1[2026浙江温州质检,中]如图,正方形ABCD的边长为15,点E是AB边上一点,点F是BC边上一点,连接DE,DF,EF,若∠EDF=45°,AE=3,则△BEF的内切圆半径是 ()

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.4

（第1题图）
（第2题图）

【解析】如图,延长 BC 至 M,使 CM = AE = 3, 连接 DM. 在 △DCM 和 △DAE 中, DC = DA, ∠DCM = ∠A = 90°, CM = AE,
∴ △DCM ≅ △DAE (SAS ),
∴ ∠CDM = ∠ADE, DM = DE.
∵ ∠ADC = 90°, ∠EDF = 45°,
∴ ∠ADE + ∠CDF = 45°,
∴ ∠CDM+ ∠CDF = 45°, 即 ∠MDF = 45°,
∴ ∠MDF = ∠EDF. 在 △MDF 和 △EDF 中, DM = DE, ∠MDF = ∠EDF, DF = DF,
∴ △MDF ≅ △EDF( SAS ),
∴ MF = EF. 设 CF = a, 则 MF = EF = a+3, BF = 15-a.
∵ AE = 3, AB = 15,
∴ BE = 15-3 = 12. 在 Rt△EBF 中, 根据勾股定理得 BE²+BF²=EF²,
∴ 12²+(15-a)²=(a+3)², 解得 a=10,
∴ EF = 13, BF = 5. 设 △EBF 内切圆的半径是 r,
∴ 易得 1/2 (13+12+5) r = 1/2 ×12×5, 解得 r=2, 故选 B.

2[2025湖北随州期中,中]如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角边BC在x轴上,其内切圆的圆心I坐标为(0,1),D,E为切点,若抛物线$y=ax^2+2ax+1$的顶点为A,则a的值为 ()

A.-2
B.$-\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{2}$
D.-3

【解析】连接 IE.
∵ ∠ACB = ∠COI = 90°, 其内切圆的圆心 I 的坐标为 (0,1),
∴ IE ⊥ AC, IO = IE = 1, OB = BD, AE = AD,
∴ 四边形 ECOI 是正方形,
∴ CE = OI = 1, AB = AD+BD = AE+OB. 设 AE = x, OB = y,
∴ AC = x+1, BC = y+1.
∵ ∠ABC = 30°,
∴ AB = 2AC, 即 AB = 2(x+1),
∴ 2(x+1) = x+y, 化简得 y = x+2. ① 由勾股定理,得 (x+1)²+(y+1)² = [2(x+1)]², 化简得 3x²+6x-y²-2y+2=0. ② 把①代入②, 解得 x=√3 (负值不符合题意,已舍去),
∴ AC=x+1=√3+1,
∴ A( -1,√3+1 ).
∵ y=ax²+2ax+1=a(x+1)²+1-a,
∴ 抛物线 y=ax²+2ax+1 的顶点坐标为 (-1,1-a).
∵ 抛物线 y=ax²+2ax+1 的顶点为 A,
∴ √3+1 = 1-a,
∴ a = -√3 , 故选 B.

3[中]如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,其中B(-4,3),点M为△ABC的内心,将矩形绕点C顺时针旋转90°,则点M的对应点坐标为.

【解析】如图,过点 M 作 MD ⊥ AB, ME ⊥ BC, MF ⊥ AC, 垂足分别为 D, E, F, 则 ∠MDB = ∠MEB = ∠B = 90°,
∴ 四边形 BDME 是矩形.
∵ 点 M 为 △ABC 的内心,
∴ MD = ME = MF,
∴ 四边形 BDME 是正方形. 在矩形 OABC 中, B(-4,3),
∴ AB = 3, BC = 4, ∠B = 90°,
∴ AC = 5. 设 BD = x, 则 BE = BD = x, AD = AF = 3-x, CF = CE = 4-x,
∴ 3-x+4-x = 5, 解得 x = 1,
∴ M(-3,2). 设将矩形绕点 C 顺时针旋转 90°后, 点 M 的对应点为点 M', 连接 MC, M'C, 过点 M' 作 M'N ⊥ y 轴于点 N,
∴ ∠MCE+∠M'CE = ∠M'CE+∠M'CN = 90°,
∴ ∠MCE = ∠M'CN. 又
∵ ∠MEC = ∠M'NC = 90°, MC = M'C,
∴ △MCE ≅ △M'CN ( AAS ),
∴ CN = CE = 3, M'N = ME = 1,
∴ 点 M' 的坐标为 (-1,6).

4[较难]如图,把Rt△OAB置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),点P是Rt△OAB内切圆的圆心.将Rt△OAB沿x轴的正方向做无滑动滚动,使它的三边依次与x轴重合,第1次滚动后圆心为P₁,第2次滚动后圆心为P₂,…,以此规律,第2022次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P₂₀₂₂的坐标是.

【解析】
∵ 点 A 的坐标为 (0,4), 点 B 的坐标为 (3,0),
∴ OA = 4, OB = 3,
∴ AB = √(OA²+OB²) = 5. 易得 Rt△OAB 内切圆的半径为 (3+4-5)/2 = 1,
∴ P 的坐标为 (1,1).
∵ 将 Rt△OAB 沿 x 轴的正方向做无滑动滚动, 使它的三边依次与 x 轴重合, 第 1 次滚动后圆心为 P₁, 第 2 次滚动后圆心为 P₂,…,
∴ P₃(3+5+4+1,1), 即 (13, 1), 每滚动 3 次为一个循环.
∵ 2 022÷3 = 674,
∴ 第 2 022 次滚动后, Rt△OAB 内切圆的圆心 P₂₀₂₂ 的横坐标是 674×(3+5+4)+1, 即 P₂₀₂₂ 的横坐标是 8 089,
∴ P₂₀₂₂ 的坐标是 (8 089,1). 故答案为 (8 089,1).

5 思想方法 数形结合 [2025 山东淄博期末,较难]在△ABC中,∠C=α,设BC=a,AC=b,AB=c. ⊙O是△ABC的内切圆,⊙P与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB分别只有一个公共点,⊙O的半径为m,⊙P的半径为n.
(1)当α=90°,b=6,a=8时,m=,n=.
(2)如图(1),若α=90°,则m=,n=(用含有a,b,c的代数式表示);△ABC的面积为(用含m,n的代数式表示).
(3)如图(2),α=60°,求△ABC的面积(用含m,n的代数式表示).

【解】(1)
∵ α=90°,b=6,a=8,
∴ c=√(a²+b²)=10. 由题意得,⊙P 分别与 CA 的延长线、CB 的延长线以及直线 AB 相切,设切点分别为 D,E, F, 连接 PD, PE, PF, OA, OB, OC, 如图(1).
∵ ⊙O 是 △ABC 的内切圆, S△BCA = S△ABO + S△ACO + S△BCO ,
∴ 1/2 ×6×8 = 1/2 ×10m + 1/2 ×6m + 1/2 ×8m ,
∴ m = 2. 由题易得, 四边形 DPEC 为正方形,
∴ n = PD = 1/2 (CD+CE). 由切线长定理可知, AF=AD,BF=BE,
∴ n = 1/2 (CD+CE) = 1/2 (AD+AC+BE+BC) = 1/2 (AB+AC+BC) = 1/2 (10+6+8) = 12. 故答案为 2,12.

(2)同(1)可知 1/2 ab = 1/2 ( am+bm+cm ),
∴ m = ab/(a+b+c) . 由(1)可得 n = 1/2 (AB+AC+BC) = (a+b+c)/2 ,
∴ a + b + c = 2n ,
∴ S△ABC = 1/2 AC · m + 1/2 BC · m + 1/2 AB · m = m/2 ( AB+AC+BC ) = m/2 ( a+b+c ) = mn. 故答案为 ab/(a+b+c) , (a+b+c)/2 , mn.
(3)如图(2),连接 CP,设⊙P 与 CA 延长线、CB 延长线,AB 的切点分别为 D,E,F,连接 PD,PE, PF. 由切线长定理得 AD = AF, BE = BF, CD = CE,
∴ CD=CE=1/2 (CD+CE) = 1/2 (AD+AC+BE+BC) = 1/2 (AB+AC+BC) = 1/2 (a+b+c).
∵ PD ⊥ CD, PE ⊥ BC, PD = PE,
∴ CP 平分 ∠ACB,
∴ ∠PCE = 30°,
∴ PC = 2PE = 2n,
∴ 由勾股定理得 CE = √3 n,
∴ n = CE/√3 = (a+b+c)/(2√3) ,
∴ a+b+c = 2√3 n ,
∴ S△ABC = m/2 (a+b+c) = 1/2 m · 2√3 n = √3 mn.