1 根据尺规作图的痕迹,可以判定点O为$△ ABC$的内心的是 ()

【解析】三角形的内心是三角形角平分线的交点. 由基本作图知选项 C 中尺规作图作的是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线,所以点 O 为 △ABC 的内心,故选 C.

2[2025广东广州期末]如图，$△ ABC$的内切圆$\odot I$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$\odot I$的半径为$r$，$∠ FDE=α$，则$AF+CD-AC$的值和$∠ A$的度数分别为（）


A.$0,180°-2α$
B.$0,180°-α$
C.$\sqrt{2}r,90°-2α$
D.$\sqrt{3}r,90°-\frac{α}{2}$

【解析】连接 IE,IF,ID,如图.
∵ △ABC 的内切圆⊙I 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D, E, F,
∴ AF = AE, CD = CE, AB ⊥ IF, AC ⊥ IE,
∴ ∠AEI = ∠AFI = 90°, AF + CD = AE + CE = AC,
∴ AF+CD-AC=AC-AC=0.
∵ ∠FIE=2∠FDE=2α,
∴ ∠A=360°-∠AEI-∠AFI-∠FIE=360°-90°-90°-2α=180°-2α. 故选 A.

3[2026浙江宁波质检]已知△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，则OI的长为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{7}{8}$
D.$\frac{5}{2}$

（第3题图）
（第5题图）

【解析】如图,连接 AI 并延长交 BC 于 D,连接 BI, BO.
∵ 点 I 为 △ABC 的内心,点 O 为 △ABC 的外心,AB=AC,
∴ ∠BAD=∠CAD,
∴ BD=CD, ∠ADC = ∠ADB = 90°, 即 AD 垂直平分 BC,
∴ 点 O 在 AD 上.
∵ AB=AC=5, BC=6,
∴ BD=CD=3,
∴ AD=√(5²-3²)=4.
∵ 点 O 是△ABC 的外心,
∴ 可设 AO=BO=R,则 OD=4-R. 在 Rt△BOD 中, 由勾股定理得 (4-R)²+3²=R², 解得 R=25/8,
∴ OD=7/8. 作 HI ⊥ AB 于 H, JI ⊥ AC 于 J.
∵ 点 I 为 △ABC 的内心,
∴ HI = JI = DI. 设 ID=a,
∴ S△ABC=1/2 a×AB +1/2 a×AC +1/2 a×BC=1/2 ×BC×AD,
∴ 16a=24, 解得 a=3/2, 即 ID=3/2,
∴ OI=ID-OD=5/8. 故选 B.

4[2026江苏淮安期中]在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，点O是$△ ABC$的内心，连接OB，OC，则$∠ BOC$的度数为.

【解析】如图,
∵ ⊙O 是 △ABC 的内切圆,
∴ BO 平分 ∠ABC,CO 平分 ∠ACB,
∴ ∠OBC=1/2 ∠ABC, ∠OCB = 1/2 ∠ACB.
∵ ∠A = 50°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 130°,
∴ ∠OBC+∠OCB=1/2 ( ∠ABC+∠ACB )= 65°,
∴ ∠BOC=180°-( ∠OBC+∠OCB )= 115°.

5[2025 浙江杭州质检]如图，平面直角坐标系中，$A(1,1),B(2,4),C(3,1)$，则$△ ABC$的内切圆的半径长为.

【解析】设△ABC 的内切圆⊙I 与 AB, BC,AC 分别相切于点 F,J,E,连接 IF,IJ,IE,如图.
∵ A(1,1),B(2,4),C(3,1),
∴ AC=3-1=2, AB=BC=√(1²+3²)=√10 ,
∴ S△ABC=1/2 ×2×3=3. 连接 AI,BI,CI,设△ABC 的内切圆⊙I 的半径长为 r,则 IF=IJ=IE=r.
∵ IF ⊥ AB 于点 F,IJ ⊥ BC 于点 J, IE ⊥ AC 于点 E,
∴ S△ABC = S△AIB+S△BIC+S△AIC = 1/2 AB · IF+1/2 BC · IJ+1/2 AC · IE,
∴ 1/2 ×√10 r + 1/2 ×√10 r + 1/2 ×2r = 3, 解得 r= (√10 -1)/3 . 故答案为 (√10 -1)/3 .

6 阅读材料:如图(1),△ABC的周长为l,面积为S,内切圆⊙O的半径为r,探究r与S,l之间的关系.
解:如图(1),连接OA,OB,OC. ∵ $S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · r$, $S_{△ OBC} = \frac{1}{2}BC · r$, $S_{△ OCA} = \frac{1}{2}CA · r$,
∴ $S=\frac{1}{2}AB · r+\frac{1}{2}BC · r+\frac{1}{2}CA · r=\frac{1}{2}l · r$,
∴ $r=\frac{2S}{l}$.
解决问题:
(1)利用探究的结论,计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径.
(2)如图(2),若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,内切圆半径为r,试推导四边形的内切圆半径公式.
(3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$,内切圆半径为r,猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).

【解】(1)
∵ 5²+12²=13²,
∴ 此三角形为直角三角形,
∴ 三角形面积 S=1/2 ×5×12=30,
∴ 三角形内切圆半径为(2×30)/(5+12+13)=2.
(2)设四边形 ABCD 内切圆的圆心为 O,连接 OA,OB, OC,OD,如图,则 S = S△OAB + S△OBC+S△OCD+S△ODA = 1/2 AB · r+1/2 BC · r+1/2 CD · r+1/2 DA · r = 1/2 (a+b+c+d) · r ,
∴ r= 2S/(a+b+c+d) .
(3)类比(1)(2)的结论,易得 n 边形内切圆半径公式为 r= 2S/(a₁+a₂+···+aₙ) .