8.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + m = a$可以通过配方写成$(x - n)^2 = a - 2$的形式，则$m$，$n$之间的关系是().

A.$m = n + 2$
B.$m = n - 2$
C.$m = n^2 + 2$
D.$m = n^2 - 2$

8. C 解析 方程 $x^2 - px + m = a$ 移项,得 $x^2 - px = a - m$. 配方,得 $x^2 - px + (\frac{p}{2})^2 = a - m + (\frac{p}{2})^2$,$(x-\frac{p}{2})^2 = a - m + (\frac{p}{2})^2$,
$\therefore n=\frac{p}{2},a - m + (\frac{p}{2})^2 = a - 2$,
$\therefore m=(\frac{p}{2})^2 + 2$,即 $m=n^2 + 2$.

9.若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程$x^2 -10x +21=0$的根，则该三角形的周长为.

9. 16

10.规定：$a\otimes b=(a+b)b$. 如：$2\otimes 3=(2+3)× 3=15$. 若$2\otimes x=3$，则$x$的值为.

10. 1或−3 解析 依题意,得$(2+x)x=3$,整理,得 $x^2 +2x=3$. 配方,得 $x^2 +2x +1^2=3+1^2$,$(x+1)^2=4$. 由此可得 $x+1=\pm2$. $x_1=1$,$x_2=-3$.

11.已知a是不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解，请用配方法解关于x的方程$x^2 + 2ax + a + 1 = 0$。

11. 解 解不等式 $5(a-2)+8＜6(a-1)+7$,得 $a＞-3$,$\therefore a=-2$.
将 $a=-2$ 代入方程 $x^2 +2ax +a +1=0$,得 $x^2 -4x -1=0$.
移项,得 $x^2 -4x=1$.
配方,得 $x^2 -4x +2^2=1+2^2$,$(x-2)^2=5$.
由此可得 $x-2=\pm\sqrt{5}$.
$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$.

12. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知$ x $可取任意实数,试求$ x^2 + 6x -1 $的最小值.
解:$ x^2 + 6x -1 = x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 -1 = (x+3)^2 -10 $,
∵无论$ x $取何实数,总有$ (x+3)^2 ≥ 0 $,
∴$ (x+3)^2 -10 ≥ -10 $,
即$ x^2 + 6x -1 $的最小值是$-10$.
问题:
(1)已知$ x $可取任意实数,则二次三项式$ x^2 -6x +10 $的最值情况是().
A. 有最大值$-1$
B. 有最小值$-1$
C. 有最大值$1$
D. 有最小值$1$
(2)已知$ y = x^2 -4x +7 $,求证:$ y $是正数.

12. (1)D 解析 $x^2 -6x +10=x^2 -6x +9-9+10=(x-3)^2 +1$.
$\because$ 无论 $x$ 取何实数,总有 $(x-3)^2 \ge 0$,
$\therefore (x-3)^2 +1 \ge 1$,即二次三项式 $x^2 -6x +10$ 有最小值 1. 故选 D.
(2)证明 $y=x^2 -4x +7=x^2 -4x +4 +3=(x-2)^2 +3$.
$\because (x-2)^2 \ge 0$,$\therefore (x-2)^2 +3 \ge 3$,即 $y \ge 3$,
$\therefore y$ 是正数.