1 对于以下说法:①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的三角形是正三角形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B 【解析】①错误,如矩形,满足条件,却不是正多边形;②正确;③错误,如圆内接矩形,满足条件,却不是正多边形;④正确. 共有 2 个正确.

2[2026山东临沂质检]如图,已知五边形ABCDE为正五边形,以点A为圆心,以AC的长为半径画弧,分别交AB,AE的延长线于点F,G.连接CG,DG,则∠CGD= ()

A.$18°$
B.$24°$
C.$28°$
D.$36°$

(第2题图)
(第3题图)

2.A 【解析】如图,连接$ AC, AD, \therefore ∠ CGD = \frac{1}{2}∠ CAD. \because $ 五边形$ ABCDE $ 为正五边形,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAE=\frac{180°×(5-2)}{5}=\frac{540°}{5}=108°$,
$AB=BC,\therefore ∠ BCA=∠ BAC=\frac{180°-108°}{2}=36°$,同理可得$∠ EAD=36°,\therefore ∠ CAD=∠ BAE-∠ BAC-∠ DAE=36°,\therefore ∠ CGD=\frac{1}{2}∠ CAD=\frac{1}{2}×36°=18°$,故选 A.

3[2025 吉林四平期中]如图，$\odot O$是正五边形$ABCDE$的内切圆，分别切$AB$，$CD$于点$M$，$N$，$P$是优弧$MPN$上的一点，则$∠ MPN$的度数为（）

A.$54°$
B.$60°$
C.$66°$
D.$72°$

3.D 【解析】如图,连接 $MO, ON. \because \odot O$ 是正五边形$ ABCDE $ 的内切圆,分别切 $AB,CD$ 于点 $M,N,\therefore ∠ OMB=∠ ONC=90°. \because $ 五边形$ ABCDE $ 是正五边形,
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°,\therefore ∠ MON=(5-2)×180°-90°-90°-108°-108°=144°$,
$\therefore ∠ MPN=\frac{1}{2}∠ MON=72°$. 故选 D.

4[2026河北保定期中]如图,A,B,C,D均为圆周上的十二等分点,若用直尺测量弦CD的长时,发现C点、D点分别与刻度1和4对齐,则A,B两点的距离是 ()

A.$2\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{3}$ cm
C.$3\sqrt{3}$ cm
D.6 cm

4.C 【解析】如图,设点 $O$ 为圆心,连接 $AD,AC,CO,CD$,由圆的对称性可知, $AD$ 是$\odot O$ 的直径,
∴ 点 $O$ 在 $AD$ 上. $\because $ 点 $A,B,C,D$ 是圆周上的十二等分点,
$\therefore ∠ COD=\frac{360°}{12}×2=60°,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB=AC$,
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD=30°. \because AD$ 是 $\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ ACD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $∠ CAD=30°$,
$CD=4-1=3\ (\mathrm{cm}),\therefore AD=6\ \mathrm{cm},\therefore AC=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}),\therefore AB=AC=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. 故选 C.

5[2026江苏连云港质检]如图,$\odot O$的内接正十二边形的面积为$S_1$,$\odot O$的面积为$S$,若$\odot O$的半径为1,则$S-S_1=$（）

A.$π-2$
B.$π-1$
C.$π-3$
D.$2π-3$

5.C 【解析】$\because \odot O$ 的半径为 1,
$\therefore \odot O$ 的面积 $S=π$. 如图,设 $AB$ 是 $\odot O$ 内接正十二边形的一条边,连接 $OA,OB,\therefore OA=OB=1. \because \odot O$ 的内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12}=30°,\therefore ∠ AOB=30°$. 过点 $A$ 作 $AC ⊥ OB$ 于点 $C,\therefore AC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2},\therefore S_1=12S_{△ AOB}=12×\frac{1}{2}OB· AC=12×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=3,\therefore S-S_1=π-3$. 故选 C.

6[2026江苏宿迁期中]如图，AB，AC分别为$\odot O$的内接正三角形与内接正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为。

（第6题图）
（第8题图）

6. 12 【解析】连接 $OA,OB,OC$, 如图. $\because AC,AB$ 分别为 $\odot O$ 的内接正四边形与内接正三角形的一边, $\therefore ∠ AOC=\frac{360°}{4}=90°,∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°,\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=30°,\therefore n=\frac{360°}{30°}=12$, 即 $BC$ 是圆内接正十二边形的一边.
故答案为 12.

7[2026北京东城区期中]我们可以只用圆规将圆等分,例如:将圆六等分,只需在$\odot O$上任取点$A$,从点$A$开始,以$\odot O$的半径为半径,在$\odot O$上依次截取点$B,C,D,E,F$,从而点$A,B,C,D,E,F$把$\odot O$六等分.下列可以只用圆规将圆(已知圆心)等分的是 ()
①二等分;②三等分;③四等分.

A.②
B.①②
C.①③
D.①②③

7.D 【解析】$\because $ 只用圆规可完成圆的六等分,
$\therefore $ 可以利用六等分点得到二等分点和三等分点, $\therefore $ ①②可以. 将半径为 $r$ 的 $\odot O$ 六等分,依次得到 $A,B,C,D,E,F$ 六个等分点;分别以点 $A,D$ 为圆心, $AC$ 长为半径画弧, $G$ 是两弧的一个交点;以点 $D$ 为圆心, $OG$ 长为半径作弧,交 $\odot O$ 于点 $M,N$, 如图, $A,M,D,N$ 就是圆的四等分点, $\therefore $ ③也可以. 故选 D.

8[2025湖北荆门质检]如图,在$\odot O$中,$MF$为直径,$OA ⊥ MF$,圆内接正五边形$ABCDE$的部分尺规作图步骤如下:
①作出半径$OF$的中点$H$.
②以点$H$为圆心,$HA$长为半径作圆弧,交直径$MF$于点$G$.
③$AG$长即为正五边形的边长,在$\odot O$上依次作出各等分点$B,C,D,E$.
已知$\odot O$的半径$R=2$,则$AB^2=$.

8. $10-2\sqrt{5}$ 【解析】连接 $AG. \because H$ 为 $OF$ 中点,
$\therefore OH=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}×2=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,由勾股定理,得 $AH=\sqrt{OA^2+OH^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}. \because AH=HG=\sqrt{5},\therefore OG=GH-OH=\sqrt{5}-1$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中,由勾股定理得, $AG^2=OA^2+OG^2=2^2+(\sqrt{5}-1)^2=10-2\sqrt{5}. \because AB=AG,\therefore AB^2=10-2\sqrt{5}$. 故答案为 $10-2\sqrt{5}$.