1. 一元二次方程根的判别式
(1)式子$\boldsymbol{b^2 - 4ac}$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=$\boldsymbol{b^2 - 4ac}$.
(2)①当$\Delta＞0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个$\boldsymbol{不相等}$的实数根；
②当$\Delta=0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个$\boldsymbol{相等}$的实数根；
③当$\Delta＜0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$$\boldsymbol{没有}$实数根.

(1) $b^2-4ac$ $b^2-4ac$
(2) ① 不相等 ② 相等 ③ 无

2. 用公式法解一元二次方程
(1)当$\Delta≥0$时,方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)的实数根可写为$x=$的形式,这个式子叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式.
(2)解一个具体的一元二次方程时,把各系数代入,可以直接得出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

2. (1) $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (2) 求根公式

典例1 一元二次方程$x^2 - 2x = -1$的根的情况是().

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
规律方法 根的判别式在解答一元二次方程的相关问题中应用十分广泛，既可以用来判断方程根的情况，也可以根据根的情况来确定方程中参数的值或取值范围.
举一反三 若关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^2 + 4x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是.

1. 典例1答案 B
解析 $x^2 - 2x = -1$，即 $x^2 - 2x + 1 = 0$，
$\because a = 1, b = -2, c = 1, \therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × 1 = 4 - 4 = 0, \therefore$ 该一元二次方程有两个相等的实数根，故选 B.
举一反三 $m≤5,且m≠1$ 解析 由题意可知$\Delta=b^2-4ac=16-4m+4=20-4m$.
$\because$关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+4x+1=0$有实数根,$\therefore \begin{cases}20-4m≥0,\\m-1≠0,\end{cases}$
解得$m≤5$,且$m≠1$.

2. 用公式法解一元二次方程
典例2 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 -5x +2=0$；
(2)$x^2 -2\sqrt{3}x +3=0$；
(3)$\sqrt{2}x -2=2x^2$。

2. 典例2
解 (1)因为 $a = 1, b = -5, c = 2$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 2 = 17 ＞ 0$.
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 × 1} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$.
(2)因为 $a = 1, b = -2\sqrt{3}, c = 3$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × 1 × 3 = 0$.
方程有两个相等的实数根
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2\sqrt{3}}{2 × 1} = \sqrt{3}$.
(3)方程化为 $2x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$，
此时 $a = 2, b = -\sqrt{2}, c = 2$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4 × 2 × 2 = -14 ＜ 0$.
方程无实数根.

温馨提示 用公式法解一元二次方程时,需注意两点:(1)方程要化为一般形式;(2)先计算$b^2 - 4ac$的值,只有当$b^2 - 4ac$的值大于或等于0时,才能用求根公式求方程的根.
举一反三 小明在用公式法解方程$x^2 -5x=1$时出现了错误,解答过程如下:
$\because a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$.(第二步)
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$,(第三步)
即$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$,$x$$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
典例解析

解：
小明第一步出错，未将原方程化为一元二次方程的一般形式就确定参数$c$的值，正确解答过程如下：
将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 5x - 1 = 0$
可得 $a=1$，$b=-5$，$c=-1$
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$
即 $x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。