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6.今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（
A.$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x-2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3(x+2)=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x-2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3(x+2)=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题是根据实际乘车场景列二元一次方程组的问题，解题核心是抓住两种乘车方案下总人数不变的等量关系，分别推导两种方案中总人数的表达式即可。首先分析第一种乘车方案：每3人坐1辆车、有2辆空车，说明实际载人的车辆数比总车数x少2辆，用每车载人数乘实际使用车辆数就能得到总人数y；再分析第二种乘车方案：每2人坐1辆车、9人步行，说明总人数等于所有车坐满的人数加上步行的9人，据此列出两个方程后匹配对应选项即可。
【解析】
已知设共有x辆车，y个人，根据两种乘车情况分别列方程：
1. 每3人坐一辆车、2辆空车：实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数等于每车乘坐人数乘载人车辆数，可得方程$3(x-2)=y$；
2. 每2人坐一辆车、9人步行：全部车辆可载$2x$人，加上步行的9人就是总人数，可得方程$2x+9=y$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系分析
【点评】
本题取材于古代数学典籍，解题的易错点是容易搞错空车对应的车辆数加减关系，只要准确理解题意，抓住总人数不变的核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际乘车场景列二元一次方程组的问题，解题核心是抓住两种乘车方案下总人数不变的等量关系，分别推导两种方案中总人数的表达式即可。首先分析第一种乘车方案：每3人坐1辆车、有2辆空车，说明实际载人的车辆数比总车数x少2辆，用每车载人数乘实际使用车辆数就能得到总人数y；再分析第二种乘车方案：每2人坐1辆车、9人步行，说明总人数等于所有车坐满的人数加上步行的9人，据此列出两个方程后匹配对应选项即可。
【解析】
已知设共有x辆车，y个人，根据两种乘车情况分别列方程：
1. 每3人坐一辆车、2辆空车：实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数等于每车乘坐人数乘载人车辆数，可得方程$3(x-2)=y$；
2. 每2人坐一辆车、9人步行：全部车辆可载$2x$人，加上步行的9人就是总人数，可得方程$2x+9=y$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系分析
【点评】
本题取材于古代数学典籍，解题的易错点是容易搞错空车对应的车辆数加减关系，只要准确理解题意，抓住总人数不变的核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7.如图,用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形,则每个小长方形的周长是 (
A.60厘米
B.80厘米
C.100厘米
D.120厘米
D
)A.60厘米
B.80厘米
C.100厘米
D.120厘米
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先找到小长方形长和宽的等量关系，用方程思想求解。首先观察图形：①大长方形的上下两条长相等，上方是3个小长方形的长拼接而成，下方是2个小长方形的长加2个小长方形的宽拼接而成，据此可以得到长和宽的第一个关系；②大长方形竖直方向的总宽为60厘米，刚好等于小长方形的长加宽，得到第二个关系。联立两个关系求出长和宽后，再代入长方形周长公式计算即可。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$厘米，宽为$y$厘米。
根据大长方形上下边长相等，可得：
$3x = 2x + 2y$
化简得：$x = 2y$
根据大长方形的宽为60厘米，可得：
$x + y = 60$
将$x=2y$代入$x+y=60$，得：
$2y + y = 60$
解得$y=20$，则$x=2×20=40$。
小长方形的周长为：$2×(x+y)=2×(40+20)=120$（厘米）
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形周长计算，图形拼接规律
【点评】
本题属于图形类方程应用题，解题核心是通过观察图形挖掘隐藏的边长等量关系，再结合已知条件列式求解，能有效考察学生的读图能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要先找到小长方形长和宽的等量关系，用方程思想求解。首先观察图形：①大长方形的上下两条长相等，上方是3个小长方形的长拼接而成，下方是2个小长方形的长加2个小长方形的宽拼接而成，据此可以得到长和宽的第一个关系；②大长方形竖直方向的总宽为60厘米，刚好等于小长方形的长加宽，得到第二个关系。联立两个关系求出长和宽后，再代入长方形周长公式计算即可。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$厘米，宽为$y$厘米。
根据大长方形上下边长相等，可得：
$3x = 2x + 2y$
化简得：$x = 2y$
根据大长方形的宽为60厘米，可得：
$x + y = 60$
将$x=2y$代入$x+y=60$，得：
$2y + y = 60$
解得$y=20$，则$x=2×20=40$。
小长方形的周长为：$2×(x+y)=2×(40+20)=120$（厘米）
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形周长计算，图形拼接规律
【点评】
本题属于图形类方程应用题，解题核心是通过观察图形挖掘隐藏的边长等量关系，再结合已知条件列式求解，能有效考察学生的读图能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 已知二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 5, \\x - 2y = 1,\end{cases}$则$x - y$的值为 ______ .
答案
8.2
解析
【分析】
本题求$x-y$的值，可从两个方向思考：一是常规思路，先用代入消元法或加减消元法解出方程组中$x$、$y$的具体值，再代入计算$x-y$；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，可得到含$x-y$的整体式子，无需单独求解$x$、$y$，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$(2x - y)+(x - 2y)=5+1$
合并同类项得：$3x - 3y=6$
等式两边同时除以3，得：$x - y=2$
方法二（常规解法）：
原方程组为$\begin{cases}2x - y = 5&① \\x - 2y = 1&②\end{cases}$
由①变形得：$y=2x - 5$ ③
将③代入②得：$x - 2(2x - 5)=1$
去括号得：$x - 4x + 10=1$
移项合并同类项得：$-3x=-9$，解得$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=2×3 - 5=1$
因此$x - y=3 - 1=2$
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题既可以用解二元一次方程组的常规方法求解，也可以利用整体思想简化计算，解题时可先观察式子特征，选择更简便的方法提高解题效率。
【难度系数】0.8
本题求$x-y$的值，可从两个方向思考：一是常规思路，先用代入消元法或加减消元法解出方程组中$x$、$y$的具体值，再代入计算$x-y$；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，可得到含$x-y$的整体式子，无需单独求解$x$、$y$，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$(2x - y)+(x - 2y)=5+1$
合并同类项得：$3x - 3y=6$
等式两边同时除以3，得：$x - y=2$
方法二（常规解法）：
原方程组为$\begin{cases}2x - y = 5&① \\x - 2y = 1&②\end{cases}$
由①变形得：$y=2x - 5$ ③
将③代入②得：$x - 2(2x - 5)=1$
去括号得：$x - 4x + 10=1$
移项合并同类项得：$-3x=-9$，解得$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=2×3 - 5=1$
因此$x - y=3 - 1=2$
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题既可以用解二元一次方程组的常规方法求解，也可以利用整体思想简化计算，解题时可先观察式子特征，选择更简便的方法提高解题效率。
【难度系数】0.8
9.已知方程组$\begin{cases}2x+y=●, \\2x-y=12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5, \\y=★,\end{cases}$由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮忙找回★这个数，★= ______ .
答案
9.-2
解析
【分析】
首先我们要知道二元一次方程组的解满足方程组里的每一个方程，现在已知x=5，第二个方程2x-y=12没有被墨水遮挡，方程里只有x、y两个未知数，我们不需要管被遮挡的●，直接把x=5代入这个未被遮挡的方程，就能求出y的值也就是★的值。
【解析】
∵ 方程组的解$\begin{cases}x=5 \\ y=★\end{cases}$满足方程组的所有方程
∴ 将$x=5$代入方程$2x-y=12$，可得：
$2×5 - y =12$
计算得：$10 - y =12$
移项得：$-y=12-10$
化简得：$-y=2$
系数化为1得：$y=-2$
即★=-2
【答案】
-2
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是抓住二元一次方程组解的性质，选择未被遮挡的方程代入计算即可，无需计算被遮挡的●就能得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
首先我们要知道二元一次方程组的解满足方程组里的每一个方程，现在已知x=5，第二个方程2x-y=12没有被墨水遮挡，方程里只有x、y两个未知数，我们不需要管被遮挡的●，直接把x=5代入这个未被遮挡的方程，就能求出y的值也就是★的值。
【解析】
∵ 方程组的解$\begin{cases}x=5 \\ y=★\end{cases}$满足方程组的所有方程
∴ 将$x=5$代入方程$2x-y=12$，可得：
$2×5 - y =12$
计算得：$10 - y =12$
移项得：$-y=12-10$
化简得：$-y=2$
系数化为1得：$y=-2$
即★=-2
【答案】
-2
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是抓住二元一次方程组解的性质，选择未被遮挡的方程代入计算即可，无需计算被遮挡的●就能得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
10.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$则关于$a,b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的解是________.
答案
10.$\begin{cases} a=\dfrac{3}{2}, \\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
解析
【分析】
观察两个二元一次方程组的结构，发现它们的系数完全相同，仅未知数部分从x、y替换为了(a+b)、(a-b)，因此可以运用整体思想，将(a+b)看作第一个方程组中的x，(a-b)看作第一个方程组中的y。结合已知第一个方程组的解，即可得到关于a、b的简单二元一次方程组，求解该方程组就能得到答案。
【解析】
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$
对比关于$a,b$的方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的结构，可得：
$\begin{cases}a+b=x=1 \\ a-b=y=2\end{cases}$
将两个方程相加：$(a+b)+(a-b)=1+2$
化简得$2a=3$，解得$a=\dfrac{3}{2}$
把$a=\dfrac{3}{2}$代入$a+b=1$，得$\dfrac{3}{2}+b=1$
解得$b=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\begin{cases} a=\dfrac{3}{2}, \\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体换元法、解二元一次方程组
【点评】
本题无需先求解参数m、n的取值，通过观察两个方程组的结构特征，运用整体代换的思想即可简化计算，是求解同结构方程组的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
观察两个二元一次方程组的结构，发现它们的系数完全相同，仅未知数部分从x、y替换为了(a+b)、(a-b)，因此可以运用整体思想，将(a+b)看作第一个方程组中的x，(a-b)看作第一个方程组中的y。结合已知第一个方程组的解，即可得到关于a、b的简单二元一次方程组，求解该方程组就能得到答案。
【解析】
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$
对比关于$a,b$的方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的结构，可得：
$\begin{cases}a+b=x=1 \\ a-b=y=2\end{cases}$
将两个方程相加：$(a+b)+(a-b)=1+2$
化简得$2a=3$，解得$a=\dfrac{3}{2}$
把$a=\dfrac{3}{2}$代入$a+b=1$，得$\dfrac{3}{2}+b=1$
解得$b=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\begin{cases} a=\dfrac{3}{2}, \\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体换元法、解二元一次方程组
【点评】
本题无需先求解参数m、n的取值，通过观察两个方程组的结构特征，运用整体代换的思想即可简化计算，是求解同结构方程组的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
