8.有理数$a,b,c$对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的说法正确的是（）


A.两根都是正数
B.两根都是负数
C.两根一正一负，正根的绝对值较大
D.两根一正一负，负根的绝对值较大

C

9.定义一种运算：$a \& b = a^2 - 2ab + 2$，例如，$3 \& 4 = 3^2 - 2 × 3 × 4 + 2 = -13$.若$x \& (x - 1) = -4$，则所有满足条件的实数$x$的和为（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$2\sqrt{30}$

B

10.对于任意实数$a,b$,定义一种新运算“⊙”:$a⊙b=2x^2-(a+b)x-a(b+2)$.若关于$x$的方程$1⊙x=0$,已知该方程的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2$的值为 ()

A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$

A

11.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列说法：①若$a,c$异号，则方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根；②若$b=a+c$，则方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根；③若$a=1,b=2,c=3$，由根与系数的关系可得$x_1+x_2=-2,x_1x_2=3$。其中说法正确的有（）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

C

12.若菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为关于x的一元二次方程$2x^2 + 11x - m = 0$的两个根，且$S_{菱形ABCD}=3$，则m的值为（）

A.4
B.8
C.$-12$
D.$-24$

C

13.(2025·绵阳一模)已知关于$x$的方程$(x-3)(x-4)-p^2+p=0.$
(1)求证:方程总有实数根；
(2)若方程的两根$x_1,x_2$为直角三角形的两直角边长,且$x_2=5$,求$p$的值及该直角三角形的周长.

13.(1)证明:由$(x-3)(x-4)-p^2+p=0$,
得$x^2-7x+12-p^2+p=0$,
$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×1×(12-p^2+p)=49-48+4p^2-4p=4p^2-4p+1=(2p-1)^2$.
$\because(2p-1)^2≥0$,
$\therefore\Delta≥0$,$\therefore$不论$p$为任何实数,方程总有实数根.
(2)解:根据题意,得$x_1+x_2=7$,$x_1x_2=12-p^2+p$.
$\because x_2=5$,$\therefore x_1=7-5=2$,$\therefore 12-p^2+p=5×2=10$,
解得$p=2$或$p=-1$,
直角三角形的斜边长为$\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$,
所以直角三角形的周长为$2+5+\sqrt{29}=7+\sqrt{29}$.