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4.一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72°$的扇形.若这个圆锥的底面圆的半径为1,则该圆锥的高为
$2\sqrt{6}$
.答案
4. $2\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时需先明确圆锥侧面展开图的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先根据底面半径算出底面圆的周长；第二步利用弧长公式列方程求出圆锥的母线长；第三步结合圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形的特点，用勾股定理计算出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面圆半径$ r=1 $，则底面周长$ C=2π r=2π × 1=2π $。
2. 利用侧面展开图弧长等于底面周长求母线长：
侧面展开扇形的圆心角$ n=72° $，扇形弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $，且$ l_{\mathrm{弧}}=C=2π $，代入得：
$\frac{72π l}{180}=2π$
两边同时约去$ π $，化简得：$ \frac{72l}{180}=2 $，解得$ l=5 $。
3. 用勾股定理求圆锥的高$ h $：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足$ h^2 + r^2 = l^2 $，代入数值：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，核心考点是圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，只要理清弧长和底面周长的等量关系，结合勾股定理即可求解，是这部分知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确圆锥侧面展开图的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先根据底面半径算出底面圆的周长；第二步利用弧长公式列方程求出圆锥的母线长；第三步结合圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形的特点，用勾股定理计算出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面圆半径$ r=1 $，则底面周长$ C=2π r=2π × 1=2π $。
2. 利用侧面展开图弧长等于底面周长求母线长：
侧面展开扇形的圆心角$ n=72° $，扇形弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $，且$ l_{\mathrm{弧}}=C=2π $，代入得：
$\frac{72π l}{180}=2π$
两边同时约去$ π $，化简得：$ \frac{72l}{180}=2 $，解得$ l=5 $。
3. 用勾股定理求圆锥的高$ h $：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足$ h^2 + r^2 = l^2 $，代入数值：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，核心考点是圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，只要理清弧长和底面周长的等量关系，结合勾股定理即可求解，是这部分知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.若圆锥的底面圆的半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是
90
°。答案
5. 90
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的圆心角，需先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于侧面展开扇形的半径。首先根据已知的底面半径和侧面积，利用圆锥侧面积公式求出母线长，再结合扇形面积或弧长公式即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，已知$ r=3 $，$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，底面周长为$ 2π r=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，代入得：
$ \frac{nπ × 12}{180} = 6π $
两边同时除以$ π $，解得：$ n = \frac{6 × 180}{12} =90 $。
【答案】
90
【知识点】
圆锥的计算；扇形面积计算；弧长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题的核心是掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，结合对应的公式代入计算即可，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图的圆心角，需先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于侧面展开扇形的半径。首先根据已知的底面半径和侧面积，利用圆锥侧面积公式求出母线长，再结合扇形面积或弧长公式即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，已知$ r=3 $，$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，底面周长为$ 2π r=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，代入得：
$ \frac{nπ × 12}{180} = 6π $
两边同时除以$ π $，解得：$ n = \frac{6 × 180}{12} =90 $。
【答案】
90
【知识点】
圆锥的计算；扇形面积计算；弧长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题的核心是掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，结合对应的公式代入计算即可，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕BC所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为
(第6题图)
(第7题图)
$14π$
.(第6题图)
(第7题图)
答案
6. 14π
解析
【分析】
首先判断旋转后得到的几何体：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的是两个底面完全重合的圆锥组合体，两个圆锥的底面半径均为高AD的长度，母线长分别为AC和AB。要求该几何体的表面积，只需计算两个圆锥的侧面积之和即可（重合的底面属于几何体内部，不计入表面积），结合圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长）代入数值计算即可。
【解析】
由题意可知，旋转得到的几何体是两个共底的圆锥，底面半径$ r = AD = 2 $，两个圆锥的母线长分别为$ l_1 = AC = 3 $，$ l_2 = AB = 4 $。
根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $：
上方圆锥侧面积$ S_1 = π × 2 × 3 = 6π $
下方圆锥侧面积$ S_2 = π × 2 × 4 = 8π $
该几何体的表面积为两个侧面积之和：$ S = S_1 + S_2 = 6π + 8π = 14π $
【答案】
14π
【知识点】
圆锥侧面积计算；旋转体的认识；组合体表面积计算
【点评】
本题的解题核心是准确识别旋转后几何体的构成，需注意组合体的表面积只计算外露的面，重合的内部面不计入，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
首先判断旋转后得到的几何体：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的是两个底面完全重合的圆锥组合体，两个圆锥的底面半径均为高AD的长度，母线长分别为AC和AB。要求该几何体的表面积，只需计算两个圆锥的侧面积之和即可（重合的底面属于几何体内部，不计入表面积），结合圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长）代入数值计算即可。
【解析】
由题意可知，旋转得到的几何体是两个共底的圆锥，底面半径$ r = AD = 2 $，两个圆锥的母线长分别为$ l_1 = AC = 3 $，$ l_2 = AB = 4 $。
根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $：
上方圆锥侧面积$ S_1 = π × 2 × 3 = 6π $
下方圆锥侧面积$ S_2 = π × 2 × 4 = 8π $
该几何体的表面积为两个侧面积之和：$ S = S_1 + S_2 = 6π + 8π = 14π $
【答案】
14π
【知识点】
圆锥侧面积计算；旋转体的认识；组合体表面积计算
【点评】
本题的解题核心是准确识别旋转后几何体的构成，需注意组合体的表面积只计算外露的面，重合的内部面不计入，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在正方形铁皮上剪下的一个圆形和一个扇形恰好能围成一个圆锥.若圆的半径是$r$,扇形的半径是$R$,则$\frac{r}{R}$的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
7. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确扇形和圆围成圆锥的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先结合正方形的特征判断出扇形的圆心角为90°，再分别计算扇形的弧长和小圆的周长，根据等量关系列等式即可推导得出r和R的比值。
【解析】
解：
∵剪下的扇形和圆恰好能围成一个圆锥，
∴扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
由图可知扇形的圆心角为90°，
根据弧长公式，扇形弧长为：$l=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$，
底面圆的周长为：$C=2π r$，
根据弧长等于底面周长可得：$\frac{π R}{2}=2π r$，
两边同时约去$π$得：$\frac{R}{2}=2r$，
整理得$R=4r$，
因此$\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算
【点评】
本题主要考查圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，解题关键是抓住"侧面展开图的弧长等于底面圆周长"这一核心等量关系，结合图形判断扇形圆心角度数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确扇形和圆围成圆锥的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先结合正方形的特征判断出扇形的圆心角为90°，再分别计算扇形的弧长和小圆的周长，根据等量关系列等式即可推导得出r和R的比值。
【解析】
解：
∵剪下的扇形和圆恰好能围成一个圆锥，
∴扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
由图可知扇形的圆心角为90°，
根据弧长公式，扇形弧长为：$l=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$，
底面圆的周长为：$C=2π r$，
根据弧长等于底面周长可得：$\frac{π R}{2}=2π r$，
两边同时约去$π$得：$\frac{R}{2}=2r$，
整理得$R=4r$，
因此$\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算
【点评】
本题主要考查圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，解题关键是抓住"侧面展开图的弧长等于底面圆周长"这一核心等量关系，结合图形判断扇形圆心角度数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 一种冰激凌的外包装可视为图1所示的圆锥，制作一个这种外包装需要用图2所示的材料，其中$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，将扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$，$AF$恰好重合。已知圆锥底面圆的直径$DE$为5 cm。
(1)求图1中圆锥的母线$AE$的长。
(2)求加工材料的剩余部分(图2中阴影部分)的面积。
(1)求图1中圆锥的母线$AE$的长。
(2)求加工材料的剩余部分(图2中阴影部分)的面积。
答案
8.【解】(1)设圆锥的母线 AE 的长为 x cm.
根据题意,得 $π×5=\frac{90π · x}{180}$.
解得 $x=10$.
因此,圆锥的母线 AE 的长为 10 cm.
(2)$\because ∠BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore △ABC$ 是等腰直角三角形.
又 $AD⊥BC$,
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$,由(1)知 $AE=10$,
$\therefore AD=AE=10$.
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20$.
$\therefore S_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=100-25π$.
因此,加工材料的剩余部分的面积为 $(100-25π)cm^2$.
根据题意,得 $π×5=\frac{90π · x}{180}$.
解得 $x=10$.
因此,圆锥的母线 AE 的长为 10 cm.
(2)$\because ∠BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore △ABC$ 是等腰直角三角形.
又 $AD⊥BC$,
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$,由(1)知 $AE=10$,
$\therefore AD=AE=10$.
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20$.
$\therefore S_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=100-25π$.
因此,加工材料的剩余部分的面积为 $(100-25π)cm^2$.
解析
【分析】
(1) 第一问的解题核心是利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长。已知圆锥底面直径可求出底面周长，侧面展开扇形的圆心角为90°，设母线长为未知量，结合弧长公式列方程即可求解。
(2) 第二问求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积 = 等腰直角△ABC的面积 - 扇形AEF的面积。先根据等腰直角三角形的性质，结合AD与母线AE等长，求出△ABC的底和高，分别计算三角形和扇形的面积后作差，即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线AE的长为$x$ cm.
根据圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，列方程：
$π×5=\frac{90π · x}{180}$
解得 $x=10$
(2) $\because ∠BAC=90°,AB=AC$，
$\therefore △ABC$是等腰直角三角形，
又$\because AD⊥BC$，
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$，由(1)知$AE=10$，
$\therefore AD=10$，$BC=2AD=20$，
$\therefore S_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}$
$=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90×π×10^2}{360}$
$=100-25π$
【答案】
(1) 圆锥的母线AE的长为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$；
(2) 加工材料剩余部分的面积为$\boxed{(100-25π)\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
圆锥的计算，扇形弧长与面积计算，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查圆锥展开图的等量关系和不规则图形面积的求解方法，解题的关键是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一核心等量关系，同时熟练运用特殊三角形、扇形的面积公式。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的解题核心是利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长。已知圆锥底面直径可求出底面周长，侧面展开扇形的圆心角为90°，设母线长为未知量，结合弧长公式列方程即可求解。
(2) 第二问求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积 = 等腰直角△ABC的面积 - 扇形AEF的面积。先根据等腰直角三角形的性质，结合AD与母线AE等长，求出△ABC的底和高，分别计算三角形和扇形的面积后作差，即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线AE的长为$x$ cm.
根据圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，列方程：
$π×5=\frac{90π · x}{180}$
解得 $x=10$
(2) $\because ∠BAC=90°,AB=AC$，
$\therefore △ABC$是等腰直角三角形，
又$\because AD⊥BC$，
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$，由(1)知$AE=10$，
$\therefore AD=10$，$BC=2AD=20$，
$\therefore S_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}$
$=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90×π×10^2}{360}$
$=100-25π$
【答案】
(1) 圆锥的母线AE的长为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$；
(2) 加工材料剩余部分的面积为$\boxed{(100-25π)\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
圆锥的计算，扇形弧长与面积计算，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查圆锥展开图的等量关系和不规则图形面积的求解方法，解题的关键是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一核心等量关系，同时熟练运用特殊三角形、扇形的面积公式。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知圆锥的底面圆的半径是2 cm，母线长是6 cm. 若从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，则这根绳子最短是
$6\sqrt{3}$ cm
。答案
9. $6\sqrt{3}$ cm
解析
【分析】
要计算圆锥侧面绕一圈回到起点的最短绳长，需利用“曲面转平面”的转化思想：①首先明确圆锥侧面展开为扇形，底面周长等于扇形的弧长，据此先计算扇形的圆心角；②将圆锥侧面展开后，原起点A对应扇形弧的两个端点，根据两点之间线段最短，连接这两个端点的线段长度就是最短绳长，再结合三角形相关知识计算线段长度即可。
【解析】
解：第一步，计算圆锥底面周长：
已知底面半径$r=2\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
第二步，求侧面展开图（扇形）的圆心角：
设扇形圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$6\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$R$为扇形半径），且扇形弧长等于底面周长，可得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
消去$π$后解得：$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
第三步，计算最短绳长：
圆锥侧面展开后，起点A对应扇形弧的两个端点$A、A'$，与扇形顶点O构成$△ OAA'$，其中$OA=OA'=6\mathrm{cm}$，$∠ AOA'=120°$。
过O作$OH⊥ AA'$于点H，根据等腰三角形三线合一，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOA'=60°$，$AA'=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此$AA'=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$ cm
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考题，核心考查转化思想的应用，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开图的对应性质，结合几何图形的边角关系计算即可，易错点是容易混淆圆锥各元素和展开扇形各元素的对应关系。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥侧面绕一圈回到起点的最短绳长，需利用“曲面转平面”的转化思想：①首先明确圆锥侧面展开为扇形，底面周长等于扇形的弧长，据此先计算扇形的圆心角；②将圆锥侧面展开后，原起点A对应扇形弧的两个端点，根据两点之间线段最短，连接这两个端点的线段长度就是最短绳长，再结合三角形相关知识计算线段长度即可。
【解析】
解：第一步，计算圆锥底面周长：
已知底面半径$r=2\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
第二步，求侧面展开图（扇形）的圆心角：
设扇形圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$6\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$R$为扇形半径），且扇形弧长等于底面周长，可得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
消去$π$后解得：$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
第三步，计算最短绳长：
圆锥侧面展开后，起点A对应扇形弧的两个端点$A、A'$，与扇形顶点O构成$△ OAA'$，其中$OA=OA'=6\mathrm{cm}$，$∠ AOA'=120°$。
过O作$OH⊥ AA'$于点H，根据等腰三角形三线合一，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOA'=60°$，$AA'=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此$AA'=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$ cm
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考题，核心考查转化思想的应用，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开图的对应性质，结合几何图形的边角关系计算即可，易错点是容易混淆圆锥各元素和展开扇形各元素的对应关系。
【难度系数】
0.6
10.如图,从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为$90°$的扇形.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求围成的圆锥的底面圆的半径长.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求围成的圆锥的底面圆的半径长.
答案
10.【解】(1)如图,连接 AC,BO.
$\because ∠ABC=90°$,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的直径.
$\because AB=BC$,
$\therefore △ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠OAB=45°$.
$\because OA=OB$,
$\therefore ∠ABO=45°$.
$\therefore △ABO$ 为等腰直角三角形.
$\because AC=2$,
$\therefore AO=BO=1$.
$\therefore AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\therefore$ 扇形的面积为 $\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$,
圆形铁皮的面积为 $π×1^2=π$.
$\because π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}$,
$\therefore$ 剩余部分的面积为 $\frac{π}{2} m^2$.
(2)由(1)得 $AB=\sqrt{2}$,
$\therefore$ 扇形的弧长为 $\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$.
$\because \frac{\sqrt{2}}{2}π÷π÷2=\frac{\sqrt{2}}{4}$,
$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径长为 $\frac{\sqrt{2}}{4} m$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)求剩余部分面积，核心是用圆的总面积减去剪下的扇形面积：①先根据90°圆周角所对弦为直径，确定AC是圆的直径，得到AC=2m；②结合AB=BC推出△ABC是等腰直角三角形，计算出扇形的半径AB的长度；③分别计算圆的面积和扇形面积，作差得到剩余面积。
(2)求圆锥底面半径：要明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形的弧长，再利用圆的周长公式反推底面半径即可。
【解析】
(1) 如图，连接AC，BO。
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，AC=2m。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
∵OA=OB=1m（圆的半径为直径的一半），
∴∠ABO=∠OAB=45°，即△ABO为等腰直角三角形。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
圆形铁皮的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$，
剪下的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$，
剩余部分面积：$S_{\mathrm{剩余}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}}=π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$。
(2) 扇形的弧长为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π\ \mathrm{m}$，
设圆锥底面圆半径为r，根据扇形弧长等于底面圆周长，得$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
解得：$r=\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 剩余部分的面积为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$；
(2) 围成的圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
圆周角定理；扇形弧长与面积计算；圆锥的侧面展开
【点评】
本题是圆相关知识的基础综合题，解题的关键是掌握两个核心等量关系：一是90°圆周角对应直径，二是圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，能很好地考查学生对基础公式的应用能力和图形转化的思维。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)求剩余部分面积，核心是用圆的总面积减去剪下的扇形面积：①先根据90°圆周角所对弦为直径，确定AC是圆的直径，得到AC=2m；②结合AB=BC推出△ABC是等腰直角三角形，计算出扇形的半径AB的长度；③分别计算圆的面积和扇形面积，作差得到剩余面积。
(2)求圆锥底面半径：要明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形的弧长，再利用圆的周长公式反推底面半径即可。
【解析】
(1) 如图，连接AC，BO。
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，AC=2m。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
∵OA=OB=1m（圆的半径为直径的一半），
∴∠ABO=∠OAB=45°，即△ABO为等腰直角三角形。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
圆形铁皮的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$，
剪下的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$，
剩余部分面积：$S_{\mathrm{剩余}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}}=π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$。
(2) 扇形的弧长为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π\ \mathrm{m}$，
设圆锥底面圆半径为r，根据扇形弧长等于底面圆周长，得$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
解得：$r=\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 剩余部分的面积为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$；
(2) 围成的圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
圆周角定理；扇形弧长与面积计算；圆锥的侧面展开
【点评】
本题是圆相关知识的基础综合题，解题的关键是掌握两个核心等量关系：一是90°圆周角对应直径，二是圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，能很好地考查学生对基础公式的应用能力和图形转化的思维。
【难度系数】
0.7
11. 如图，用原纸制作一个纸杯，其形状是一个圆锥的一部分，这个圆锥的侧面展开图是扇形OAB. 经测量，纸杯上开口圆的直径是6 cm，下底面圆的直径是4 cm，EF=AC=8 cm. 求扇形OAB的圆心角及制作这个纸杯需要多少平方厘米的原纸.(原纸的厚度忽略不计)
答案
11.【解】易求得 $\overset{\frown}{AB}$ 长 6π cm,$\overset{\frown}{CD}$ 长 4π cm.
设$∠AOB=n°$,$AO=R$,则 $CO=R-8$.
根据弧长公式,得$\begin{cases}\frac{nπR}{180}=6π,\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
$\therefore$ 扇形 OAB 的圆心角为 $45°$.
由 $R=24$,得 $R-8=16$.
$\therefore S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π$,
$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π$.
又 $S_{下底面圆}=π×(\frac{4}{2})^2=4π$,
$\therefore 72π-32π+4π=44π$.
$\therefore$ 制作这个纸杯需要 $44π cm^2$ 的原纸.
设$∠AOB=n°$,$AO=R$,则 $CO=R-8$.
根据弧长公式,得$\begin{cases}\frac{nπR}{180}=6π,\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
$\therefore$ 扇形 OAB 的圆心角为 $45°$.
由 $R=24$,得 $R-8=16$.
$\therefore S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π$,
$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π$.
又 $S_{下底面圆}=π×(\frac{4}{2})^2=4π$,
$\therefore 72π-32π+4π=44π$.
$\therefore$ 制作这个纸杯需要 $44π cm^2$ 的原纸.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确纸杯的侧面是圆台，展开图为扇环（大扇形OAB减去小扇形OCD）：①第一步找等量关系：扇形的弧长对应纸杯上下底面的周长，先计算出$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$的长度；②设圆心角为$n°$，大扇形半径OA为R，则小扇形半径$OC=R-AC=R-8$，根据弧长公式列二元一次方程组，求解得到圆心角和半径R；③计算扇环的面积（即纸杯侧面积），再加上纸杯下底面的面积，就是所需原纸的总面积，注意不要遗漏下底面的面积。
【解析】
首先计算弧长：
纸杯上开口圆直径为6cm，故$\overset{\frown}{AB}$的长度=上开口圆周长=$6π$ cm；
纸杯下底面圆直径为4cm，故$\overset{\frown}{CD}$的长度=下底面圆周长=$4π$ cm。
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-AC=R-8\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
消去$π$化简后解得：$\begin{cases}n=45\\R=24\end{cases}$，即扇形OAB的圆心角为$45°$。
接下来计算面积：
$CO=24-8=16\ \mathrm{cm}$，
扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{AB}× R=\frac{1}{2}×6π×24=72π\ \mathrm{cm}^2$，
扇形OCD的面积：$S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{CD}× CO=\frac{1}{2}×4π×16=32π\ \mathrm{cm}^2$，
纸杯侧面积=扇环面积=$72π-32π=40π\ \mathrm{cm}^2$，
纸杯下底面面积：$S_{下底}=π×(\frac{4}{2})^2=4π\ \mathrm{cm}^2$，
所需原纸总面积=$40π+4π=44π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
扇形OAB的圆心角为$45°$，制作这个纸杯需要$44π\ \mathrm{cm}^2$的原纸。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题是几何展开图的实际应用问题，解题核心是抓住立体图形和平面展开图的对应关系：展开图的弧长对应立体图形底面的周长，计算总面积时要注意结合实际，不要遗漏纸杯下底面的面积。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确纸杯的侧面是圆台，展开图为扇环（大扇形OAB减去小扇形OCD）：①第一步找等量关系：扇形的弧长对应纸杯上下底面的周长，先计算出$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$的长度；②设圆心角为$n°$，大扇形半径OA为R，则小扇形半径$OC=R-AC=R-8$，根据弧长公式列二元一次方程组，求解得到圆心角和半径R；③计算扇环的面积（即纸杯侧面积），再加上纸杯下底面的面积，就是所需原纸的总面积，注意不要遗漏下底面的面积。
【解析】
首先计算弧长：
纸杯上开口圆直径为6cm，故$\overset{\frown}{AB}$的长度=上开口圆周长=$6π$ cm；
纸杯下底面圆直径为4cm，故$\overset{\frown}{CD}$的长度=下底面圆周长=$4π$ cm。
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-AC=R-8\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
消去$π$化简后解得：$\begin{cases}n=45\\R=24\end{cases}$，即扇形OAB的圆心角为$45°$。
接下来计算面积：
$CO=24-8=16\ \mathrm{cm}$，
扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{AB}× R=\frac{1}{2}×6π×24=72π\ \mathrm{cm}^2$，
扇形OCD的面积：$S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{CD}× CO=\frac{1}{2}×4π×16=32π\ \mathrm{cm}^2$，
纸杯侧面积=扇环面积=$72π-32π=40π\ \mathrm{cm}^2$，
纸杯下底面面积：$S_{下底}=π×(\frac{4}{2})^2=4π\ \mathrm{cm}^2$，
所需原纸总面积=$40π+4π=44π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
扇形OAB的圆心角为$45°$，制作这个纸杯需要$44π\ \mathrm{cm}^2$的原纸。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题是几何展开图的实际应用问题，解题核心是抓住立体图形和平面展开图的对应关系：展开图的弧长对应立体图形底面的周长，计算总面积时要注意结合实际，不要遗漏纸杯下底面的面积。
【难度系数】
0.6
