11. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} y = x - 4, \\ x + y = 6. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 0, \\ 2(3x - 4) - 3(y - 1) = 43. \end{cases}$

11. 解:(1)$\begin{cases} y = x - 4,① \\ x + y = 6,② \end{cases}$
将①代入②,得 $x+(x-4)=6$,
$\therefore x=5$,
将 $x=5$ 代入①,得 $y=1$,
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
(2)方程组整理,得 $\begin{cases} 2x+3y=0,① \\ 2x-y=16.② \end{cases}$
②$-$①,得$-4y=16$,解得 $y=-4$,
把 $y=-4$ 代入①,得 $x=6$,
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases} x=6, \\ y=-4. \end{cases}$

【分析】
(1) 观察第一个方程组，方程①直接给出了y关于x的表达式，优先选择代入消元法：将①代入②消去y，得到仅含x的一元一次方程，解出x后代回①即可求出y的值。
(2) 第二个方程组的方程不是标准形式，第一步先化简方程：第一个方程去分母，第二个方程去括号、移项合并同类项，得到标准二元一次方程组；观察化简后的方程，x的系数相同，选择加减消元法：用②减去①消去x，求出y后代回化简后的方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 记方程组为 $\begin{cases} y = x - 4,① \\ x + y = 6,② \end{cases}$
将①代入②，得 $x+(x-4)=6$，
解得 $x=5$，
将 $x=5$ 代入①，得 $y=1$。
(2) 先将原方程组整理，得 $\begin{cases} 2x+3y=0,① \\ 2x-y=16.② \end{cases}$
用②$-$①，得$-4y=16$，解得 $y=-4$，
把 $y=-4$ 代入①，得 $2x + 3×(-4)=0$，解得$x=6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=6, \\ y=-4. \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题，核心考查消元的解题思路，解题时可根据方程组的特征选择更简便的消元方法，计算时要注意去分母、去括号的符号规则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8

12. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4ax + 5by = -22\end{cases}$与$\begin{cases}2x + 3y = -4, \\ax - by = 8\end{cases}$有相同的解，求$a,b$的值。

12. 解:由题意,解方程组
$\begin{cases} 3x-y=5, \\ 2x+3y=-4, \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \end{cases}$
把 $\begin{cases} x=1, \\ y=-2 \end{cases}$ 代入 $\begin{cases} 4ax+5by=-22, \\ ax-by=8, \end{cases}$
得 $\begin{cases} 4a-10b=-22, \\ a+2b=8, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=2, \\ b=3, \end{cases}$ 即 $a=2,b=3.$

【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程$3x-y=5$和$2x+3y=-4$联立，先求出x、y的公共解，再把求得的x、y的值代入剩下的两个含有a、b的方程中，就能得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出a、b的值。
【解析】
解：由题意，两个方程组的解相同，先联立不含a、b的方程：
$\begin{cases} 3x-y=5 \\ 2x+3y=-4 \end{cases}$
给第一个方程两边乘3，得$9x-3y=15$，与$2x+3y=-4$相加，得$11x=11$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$3x-y=5$，得$3×1 - y=5$，解得$y=-2$。
所以公共解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$
把$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases} 4a×1 +5b×(-2) = -22 \\ a×1 - b×(-2) =8 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} 4a -10b = -22 \\ a +2b =8 \end{cases}$
由第二个方程得$a=8-2b$，代入第一个方程：
$4×(8-2b) -10b = -22$
$32 -8b -10b = -22$
$-18b = -54$
解得$b=3$
把$b=3$代入$a=8-2b$，得$a=8-2×3=2$。
【答案】
$a=2,b=3$
【知识点】
同解方程组性质，解二元一次方程组，代入求参数
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，核心是利用同解的性质先求出四个方程的公共解，再代入含参数的方程求解参数，解题思路清晰，掌握该方法可快速解决同类同解问题。
【难度系数】
0.7

13.定义一种新运算“※”，规定$x※y = ax + by^2$，其中$a,b$为常数，且$-1※1=0,2※1=3$，则$2※5=$.

13.27

【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先明确新运算“※”的计算规则，即x※y等于a与x的乘积加上b与y平方的乘积；第二步将已知的两组运算结果代入规则，得到关于参数a、b的二元一次方程组，解出a、b的具体值；第三步将x=2、y=5代入确定好的运算公式，计算得出2※5的结果。
【解析】
根据新运算规定$x※y = ax + by^2$：
1. 代入$-1※1=0$，此时x=-1，y=1，可得：
$a×(-1) + b×1^2 = 0$，整理得：$-a + b = 0$ ①
2. 代入$2※1=3$，此时x=2，y=1，可得：
$a×2 + b×1^2 = 3$，整理得：$2a + b = 3$ ②
3. 解方程组：用②-①消去b，得：
$(2a + b) - (-a + b) = 3 - 0$
$3a = 3$，解得$a=1$
把$a=1$代入①式，得：$-1 + b = 0$，解得$b=1$
因此新运算公式为$x※y = x + y^2$
4. 计算$2※5$，代入x=2，y=5：
$2※5 = 2 + 5^2 = 2 + 25 = 27$
【答案】
27
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是新定义运算的典型基础题，解题关键是将陌生的新运算规则转化为常规的代数运算，先通过已知条件求出未知参数，再代入计算目标结果，侧重考察转化思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.8

14.古代数学问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,井深几尺?则该问题中的井深是尺.

14.8

【分析】
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题的核心是找到题目中的不变量：绳子的总长度。我们可以先设井深为未知数，再分别根据“三折测井余4尺”和“四折测井余1尺”两种测量方式，表示出绳子的总长度，利用绳长相等的等量关系列方程，最后解方程就能求出井深。
【解析】
解：设井深为$ x $尺。
根据绳子总长度不变的等量关系，可列方程：
$ 3(x + 4) = 4(x + 1) $
展开括号得：$ 3x + 12 = 4x + 4 $
移项合并同类项得：$ x = 8 $
【答案】
8
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题是经典的古代数学实际问题，解题关键是准确抓住“绳长不变”这一隐含等量关系，将两种测量方式转化为对应的代数式列方程求解即可，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7