1[2026安徽淮南期中,中]若抛物线$y=(2 - m)x^2 + m + 1$（$m$是常数）开口向下，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞2$
B.$m＞-2$
C.$m＜2$
D.$m＜-1$

∵ 抛物线$y=(2 - m)x^2 + m + 1$(m是常数)开口向下,
∴二次项系数2-m＜0,解得m＞2.
故选A.

2 新考向开放性试题[2026福建厦门期中，中]如图是抛物线$y=ax^2+bx+c$的示意图，则$c$的值可以是（填写一个符合条件的数值即可）。

∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与y轴交于正半轴,
∴c＞0,
∴c的值可以为2,故答案为2(答案不唯一).

3[中]已知二次函数$y=x^2 -2mx +3$，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为。

抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2m}{2}=m$.
∵当x＞2时,y的值随x值的增大而增大,
∴m≤2.故答案为$m ≤ 2$.

4[2026 四川南充期中,中]二次函数$y=ax^2+(a+1)x-2a-1(a≠0)$,当$1＜x＜3$时,对于每一个$x$的值,$y＜x$始终成立,则$a$的取值范围是.

设z=y-x=ax²+ax-2a-1,则该抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{a}{2a}=-\frac{1}{2}$.当a＞0时,,当1＜x＜3时,z随x的增大而增大.
∵当1＜x＜3时,对于每一个x的值,y＜x始终成立,
∴当x=3时,z≤0,则9a+3a-2a-1≤0,解得$a ≤ \frac{1}{10}$,
∴$0＜a ≤ \frac{1}{10}$.当a＜0时,,当1＜x＜3时,z随x的增大而减小.
∵当1＜x＜3时,对于每一个x的值,y＜x始终成立,
∴当x=1时,z≤0,则a+a-2a-1≤0,即-1≤0,恒成立.综上,$a＜0$ 或 $0＜a ≤ \frac{1}{10}$时,y＜x始终成立.故答案为$a＜0$ 或 $0＜a ≤ \frac{1}{10}$.
关键点拨
分m＞0和m＜0两种情况来讨论,结合图象求解.
思路分析
利用y＜x建立新函数,确定1＜x＜3时对应的新函数图象的位置,按a的正负性讨论,然后根据端点值列不等式,从而确定a的取值范围.

5[2025江西新余质检，中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过$(1,y_1),(-1,y_2)$两点.有以下结论:①若$y_1＞0$,则$a+b+c＞0$;②若$a+b=0$,则$y_1＜y_2$;③若$y_1＜0,y_2＞0$,则$b＜0$;④若$b=2a-1,c=a-3$,且$y_1＞0$,则抛物线的顶点一定在第三象限.结论正确的个数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

①
∵y₁＞0,
∴当x=1时,y₁=a+b+c＞0,故①正确.②
∵a+b=0,
∴a=-b,
∴函数图象的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$.
∵$\frac{1}{2}-(-1)＞1-\frac{1}{2}$,
∴当a＞0时,y₂＞y₁,当a＜0时,y₂＜y₁,故②错误.③
∵y₁＜0,y₂＞0,
∴a+b+c＜0,a-b+c＞0,
∴-a+b-c＜0,
∴2b＜0,
∴b＜0,故③正确.④
∵b=2a-1,c=a-3,且y₁＞0,
∴a+b+c＞0,把b,c的值代入a+b+c＞0得a+2a-1+a-3＞0,
∴a＞1,
∴b＞1,c＞-2,
∴抛物线对称轴在y轴左侧,抛物线开口向上,Δ=b²-4ac=(2a-1)²-4a(a-3)=8a+1＞9＞0,即抛物线与x轴有两个交点,故抛物线顶点一定在第三象限,故④正确.综上,正确的结论有3个,故选C.

6[中]抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0)$，且对称轴为直线$x=1$，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\frac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上.
其中正确的结论是.(填序号)

由题图可得,a＜0,c＞0.
∵对称轴为直线x=1,
∴$-\frac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,b＞0,故①正确.
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点(-2,0),
∴根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
∵当x＞1时,y随x的增大而减小,当x=2时,y=4a+2b+c,
∴4a+2b+c＞0,故②正确.
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n.
∵n＞m＞0,
∴1+n＞1+m＞1,
∴x=1+m时的函数值大于x=1+n时的函数值,
∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值,故③错误.
∵b=-2a,抛物线y=ax²+bx+c经过点(-2,0),
∴0=4a+4a+c,即c=-8a,
∴$-\frac{c}{2a}=4$.
∵抛物线过点(4,0),
∴点$(-\frac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上,故④正确.故答案为①②④.

7[2025 浙江杭州质检,中]在平面直角坐标系中,设二次函数$y_1=ax^2+bx+c$,$y_2=cx^2+bx+a$($a$,b,c是常数,$ac＜0$).
(1)若函数$y_1$的图象的对称轴为直线$x=1$,且经过点$(a,c)$,求$a,b$的值.
(2)设函数$y_1$的最大值为$m$,函数$y_2$的最小值为$n$,若$m+n=0$,求证:$a+c=0.$

(1)【解】
∵函数y₁的图象的对称轴为直线x=1,
∴$-\frac{b}{2a}=1$.①
∵函数y₁的图象经过点(a,c),
∴a×a²+ab+c=c.② 联立①②,解得$\begin{cases}a=2,\\b=-4,\end{cases}$即a的值为2,b的值为-4.
(2)【证明】
∵函数y₁的最大值为m,
∴a＜0,$m=\frac{4ac-b²}{4a}$.
∵函数y₂的最小值为n,
∴c＞0,$n=\frac{4ac-b²}{4c}$.
∵m+n=0,
∴$\frac{4ac-b²}{4a}+\frac{4ac-b²}{4c}=0$,整理,得$\frac{(4ac-b²)(a+c)}{4ac}=0$.
∵ac＜0,
∴4ac-b²＜0,
∴a+c=0.