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2. 如图，圆锥的母线与高的夹角为$30°$，母线长为4 cm，求这个圆锥的全面积.
答案
2. 【解】根据题意,得$∠ ADC=90°,AC=4,∠ DAC=30°$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=2$.
$\because π × 2 × (2+4)=12π$,
$\therefore$ 圆锥的全面积为 $12π \ \mathrm{cm}^2$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=2$.
$\because π × 2 × (2+4)=12π$,
$\therefore$ 圆锥的全面积为 $12π \ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
要求圆锥的全面积，首先需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，对应的公式为$S_{全}=π rl+π r^2$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长。题目已经给出母线长$l=4\mathrm{cm}$，因此只需要求出底面半径$r$即可。观察图形可知，圆锥的高与底面垂直，因此$△ ADC$是直角三角形，结合已知$∠ DAC=30°$、斜边$AC$为母线长$4\mathrm{cm}$，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出底面半径$r$，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because AD$是圆锥的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=4\mathrm{cm}$，$∠ DAC=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，即圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，已知母线长$l=4\mathrm{cm}$，
根据圆锥全面积公式：$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2$，
代入数值计算得：$S_{全}=π×2×4+π×2^2=8π+4π=12π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是结合直角三角形的性质求出圆锥底面半径，同学们需要熟练掌握圆锥相关面积公式，避免混淆侧面积和全面积的概念。
【难度系数】
0.8
要求圆锥的全面积，首先需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，对应的公式为$S_{全}=π rl+π r^2$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长。题目已经给出母线长$l=4\mathrm{cm}$，因此只需要求出底面半径$r$即可。观察图形可知，圆锥的高与底面垂直，因此$△ ADC$是直角三角形，结合已知$∠ DAC=30°$、斜边$AC$为母线长$4\mathrm{cm}$，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出底面半径$r$，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because AD$是圆锥的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=4\mathrm{cm}$，$∠ DAC=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，即圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，已知母线长$l=4\mathrm{cm}$，
根据圆锥全面积公式：$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2$，
代入数值计算得：$S_{全}=π×2×4+π×2^2=8π+4π=12π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是结合直角三角形的性质求出圆锥底面半径，同学们需要熟练掌握圆锥相关面积公式，避免混淆侧面积和全面积的概念。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】如图,圆锥的底面圆的半径是4 cm,母线长为12 cm,C为母线PB的中点.现有一只蚂蚁从点A出发,沿圆锥侧面爬行到点C,则蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程为cm.
【解析】如图,作圆锥的侧面展开图,连接AC,AB,则AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程.
设圆锥的侧面展开图的圆心角为$n°$.
根据题意,得$\frac{nπ×12}{180}=2π×4$.
解得$n＝120$,即圆锥的侧面展开图的圆心角是$120°$,进而$∠ APB＝60°$.
∵$PA＝PB$,
∴$△ PAB$为等边三角形.
∵C为母线PB的中点,
∴$PC＝\frac{1}{2}PB＝6$,$AC⊥ PB$.
∴$∠ ACP＝90°$.
∴$AC＝\sqrt{AP^{2}－PC^{2}}＝6\sqrt{3}$,即蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程是$6\sqrt{3}$ cm.
【答案】$6\sqrt{3}$
规律方法 解决圆锥表面最短路径问题的一般步骤:
（1）画出圆锥的侧面展开图.
（2）找到原图中起点和终点在侧面展开图中的对应点,并在侧面展开图中标出来.
（3）根据“两点之间,线段最短”,在侧面展开图中连接起点和终点的对应点,这条线段即为最短路径.
【解析】如图,作圆锥的侧面展开图,连接AC,AB,则AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程.
设圆锥的侧面展开图的圆心角为$n°$.
根据题意,得$\frac{nπ×12}{180}=2π×4$.
解得$n＝120$,即圆锥的侧面展开图的圆心角是$120°$,进而$∠ APB＝60°$.
∵$PA＝PB$,
∴$△ PAB$为等边三角形.
∵C为母线PB的中点,
∴$PC＝\frac{1}{2}PB＝6$,$AC⊥ PB$.
∴$∠ ACP＝90°$.
∴$AC＝\sqrt{AP^{2}－PC^{2}}＝6\sqrt{3}$,即蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程是$6\sqrt{3}$ cm.
【答案】$6\sqrt{3}$
规律方法 解决圆锥表面最短路径问题的一般步骤:
（1）画出圆锥的侧面展开图.
（2）找到原图中起点和终点在侧面展开图中的对应点,并在侧面展开图中标出来.
（3）根据“两点之间,线段最短”,在侧面展开图中连接起点和终点的对应点,这条线段即为最短路径.
答案
解析
【分析】
遇到圆锥侧面最短路径问题，核心思路是将立体的曲面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”将路径转化为平面内的线段长度求解。首先需要根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的关系，计算出侧面展开扇形的圆心角，确定展开后点A、P、C的位置关系，再结合三角形的性质与勾股定理即可求出最短路径的长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线PB展开得到扇形，连接AC，则线段AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 4$
解得$n=120$，即侧面展开扇形的圆心角为$120°$，由此可得$∠ APB=60°$。
$\because PA=PB=12\mathrm{cm}$，$\therefore △ PAB$为等边三角形。
$\because$C为母线PB的中点，$\therefore PC=\frac{1}{2}PB=6\mathrm{cm}$，根据等边三角形三线合一的性质，$AC⊥ PB$，即$△ ACP$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2 - PC^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题的关键是建立立体图形与平面展开图的对应关系，熟练运用圆锥展开图的弧长公式、等边三角形性质和勾股定理进行计算，需注意区分展开前后各边、角的对应关系，避免对应错误。
【难度系数】
0.6
遇到圆锥侧面最短路径问题，核心思路是将立体的曲面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”将路径转化为平面内的线段长度求解。首先需要根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的关系，计算出侧面展开扇形的圆心角，确定展开后点A、P、C的位置关系，再结合三角形的性质与勾股定理即可求出最短路径的长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线PB展开得到扇形，连接AC，则线段AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 4$
解得$n=120$，即侧面展开扇形的圆心角为$120°$，由此可得$∠ APB=60°$。
$\because PA=PB=12\mathrm{cm}$，$\therefore △ PAB$为等边三角形。
$\because$C为母线PB的中点，$\therefore PC=\frac{1}{2}PB=6\mathrm{cm}$，根据等边三角形三线合一的性质，$AC⊥ PB$，即$△ ACP$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2 - PC^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题的关键是建立立体图形与平面展开图的对应关系，熟练运用圆锥展开图的弧长公式、等边三角形性质和勾股定理进行计算，需注意区分展开前后各边、角的对应关系，避免对应错误。
【难度系数】
0.6
3.如图，圆锥的底面圆的半径为2，母线长为8.现有一只小虫从点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA的中点B处，则它爬行的最短路程是
$4\sqrt{5}$
。答案
3. $4\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，需将立体图形转化为平面图形求解：①首先明确“两点之间，线段最短”，将圆锥侧面展开为扇形后，A、B两点的线段长度就是最短爬行路程；②先利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角，确定A、B在展开图中的位置；③最后在直角三角形中用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：底面半径$r=2$，所以底面周长$C=2π r=2π×2=4π$。
2. 求侧面展开扇形的圆心角：设圆心角为$n°$，圆锥母线长即扇形半径$R=8$，根据扇形弧长等于底面周长，可得弧长公式：
$\frac{nπ R}{180}=C$
代入数据：$\frac{nπ×8}{180}=4π$，解得$n=90$，即侧面展开图是圆心角为$90°$的扇形。
3. 计算最短路径：将圆锥沿母线SA剪开得到扇形$SAA'$，则$∠ ASA'=90°$。已知B是SA的中点，所以$SB=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×8=4$。
根据两点之间线段最短，线段AB的长度即为最短爬行路程，在$Rt△ ASB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是曲面最短路径的经典题型，核心解题思路是将立体曲面展开为平面，把路径问题转化为平面线段长度计算，需要熟练掌握圆锥展开的相关性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，需将立体图形转化为平面图形求解：①首先明确“两点之间，线段最短”，将圆锥侧面展开为扇形后，A、B两点的线段长度就是最短爬行路程；②先利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角，确定A、B在展开图中的位置；③最后在直角三角形中用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：底面半径$r=2$，所以底面周长$C=2π r=2π×2=4π$。
2. 求侧面展开扇形的圆心角：设圆心角为$n°$，圆锥母线长即扇形半径$R=8$，根据扇形弧长等于底面周长，可得弧长公式：
$\frac{nπ R}{180}=C$
代入数据：$\frac{nπ×8}{180}=4π$，解得$n=90$，即侧面展开图是圆心角为$90°$的扇形。
3. 计算最短路径：将圆锥沿母线SA剪开得到扇形$SAA'$，则$∠ ASA'=90°$。已知B是SA的中点，所以$SB=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×8=4$。
根据两点之间线段最短，线段AB的长度即为最短爬行路程，在$Rt△ ASB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是曲面最短路径的经典题型，核心解题思路是将立体曲面展开为平面，把路径问题转化为平面线段长度计算，需要熟练掌握圆锥展开的相关性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
1.若一个圆锥的底面圆的直径是6，母线长是8，则它的全面积是（
A.$24π$
B.33
C.24
D.$33π$
D
）A.$24π$
B.33
C.24
D.$33π$
答案
1. D
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积=侧面积+底面积，解题时先从已知条件提取所需数据：已知底面直径可求出底面半径，母线长为已知量，分别代入侧面积公式、圆的面积公式计算两个部分的面积，求和后即可得到全面积，也可先根据结果是否含π排除不带π的错误选项缩小范围。
【解析】
解：已知圆锥底面圆的直径为6，因此底面半径$ r = 6÷2 = 3 $，母线长$ l = 8 $。
1. 计算底面积：底面积为底面圆的面积，根据圆的面积公式$ S_{底}=π r^2 $，代入得$ S_{底}=π × 3^2 = 9π $。
2. 计算侧面积：圆锥侧面积公式为$ S_{侧}=π r l $（其中$ l $为母线长），代入得$ S_{侧}=π × 3 × 8 = 24π $。
3. 计算全面积：$ S_{全}=S_{侧}+S_{底}=24π +9π = 33π $。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆的面积计算，几何体全面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确圆锥全面积的构成，牢记圆锥侧面积和圆的面积计算公式，易错点是容易漏加底面积误将侧面积当作全面积，计算时注意对应公式中各字母的含义即可正确求解。
【难度系数】
0.75
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积=侧面积+底面积，解题时先从已知条件提取所需数据：已知底面直径可求出底面半径，母线长为已知量，分别代入侧面积公式、圆的面积公式计算两个部分的面积，求和后即可得到全面积，也可先根据结果是否含π排除不带π的错误选项缩小范围。
【解析】
解：已知圆锥底面圆的直径为6，因此底面半径$ r = 6÷2 = 3 $，母线长$ l = 8 $。
1. 计算底面积：底面积为底面圆的面积，根据圆的面积公式$ S_{底}=π r^2 $，代入得$ S_{底}=π × 3^2 = 9π $。
2. 计算侧面积：圆锥侧面积公式为$ S_{侧}=π r l $（其中$ l $为母线长），代入得$ S_{侧}=π × 3 × 8 = 24π $。
3. 计算全面积：$ S_{全}=S_{侧}+S_{底}=24π +9π = 33π $。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆的面积计算，几何体全面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确圆锥全面积的构成，牢记圆锥侧面积和圆的面积计算公式，易错点是容易漏加底面积误将侧面积当作全面积，计算时注意对应公式中各字母的含义即可正确求解。
【难度系数】
0.75
2.若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径长为 （
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据扇形的圆心角和母线长计算出弧长，再利用弧长与底面周长相等的等量关系列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），本题中$ n=90° $，扇形半径即母线长$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长等于底面圆周长列方程求解：
底面圆周长公式为$ C=2π r $，由弧长等于底面周长可得：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长计算公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题核心是抓住侧面展开扇形的弧长与圆锥底面圆周长相等的等量关系，熟记对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据扇形的圆心角和母线长计算出弧长，再利用弧长与底面周长相等的等量关系列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），本题中$ n=90° $，扇形半径即母线长$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长等于底面圆周长列方程求解：
底面圆周长公式为$ C=2π r $，由弧长等于底面周长可得：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长计算公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题核心是抓住侧面展开扇形的弧长与圆锥底面圆周长相等的等量关系，熟记对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.用半径为24 cm，圆心角为120°的扇形纸板做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是
16π cm
。答案
3. 16π cm
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确扇形围成圆锥时的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此我们只需要根据已知的扇形半径、圆心角，利用扇形弧长公式算出弧长，就能直接得到圆锥底面圆的周长。
【解析】
解：
∵ 圆锥形生日帽的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=24\mathrm{cm}$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×24}{180}=16π(\mathrm{cm})$，
∴ 这个圆锥形生日帽的底面圆的周长为$16π\mathrm{cm}$。
【答案】
16π cm
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础计算题，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长相等的等量关系，熟练掌握扇形弧长公式即可快速求解，是这类题型的常考基础考法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确扇形围成圆锥时的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此我们只需要根据已知的扇形半径、圆心角，利用扇形弧长公式算出弧长，就能直接得到圆锥底面圆的周长。
【解析】
解：
∵ 圆锥形生日帽的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=24\mathrm{cm}$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×24}{180}=16π(\mathrm{cm})$，
∴ 这个圆锥形生日帽的底面圆的周长为$16π\mathrm{cm}$。
【答案】
16π cm
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础计算题，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长相等的等量关系，熟练掌握扇形弧长公式即可快速求解，是这类题型的常考基础考法。
【难度系数】
0.8
