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1. 计算$a^8 ÷ a^2$的结果是 （
A.$a^2$
B.$a^4$
C.$a^6$
D.$a^8$
C
）A.$a^2$
B.$a^4$
C.$a^6$
D.$a^8$
答案
1. C
2. 在推导过程:对于非零实数$a$，$\because a^m □ a^m = ◯$，$\therefore a^0 = 1$. 要使推导过程成立，则$□$和$◯$中分别应填（
A.$+$,1
B.$-$,0
C.$÷$,0
D.$÷$,1
D
）A.$+$,1
B.$-$,0
C.$÷$,0
D.$÷$,1
答案
2. D
3. 计算:$(a-b)^8 ÷ (b-a)^3 =$ （
A.$(a-b)^5$
B.$(b-a)^5$
C.$(a-b)^6$
D.$(b-a)^6$
B
）A.$(a-b)^5$
B.$(b-a)^5$
C.$(a-b)^6$
D.$(b-a)^6$
答案
3. B 【点拨】$(a-b)^8 ÷ (b-a)^3 = [-(b-a)]^8 ÷ (b-a)^3 = (b-a)^8 ÷ (b-a)^3 = (b-a)^{8-3} = (b-a)^5$。
4.若$(x^2)^3 ÷ x^m = x^4$，则$m=$
2
.答案
4. 2
5. [2025武汉青山区期中] 已知$ x^a =5 $，$ x^b=2 $，则$ x^{2a -3b} $的值是
$\frac{25}{8}$
。答案
5. $\frac{25}{8}$ 【点拨】$\because x^a = 5, x^b = 2, \therefore x^{2a-3b} = x^{2a} ÷ x^{3b} = (x^a)^2 ÷ (x^b)^3 = 5^2 ÷ 2^3 = \frac{25}{8}$。
6. 母题 教材 P109 练习 T1 计算：
(1)$(-m)^{8}÷(-m)^{3}$；
(2)$(xy)^{7}÷(xy)^{4}$；
(3)$x^{2m+2}÷ x^{m+2}$；
(4)$x^{6}÷ x^{2}· x$。
(1)$(-m)^{8}÷(-m)^{3}$；
(2)$(xy)^{7}÷(xy)^{4}$；
(3)$x^{2m+2}÷ x^{m+2}$；
(4)$x^{6}÷ x^{2}· x$。
答案
6. 【解】(1)$(-m)^8 ÷ (-m)^3 = (-m)^5 = -m^5$。
(2)$(xy)^7 ÷ (xy)^4 = (xy)^3 = x^3y^3$。
(3)$x^{2m+2} ÷ x^{m+2} = x^m$。
(4)$x^6 ÷ x^2 · x = x^4 · x = x^5$。
(2)$(xy)^7 ÷ (xy)^4 = (xy)^3 = x^3y^3$。
(3)$x^{2m+2} ÷ x^{m+2} = x^m$。
(4)$x^6 ÷ x^2 · x = x^4 · x = x^5$。
7. 新趋势 跨学科 我们都知道，先看见闪电后听见雷声，如果光在空气中传播速度为$3×10^{8}\ \mathrm{m/s}$，而声音在空气中的传播速度大约只有300 m/s，则光的传播速度是声音传播速度的（
A.$10^{4}$倍
B.$10^{6}$倍
C.$10^{8}$倍
D.$10^{10}$倍
B
）A.$10^{4}$倍
B.$10^{6}$倍
C.$10^{8}$倍
D.$10^{10}$倍
答案
7. B
8. 计算$\frac{\overbrace{m · m · \dots · m}^{(m+2)个}}{\underbrace{m + m + \dots + m}_{m个}}$的值为（
A.$m^2$
B.$2m$
C.$m^m$
D.$m^{2 - m}$
C
）A.$m^2$
B.$2m$
C.$m^m$
D.$m^{2 - m}$
答案
8. C
9. [2025上海普陀期中]如果$2^a ÷ 4^b × 8 = 2$，那么$16^b ÷ 4^a =$
16
.答案
9. 16 【点拨】$\because 2^a ÷ 4^b × 8 = 2^a ÷ 2^{2b} × 2^3 = 2^{a-2b+3} = 2, \therefore a-2b+3=1. \therefore 2b-a=2. \therefore 16^b ÷ 4^a = 4^{2b} ÷ 4^a = 4^{2b-a}=4^2=16$。
10. 2025·南通期中 新视角·新定义题 如果$10^b = n$，那么称$b$为$n$的“拉格数”，记为$d(n)$，由定义可知：$d(n)=b$。例如，因为$10^2 = 100$，所以$d(100)=d(10^2)=2$。若$d(ma)=8$，$d(m)=6$，则$d(\dfrac{m}{a})=$
4
。答案
10. 4 【点拨】由题意，得$10^8=ma,10^6=m$,设$d(\frac{m}{a})=x$,则$10^x=\frac{m}{a}, \therefore \frac{m}{a}=m^2 ÷ (ma)=(10^6)^2 ÷ (10^8)=10^{12} ÷ 10^8=10^4, \therefore 10^x=10^4, \therefore x=4,即d(\frac{m}{a})=4$。
11. 化简求值:$(2x-y)^{13}÷[(2x-y)^{3}]^{2}÷[(y-2x)^{2}]^{3}$,其中$x=2,y=-1$.
答案
11. 【解】$(2x-y)^{13} ÷ [(2x-y)^3]^2 ÷ [(y-2x)^2]^3 = (2x-y)^{13} ÷ (2x-y)^6 ÷ (2x-y)^6 = (2x-y)^{13-6-6}=2x-y$。
当$x=2,y=-1$时,原式$=2×2 - (-1)=5$。
当$x=2,y=-1$时,原式$=2×2 - (-1)=5$。
12.若$(a-1)^{a+2}=1$,求$a$的值.
答案
12. 【解】分三种情况讨论:①当$a-1≠0$时,要使$(a-1)^{a+2}=1$,则$a+2=0$,解得$a=-2$,此时原式成立;②当$a-1=1$时,$a=2$,此时原式成立;③当$a-1=-1$时,$a=0$,此时原式成立.综上所述,$a$的值为$-2$或$2$或$0$。
13. 已知 $10^m = 20$，$10^n = 4$，求：
(1) $10^{2m - n}$ 的值；
(2) $3^{4m} ÷ 9^n$ 的值。
(1) $10^{2m - n}$ 的值；
(2) $3^{4m} ÷ 9^n$ 的值。
答案
13. 【解】(1)$\because 10^m=20,10^n=4, \therefore 10^{2m-n}=10^{2m} ÷ 10^n=400 ÷4=100$。
(2)$\because 10^{2m-n}=100, \therefore 2m-n=2. \therefore 3^{4m} ÷9^n=9^{2m} ÷9^n=9^{2m-n}=9^2=81$。
(2)$\because 10^{2m-n}=100, \therefore 2m-n=2. \therefore 3^{4m} ÷9^n=9^{2m} ÷9^n=9^{2m-n}=9^2=81$。
14. 已知$P=\frac{99^9}{9^{99}}, Q=\frac{11^9}{81^{45}}$，试探究$P,Q$的关系。
答案
14. 【解】$\because P=\frac{99^9}{9^{99}}=\frac{9^9 ×11^9}{9^{99}}=\frac{11^9}{9^{90}}, Q=\frac{11^9}{81^{45}}=\frac{11^9}{9^{90}}, \therefore P=Q$。
