1[较难]如图,已知抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,与y轴的交点为$D(0,3)$.
(1)请直接写出$c_1$的解析式;
(2)若直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,求$m$的值;
(3)若抛物线$c_1$关于y轴对称的抛物线记作$c_2$,平行于x轴的直线$y=n$记作$l_2$.试结合图形回答:当$n$为何值时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?

(1) $c_1$的解析式为$y=-x^2-2x+3$；
(2) 联立$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$。
$\because$ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点，
$\therefore \Delta=9-4m+12=0$，$\therefore m=\dfrac{21}{4}$。
(3) $\because$ 抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$，
$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$，与$y$轴的交点为$D(0,3)$，
$\therefore$ 抛物线$c_2$的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$，即$n=4$时，$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点。
②当直线$l_2$过$D(0,3)$，即$n=3$时，$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点。
③当$3＜n＜4$或$n＜3$时，$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点。

2[较难]在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$C_1:y=x^2-1$,将$C_1$向右平移4个单位长度,得到抛物线$C_2$,过点$P(p,0)$作$x$轴的垂线,交$C_1$于点$M$,交$C_2$于点$N$,$q$为$M$与$N$的纵坐标中的较小值(若二者相等则任取其一),将所有这样的点$(p,q)$组成的图形记为图形$T$.若直线$y=x+n$与图形$T$恰好有4个交点,则$n$的取值范围是 ()

A.$-\dfrac{5}{4}＜n＜1$
B.$-1＜n＜1$
C.$-1＜n≤1$
D.$-5＜n＜1$

【解析】$\because$ 抛物线$C_1:y=x^2-1$,将$C_1$向右平移4个单位长度,得到抛物线$C_2$,$\therefore$ 抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-4)^2-1$。
联立得$\begin{cases}y=x^2-1,\\y=(x-4)^2-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
$\therefore$ 两抛物线的交点坐标为$(2,3)$。
由题意得图形T如图所示。
把$(2,3)$代入$y=x+n$,得$3=2+n$,解得$n=1$。当直线$y=x+n$与$C_1$只有1个交点时,$x+n=x^2-1$,即$x^2-x-1-n=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=1-4×1×(-n-1)=0$,解得$n=-\dfrac{5}{4}$。$\because$ 直线$y=x+n$与图形$T$恰好有4个交点,$\therefore$ 结合图形可知,$-\dfrac{5}{4}＜n＜1$。故选A。
思路分析：求得平移后的抛物线的解析式,两解析式联立,求得两抛物线交点坐标为$(2,3)$,由题意画图形T,再采用数形结合思想解题即可。
刷有所得：此类型题采用数形结合思想,结合图象,找出临界位置可得答案。

3[中]二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$. 直线$AB$上有一点$C(m,5)$,将点$C$向右平移4个单位长度,得到点$D$,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,求$a$的取值范围.

设直线$AB$的解析式为$y=kx+n(k≠0)$。把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得
$\begin{cases}n=-4,\\-2k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\n=-4,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-3x-4$。把$C(m,5)$代入,得$m=-3$,$\therefore C(-3,5)$,由平移得$D(1,5)$。$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$,
$\therefore \begin{cases}c=-4,\\4a-2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-4,\\b=2a-3,\end{cases}$ $\therefore y=ax^2+(2a-3)x-4$。
①当$a＞0$时,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图(1),则抛物线上的点$(1,a+2a-3-4)$在$D$点的下方,$\therefore a+2a-3-4＜5$,解得$a＜4$,$\therefore 0＜a＜4$；
②当$a＜0$时,若抛物线的顶点在线段$CD$上,则抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图(2),
$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=5$,即$\dfrac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$,解得$a=-3+\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$(此时顶点横坐标小于-3,舍去)或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$。
综上,$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$。

4[2025 山东临沂期中，中]如图，已知抛物线$y=-x^2+4x-2$和线段MN，点M和点N的坐标分别为$(0,4),(5,4)$，将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是。

【解析】$\because y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$,$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=2$。将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+2+k$。当抛物线顶点恰好平移到线段$MN$上时,$2+k=4$,解得$k=2$;当抛物线经过点$M(0,4)$时,$-(0-2)^2+2+k=4$,解得$k=6$,此时$M(0,4)$关于对称轴$x=2$对称的点$(4,4)$在线段$MN$上,不符合题意;当抛物线经过点$N(5,4)$时,$-(5-2)^2+2+k=4$,解得$k=11$,此时$N(5,4)$关于对称轴$x=2$对称的点的$(-1,4)$不在线段$MN$上,符合题意。结合图象可知,平移后的抛物线与线段$MN$仅有一个交点时,$6＜k≤11$或$k=2$。故答案为$6＜k≤11$或$k=2$。

5[中]在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=mx^2 - x + 1(m≠0)$,点$A(-1,0),B(1,1)$.若二次函数$y=mx^2 - x + 1$的图象与线段AB有两个不同的交点,则$m$的取值范围为.

【解析】①如图(1),当$m＜0$时,抛物线对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2m}＜0$,$\therefore x=-1$时,$y=mx^2-x+1=m+1+1≤0$,解得$m≤-2$,$\therefore m≤-2$。
②如图(2),当$m＞0$时,$\because$ 点$A(-1,0)$,$B(1,1)$,设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$,$\therefore \begin{cases}-k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$。
令$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=mx^2-x+1$,整理得$mx^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$。
$\because$ 二次函数$y=mx^2-x+1$的图象与线段$AB$有两个不同的交点,$\therefore \Delta=(-\dfrac{3}{2})^2-4m×\dfrac{1}{2}＞0$,且$x=1$时,$y=mx^2-x+1=m-1+1≥1$,$\therefore 1≤m＜\dfrac{9}{8}$。
综上,$m$的取值范围为$m≤-2$或$1≤m＜\dfrac{9}{8}$。