1[2026广西崇左质检]羽毛球在空中的运动路线可以看作一条抛物线()，羽毛球行进的高度$y$(米)与水平距离$x$(米)之间的关系式为$y=-\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x+\frac{10}{9}$，则羽毛球行进的最大高度为（）

A.2米
B.2.5米
C.2.8米
D.3米

A 【解析】$y=-\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x+\frac{10}{9}=-\frac{2}{9}(x-2)^2+2$.$\because -\frac{2}{9}＜0$,$\therefore $ 当 $x=2$ 时,$y$ 取得最大值 2,$\therefore $ 羽毛球行进的最大高度为 2 米,故选 A.

2[2026吉林长春校级期中]公园要建造一个如图(1)的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，OA高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头(看作一点)向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，那么水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不落到池外(不计其他因素)。

2.5 【解析】设 $y$ 轴右侧的抛物线解析式为 $y=a(x-1)^2+1.44$. 将 $A(0,0.8)$ 代入, 得 $a×(0-1)^2+1.44=0.8$, 解得 $a=-0.64$,$\therefore y$ 轴右侧的抛物线解析式为 $y=-0.64(x-1)^2+1.44$. 当 $y=0$时,$-0.64(x-1)^2+1.44=0$, 解得 $x_1=2.5$,$x_2=-0.5$(舍去),$\therefore $ 水池的半径至少为 2.5 米. 故答案为 2.5.

3[2025安徽六安期中]如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，现重建花园，将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使重建后的花园面积最大，则x应为（）

A.1
B.1.5
C.2
D.4
（第3题图）
（第4题图）

C 【解析】设重建后的花园面积为 $S\ \mathrm{m}^2$. 由题图可得,$S=(20-x)(16+x)=-(x-2)^2+324$,$\therefore $ 当$x=2$ 时,$S$ 取得最大值 324,故选 C.

4[2025山西太原质检]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$.动点$P$从点$A$出发,沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$B$重合),同时动点$Q$从点$B$出发,沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$C$重合).当四边形$APQC$的面积最小时,运动的时间为()

A.$1\ \mathrm{s}$
B.$2\ \mathrm{s}$
C.$3\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$

B 【解析】设运动时间为 $x\ \mathrm{s}$, 四边形 $APQC$ 的面积为 $y\ \mathrm{cm}^2$, 则 $AP=x\ \mathrm{cm}$,$BQ=2x\ \mathrm{cm}$,$\therefore BP=(4-x)\mathrm{cm}$,$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}BQ· BP$, 即 $y=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×2x(4-x)=x^2-4x+16=(x-2)^2+12$,$\therefore $ 当 $x=2$ 时,$y$ 有最小值, 为 12,故选 B.

5[2025天津和平区期末]如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m,面积为S m²,其中AD≥AB且AD≤18 m.有下列结论:
①x的取值范围为5≤x≤10;
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m²;
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为$\frac{225}{2}$ m².
其中正确的结论有.(填序号)

③ 【解析】$\because AB$ 的长为 $x\ \mathrm{m}$,$\therefore BC$ 的长为 $(30-2x)\mathrm{m}$, 则 $AD=(30-2x)\mathrm{m}$. $\because AD≥ AB$ 且 $AD≤ 18\ \mathrm{m}$,$\therefore \begin{cases} 30-2x≥ x, \\ x＞0, \\ 30-2x≤ 18, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x≤ 10, \\ x＞0, \\ x≥ 6, \end{cases}$ $\therefore x$ 的取值范围为 $6≤ x≤ 10$, 故①错误. 根据题意得 $x(30-2x)=100$, 解得 $x_1=5$,$x_2=10$. $\because 6≤ x≤ 10$,$\therefore x=10$,$\therefore AB$ 的长有一个值满足该矩形菜园的面积为 $100\ \mathrm{m}^2$, 故②错误. 根据题意得 $S=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-\frac{15}{2})^2+\frac{225}{2}$. $\because -2＜0$,$6≤ x≤ 10$,$\therefore $ 当 $x=\frac{15}{2}$ 时,$S$ 有最大值, 最大值为 $\frac{225}{2}$, 故③正确. 故答案为③.

6 如图,某小区计划用18 m 的铁栅栏两面靠墙(墙足够长)围成一个矩形车棚 ABCD,为了方便存车,在 CD(CD＞2 m)边上开了一个2 m 宽的门 EF(门不是用铁栅栏做成的),设边 BC 的长为 x m,车棚面积为 y m².
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围;
(2)当 x 的值是多少时,车棚面积最大?最大面积是多少?

【解】(1) $CD=AB=18+2-x=20-x$,$\therefore y=AB× BC=x(20-x)=-x^2+20x(0＜x＜18)$.
(2)当 $x=-\frac{b}{2a}=10$ 时,$y_{\mathrm{最大}}=100$,$\therefore $ 当 $x=10$ 时,车棚面积最大,最大面积是 $100\ \mathrm{m}^2$.