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基础知识·预习
问题1 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算其面积？
问题2 如何计算圆锥的全面积？
问题1 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算其面积？
问题2 如何计算圆锥的全面积？
答案
1. 圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2πr$，圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$。
2. 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，公式为$S_{全}=πr(r+l)$。
2. 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，公式为$S_{全}=πr(r+l)$。
解析
【分析】
对于问题1，首先思考圆锥侧面展开的操作：将圆锥侧面沿一条母线剪开后平铺，可得到扇形；再梳理扇形和原圆锥的对应量：扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长；最后结合已学的扇形面积公式，代入对应量即可推导出圆锥侧面积公式。
对于问题2，明确“全面积”是物体所有外表面的面积之和，圆锥的外表面包含侧面和底面两部分，只需将侧面积与底面圆的面积相加，整理后即可得到全面积公式。
【解析】
1. 圆锥侧面沿母线剪开展开后得到的平面图形是扇形。
设圆锥母线长为$l$，底面圆半径为$r$：
展开后扇形的半径等于圆锥母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}× 弧长× 半径$，代入对应量可得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$。
2. 圆锥的全面积为侧面积与底面积之和，底面圆面积$S_{底}=π r^2$，因此：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1. 圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2πr$，圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$。
2. 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，公式为$S_{全}=πr(r+l)$。
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆锥侧面积计算、圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础概念题，核心要理清圆锥与侧面展开扇形的各量对应关系，牢记相关公式是后续解决圆锥表面积类应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
对于问题1，首先思考圆锥侧面展开的操作：将圆锥侧面沿一条母线剪开后平铺，可得到扇形；再梳理扇形和原圆锥的对应量：扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长；最后结合已学的扇形面积公式，代入对应量即可推导出圆锥侧面积公式。
对于问题2，明确“全面积”是物体所有外表面的面积之和，圆锥的外表面包含侧面和底面两部分，只需将侧面积与底面圆的面积相加，整理后即可得到全面积公式。
【解析】
1. 圆锥侧面沿母线剪开展开后得到的平面图形是扇形。
设圆锥母线长为$l$，底面圆半径为$r$：
展开后扇形的半径等于圆锥母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}× 弧长× 半径$，代入对应量可得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$。
2. 圆锥的全面积为侧面积与底面积之和，底面圆面积$S_{底}=π r^2$，因此：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1. 圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2πr$，圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$。
2. 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，公式为$S_{全}=πr(r+l)$。
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆锥侧面积计算、圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础概念题，核心要理清圆锥与侧面展开扇形的各量对应关系，牢记相关公式是后续解决圆锥表面积类应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的扇形的半径为 6,圆心角为 $120°$.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)求圆锥的全面积.
思路导引 (1)求圆锥的侧面积就是求扇形的面积.(2)要求圆锥的全面积,不仅要知道侧面展开扇形的面积,还需求出圆锥的底面圆的面积,这就需要求出底面圆的半径,而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长,所以可以先求出扇形的弧长,进而求解.
【解】(1)圆锥的侧面积是 $\frac{120π × 6^2}{360}=12π$.
(2)扇形的弧长是 $\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是 $\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是 $12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,这个扇形的面积等于圆锥的侧面积,侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)求圆锥的全面积.
思路导引 (1)求圆锥的侧面积就是求扇形的面积.(2)要求圆锥的全面积,不仅要知道侧面展开扇形的面积,还需求出圆锥的底面圆的面积,这就需要求出底面圆的半径,而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长,所以可以先求出扇形的弧长,进而求解.
【解】(1)圆锥的侧面积是 $\frac{120π × 6^2}{360}=12π$.
(2)扇形的弧长是 $\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是 $\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是 $12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,这个扇形的面积等于圆锥的侧面积,侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积.
答案
(1) 圆锥的侧面积是 $\frac{120π × 6^2}{360}=12π$。
(2) 扇形的弧长是 $\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是 $\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是 $12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,这个扇形的面积等于圆锥的侧面积,侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积。
(2) 扇形的弧长是 $\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是 $\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是 $12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,这个扇形的面积等于圆锥的侧面积,侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积。
解析
【分析】
(1) 圆锥的侧面展开图为扇形，因此圆锥侧面积就是该扇形的面积。已知扇形的半径（即圆锥母线长）为6，圆心角为120°，直接代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$即可求解。
(2) 圆锥的全面积等于侧面积加底面积，侧面积已求出，只需额外计算底面圆的面积。要计算底面积需先得到底面圆半径，根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一性质，先代入弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$求出弧长，再结合圆的周长公式$C=2πr$反推底面半径$r$，最后求出底面积与侧面积相加即可得到全面积。
【解析】
(1) 圆锥侧面积等于展开扇形的面积，代入公式计算：
$S_{侧}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$
(2) 先计算侧面展开扇形的弧长：
$l_{弧}=\frac{120π×6}{180}=4π$
∵ 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2πr=4π$
∴ 底面圆半径$r=\frac{4π}{2π}=2$
底面圆面积$S_{底}=πr^2=π×2^2=4π$
因此圆锥的全面积为：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π+4π=16π$
【答案】
(1) $12π$；(2) $16π$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥侧面展开图性质，圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥计算类的基础题型，解题核心是理清圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，牢记相关公式就能快速求解，是对基础概念和公式应用的考察。
【难度系数】
0.75
(1) 圆锥的侧面展开图为扇形，因此圆锥侧面积就是该扇形的面积。已知扇形的半径（即圆锥母线长）为6，圆心角为120°，直接代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$即可求解。
(2) 圆锥的全面积等于侧面积加底面积，侧面积已求出，只需额外计算底面圆的面积。要计算底面积需先得到底面圆半径，根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一性质，先代入弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$求出弧长，再结合圆的周长公式$C=2πr$反推底面半径$r$，最后求出底面积与侧面积相加即可得到全面积。
【解析】
(1) 圆锥侧面积等于展开扇形的面积，代入公式计算：
$S_{侧}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$
(2) 先计算侧面展开扇形的弧长：
$l_{弧}=\frac{120π×6}{180}=4π$
∵ 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2πr=4π$
∴ 底面圆半径$r=\frac{4π}{2π}=2$
底面圆面积$S_{底}=πr^2=π×2^2=4π$
因此圆锥的全面积为：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π+4π=16π$
【答案】
(1) $12π$；(2) $16π$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥侧面展开图性质，圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥计算类的基础题型，解题核心是理清圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，牢记相关公式就能快速求解，是对基础概念和公式应用的考察。
【难度系数】
0.75
1.若圆锥的底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（
A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
B
）A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的相关知识：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此推导得到圆锥侧面积计算公式为$S=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。解题时只需从题干提取对应$r$和$l$的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：圆锥的侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是圆锥底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题意可知$r=3$，$l=4$，将数值代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，只要熟记公式、准确提取题干参数就能正确解答，是圆锥相关计算中的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的相关知识：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此推导得到圆锥侧面积计算公式为$S=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。解题时只需从题干提取对应$r$和$l$的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：圆锥的侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是圆锥底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题意可知$r=3$，$l=4$，将数值代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，只要熟记公式、准确提取题干参数就能正确解答，是圆锥相关计算中的典型基础题。
【难度系数】
0.9
