}$，符合AAS判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ AED$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定，角的和差性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，要求学生熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，做题时需结合已知条件逐一验证选项，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7

8. [2026邯郸段考]如图，把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM（BM足够长）摆出△ABC.保持∠ABC不变，木棍AC绕A转动得到△ABD，这说明（）

A.有三边分别相等的两个三角形全等
B.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

8 D 由题意可知 $AB = AB, AC = AD, ∠ ABC = ∠ ABD$, 但无法推导出$△ ABC$ 与$△ ABD$ 全等, 即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

【分析】解题时首先梳理△ABC和△ABD的相等元素：AB是公共边，长度不变；AC转动得到AD，故AC=AD；∠ABC固定不变，故∠ABC=∠ABD。再结合三角形全等的判定定理分析，这组条件属于两边及其中一边的对角相等（SSA），此时两个三角形不全等，对应选项即可得出答案。
【解析】解：根据题意可得，△ABC和△ABD满足以下条件：
① AB为公共边，因此$AB=AB$；
② 木棍AC绕点A转动得到AD，因此$AC=AD$；
③ 保持∠ABC不变，因此$∠ABC=∠ABD$。
以上条件是两边和其中一边的对角对应相等，此时△ABC与△ABD并不全等，说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
对选项逐一判断：
A选项：题中无三边分别相等的条件，不符合题意；
B选项：题中仅给出一组角相等，不满足两角及夹边对应相等的要求，不符合题意；
C选项：题中相等的角不是两组相等边的夹角，不满足两边及夹角对应相等的要求，不符合题意；
D选项：与推导结论一致，符合题意。
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【点评】本题结合实际操作场景考查三角形全等的判定条件，易错点是容易混淆“SAS”和“SSA”的适用场景，需明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定三角形全等，两边和其中一边的对角对应相等不能判定全等。
【难度系数】0.7

9. [2026榆林段考]如图，已知BD是$△ ABC$的中线，CF是$△ BCD$的中线，$AE // CF$交BD的延长线于点E. 若$△ ADE$的面积为3，则$△ ABC$的面积是。

9 12 解题思路:由 BD 是$△ ABC$ 的中线, 得 $CD = AD$, 由 $AE// CF$, 得 $∠ DFC = ∠ E$, 而 $∠ CDF = ∠ ADE$, 即可根据“AAS”证明$△ CDF≌△ ADE$, 则 $S_{△ CDF}=S_{△ ADE}=3$, 再由中线的性质, 得 $S_{△ ABC}=4S_{△ CDF}=12.$
$\because BD$ 是$△ ABC$ 的中线, $\therefore CD = AD. \because AE// CF, \therefore ∠ DFC = ∠ E.$ 在$△ CDF$ 和$△ ADE$ 中, $\begin{cases} ∠ CDF = ∠ ADE, \\ ∠ DFC = ∠ E, \\ CD = AD, \end{cases}$$\therefore △ CDF≌△ ADE(\mathrm{AAS}), \therefore S_{△ CDF}=S_{△ ADE}=3. \because CF$ 是$△ BCD$ 的中线, $\therefore S_{△ CBD}=2S_{△ CDF}. \because BD$ 是$△ ABC$ 的中线, $\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ CBD}=4S_{△ CDF}=12.$

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由BD是△ABC的中线可得AD=CD，由AE//CF可得内错角相等，结合对顶角相等，可先证明△CDF和△ADE全等，得到二者面积相等；再利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，依次推导△BCD、△ABC的面积即可。
【解析】
∵ BD是$△ ABC$的中线，$\therefore CD = AD$。
$\because AE// CF$，$\therefore ∠ DFC = ∠ E$。
在$△ CDF$ 和$△ ADE$ 中，
$\begin{cases} ∠ CDF = ∠ ADE, \\ ∠ DFC = ∠ E, \\ CD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ ADE(\mathrm{AAS})$，$\therefore S_{△ CDF}=S_{△ ADE}=3$。
$\because CF$ 是$△ BCD$ 的中线，$\therefore S_{△ CBD}=2S_{△ CDF}=2×3=6$。
$\because BD$ 是$△ ABC$ 的中线，$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ CBD}=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，平行线的性质
【点评】
本题将全等三角形判定与三角形面积计算相结合，解题关键是先通过全等转化已知的小三角形面积，再多次利用中线等分三角形面积的性质推导所求面积，能较好考查学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

10. [2026合肥庐阳区段考] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°, CE ⊥ AB$于点$E, AD = AC, AF$平分$∠ CAB$交$CE$于点$F, DF$的延长线交$AC$于点$G$.
求证:(1)$△ ACF ≌ △ ADF$;
(2)$DF // BC$;
(3)$FG = FE$.

10 证明:(1)$\because AF$ 平分$∠ CAB, \therefore ∠ CAF = ∠ DAF.$
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中, $\begin{cases} AC = AD, \\ ∠ CAF = ∠ DAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because ∠ ACB = 90°, CE⊥ AB,$
$\therefore ∠ ACE + ∠ CAE = 90°, ∠ CAE + ∠ B = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = ∠ B($同角的余角相等$).$
$\because △ ACF≌△ ADF, \therefore ∠ ACF = ∠ ADF,$
$\therefore ∠ ADF = ∠ B, \therefore DF// BC.$
(3)$\because DF// BC, \therefore ∠ AGF = ∠ ACB = 90°.$
$\because CE⊥ AB, \therefore ∠ AEF = 90°, \therefore ∠ AGF = ∠ AEF.$
在$△ AGF$ 和$△ AEF$ 中, $\begin{cases} ∠ AGF = ∠ AEF, \\ ∠ GAF = ∠ EAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ AGF≌△ AEF(\mathrm{AAS}), \therefore FG = FE.$

【分析】
(1) 要证明△ACF≌△ADF，先梳理已知条件：AF平分∠CAB可得∠CAF=∠DAF，题目直接给出AC=AD，还有公共边AF，刚好符合SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要证明DF//BC，可通过证明同位角相等实现。首先由∠ACB=90°、CE⊥AB，利用同角的余角相等可推出∠ACF=∠B；再结合(1)中全等三角形的对应角相等，得∠ACF=∠ADF，等量代换得∠ADF=∠B，根据同位角相等两直线平行即可得证。
(3) 要证明FG=FE，可证明两条线段所在的△AGF和△AEF全等。首先由DF//BC可得∠AGF=∠ACB=90°，结合CE⊥AB得∠AEF=90°，即两个三角形有一组对应角相等；再结合AF是角平分线可得∠GAF=∠EAF，还有公共边AF，符合AAS全等判定条件，证得全等后即可得到对应边FG=FE。
【解析】
(1) $\because AF$ 平分$∠ CAB, \therefore ∠ CAF = ∠ DAF.$
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中, $\begin{cases} AC = AD, \\ ∠ CAF = ∠ DAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because ∠ ACB = 90°, CE⊥ AB,$
$\therefore ∠ ACE + ∠ CAE = 90°, ∠ CAE + ∠ B = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = ∠ B($同角的余角相等$).$
$\because △ ACF≌△ ADF, \therefore ∠ ACF = ∠ ADF,$
$\therefore ∠ ADF = ∠ B, \therefore DF// BC.$
(3) $\because DF// BC, \therefore ∠ AGF = ∠ ACB = 90°.$
$\because CE⊥ AB, \therefore ∠ AEF = 90°, \therefore ∠ AGF = ∠ AEF.$
在$△ AGF$ 和$△ AEF$ 中, $\begin{cases} ∠ AGF = ∠ AEF, \\ ∠ GAF = ∠ EAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ AGF≌△ AEF(\mathrm{AAS}), \therefore FG = FE.$
【答案】
(1) $△ ACF≌△ ADF$成立；
(2) $DF// BC$成立；
(3) $FG=FE$成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的判定，余角的性质
【点评】
本题是几何证明的基础综合题，小问之间关联性强，前一问的结论可直接作为后一问的推理条件，解题时需熟练运用全等判定、平行线判定等相关知识逐步推导，能够锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11. 推理能力 已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA = CB. E，F是直线CD上两点(不重合)，且∠BEC = ∠CFA = α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下列问题：
①若∠BCA = 90°, α = 90°,请在图1中补全图形，并证明：BE = CF，EF = |BE - AF|；
②如图2，若0° ＜ ∠BCA ＜ 180°,请添加一个关于α与∠BCA关系的条件：，使①中的两个结论仍然成立.
(2)如图3，若直线CD不经过∠BCA的内部，α = ∠BCA，请写出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想.(不要求证明)

11 解:(1)①当点 E 在点 F 左侧时,如图所示.
证明如下:
由题意可知$∠ BEC = ∠ CFA = 90°,$
$\therefore ∠ CBE + ∠ BCE = 90°.$
$\because ∠ BCA = 90°, \therefore ∠ BCE + ∠ ACF = 90°,$
$\therefore ∠ CBE = ∠ ACF.$
在$△ BCE$ 和$△ CAF$ 中, $\begin{cases} ∠ CBE = ∠ ACF, \\ ∠ BEC = ∠ CFA, \\ BC = CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CAF(\mathrm{AAS}), \therefore BE = CF, CE = AF,$
$\therefore EF = CF - CE = BE - AF.$
当点 E 在点 F 右侧时,同理可证 $BE = CF, EF = AF - BE.$
综上,$BE = CF, EF = |BE - AF|.$
②$α + ∠ BCA = 180°$
当点 E 在点 F 左侧时,如题图 2. $\because ∠ BEC = ∠ CFA = α, α + ∠ BCA = 180°, \therefore ∠ CBE = ∠ ACF.$ 在$△ BCE$ 和$△ CAF$ 中,
$\begin{cases} ∠ CBE = ∠ ACF, \\ ∠ BEC = ∠ CFA, \\ BC = CA, \end{cases}$$\therefore △ BCE ≌ △ CAF (\mathrm{AAS}), \therefore BE = CF, CE = AF, \therefore EF = CF - CE = BE - AF.$ 当点 E 在点 F 右侧时,同理可证 $BE = CF, EF = AF - BE.$ 综上,$BE = CF, EF = |BE - AF|.$
(2)猜想:$EF = BE + AF.$
$\because ∠ BEC = ∠ CFA = ∠ BCA = α, ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC = 180°, ∠ BCE + ∠ FCA + ∠ BCA = 180°, \therefore ∠ EBC = ∠ FCA.$ 在$△ BEC$ 和$△ CFA$ 中, $\begin{cases} ∠ EBC = ∠ FCA, \\ ∠ BEC = ∠ CFA, \\ BC = CA, \end{cases}$$\therefore △ BEC ≌ △ CFA(\mathrm{AAS}), \therefore AF = CE, BE = CF. \because EF = CE + CF, \therefore EF = BE + AF.$

【分析】
这道题以过角顶点的直线为背景，考查三角形全等的判定与性质，解题思路如下：
1. 对于(1)①：已知∠BCA和α都是90°，首先利用直角三角形两锐角互余，推出∠CBE和∠ACF相等，结合已知的∠BEC=∠CFA、CB=CA，用AAS证明△BCE≌△CAF，得到对应边BE=CF、CE=AF，再根据线段的和差关系，结合E、F的位置分类讨论，即可推出EF=|BE-AF|。
2. 对于(1)②：要使①的结论成立，核心是能推出∠CBE=∠ACF，从而证明两个三角形全等。结合三角形内角和为180°，可得需要添加的条件为α+∠BCA=180°，这样就能通过角的和差推导得到相等的角，沿用①的思路证明结论。
3. 对于(2)：直线CD在∠BCA外部，同样先利用角的和差推出∠EBC=∠FCA，证明△BEC≌△CFA，得到对应边相等后，结合EF是CE和CF的和，即可推出三条线段的数量关系。
【解析】
(1)①补全图形如图所示：
证明：
∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°（直角三角形两锐角互余）。
又
∵∠BCA=90°，即∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF（同角的余角相等）。
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases} ∠CBE=∠ACF \\ ∠BEC=∠CFA \\ BC=CA \end{cases}$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF（全等三角形对应边相等）。
当E在F左侧时，EF=CF-CE=BE-AF；
当E在F右侧时，同理可证BE=CF，EF=AF-BE；
综上，BE=CF，EF=|BE-AF|。
②添加条件$\boldsymbol{α+∠BCA=180°}$时，①的结论仍然成立，证明如下：
∵∠BEC=∠CFA=α，α+∠BCA=180°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-α=∠BCA，
又
∵∠BCE+∠ACF=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF。
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases} ∠CBE=∠ACF \\ ∠BEC=∠CFA \\ BC=CA \end{cases}$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF。
同理结合E、F的位置分类讨论，可得EF=|BE-AF|。
(2)猜想$\boldsymbol{EF=BE+AF}$，推导如下：
∵∠BEC=∠CFA=∠BCA=α，
∴∠EBC+∠BCE=180°-α，∠BCE+∠FCA=180°-α，
∴∠EBC=∠FCA。
在△BEC和△CFA中：
$\begin{cases} ∠EBC=∠FCA \\ ∠BEC=∠CFA \\ BC=CA \end{cases}$
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
又
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF。
【答案】
(1)①补全图形见，结论为$BE=CF$，$EF=|BE-AF|$，证明见解析；
②$\boldsymbol{α+∠BCA=180°}$；
(2)$\boldsymbol{EF=BE+AF}$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题是三角形全等的典型探究题，需要结合角度的和差关系推导全等所需的角相等条件，同时要考虑E、F的位置进行分类讨论，考查逻辑推理能力和几何探究能力，对全等判定的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.6