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1. 如图,点A,B,C,D都在$\odot O$上,AD是$\odot O$的直径,$OB ⊥ AC$,垂足为E,连接AB,BC,CD.
(1)求证:$AB=BC$.
(2)若$AE=4$,$CD=6$,求BE的长.
(1)求证:$AB=BC$.
(2)若$AE=4$,$CD=6$,求BE的长.
答案
(1) 证明：
∵ $OB⊥AC$，$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理），
∴ $AB=BC$（等弧所对的弦相等）。
(2) 解：
∵ $AD$是$\odot O$的直径，
∴ $O$是$AD$的中点，且$∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $OB⊥AC$，
∴ $E$是$AC$的中点，即$AE=EC=4$，
∴ $OE$是$△ ACD$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+3^2=25$，
解得$r=5$（$r＞0$），
∴ $OB=5$，
∴ $BE=OB-OE=5-3=2$。
最终$BE$的长为$\boldsymbol{2}$。
∵ $OB⊥AC$，$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理），
∴ $AB=BC$（等弧所对的弦相等）。
(2) 解：
∵ $AD$是$\odot O$的直径，
∴ $O$是$AD$的中点，且$∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $OB⊥AC$，
∴ $E$是$AC$的中点，即$AE=EC=4$，
∴ $OE$是$△ ACD$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+3^2=25$，
解得$r=5$（$r＞0$），
∴ $OB=5$，
∴ $BE=OB-OE=5-3=2$。
最终$BE$的长为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明弦$AB=BC$，可通过证明两条弦对应的弧相等推导；已知$OB$是$\odot O$的半径且$OB⊥ AC$，符合垂径定理的适用条件，可推出弧$AB$等于弧$BC$，进而得到对应弦相等。
(2) 求$BE$的长，首先根据$AD$是直径可得直径所对的圆周角$∠ ACD=90°$，结合$OB⊥ AC$可推出$OE$是$△ ACD$的中位线，先求出$OE$的长度；再设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中用勾股定理求出半径，最后用$OB$的长度减去$OE$的长度即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OB⊥AC$，$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理），
∴ $AB=BC$（等弧所对的弦相等）。
(2) 解：
∵ $AD$是$\odot O$的直径，
∴ $O$是$AD$的中点，且$∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $OB⊥AC$，
∴ $E$是$AC$的中点，即$AE=EC=4$，
∴ $OE$是$△ ACD$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+3^2=25$，
解得$r=5$（$r＞0$），
∴ $OB=5$，
∴ $BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=BC$；(2) $BE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，融合了圆的性质与三角形相关知识，解题的核心是熟练掌握垂径定理、直径对应的圆周角特征，灵活运用三角形中位线性质和勾股定理计算，能够锻炼几何逻辑推理和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明弦$AB=BC$，可通过证明两条弦对应的弧相等推导；已知$OB$是$\odot O$的半径且$OB⊥ AC$，符合垂径定理的适用条件，可推出弧$AB$等于弧$BC$，进而得到对应弦相等。
(2) 求$BE$的长，首先根据$AD$是直径可得直径所对的圆周角$∠ ACD=90°$，结合$OB⊥ AC$可推出$OE$是$△ ACD$的中位线，先求出$OE$的长度；再设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中用勾股定理求出半径，最后用$OB$的长度减去$OE$的长度即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OB⊥AC$，$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理），
∴ $AB=BC$（等弧所对的弦相等）。
(2) 解：
∵ $AD$是$\odot O$的直径，
∴ $O$是$AD$的中点，且$∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $OB⊥AC$，
∴ $E$是$AC$的中点，即$AE=EC=4$，
∴ $OE$是$△ ACD$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+3^2=25$，
解得$r=5$（$r＞0$），
∴ $OB=5$，
∴ $BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=BC$；(2) $BE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，融合了圆的性质与三角形相关知识，解题的核心是熟练掌握垂径定理、直径对应的圆周角特征，灵活运用三角形中位线性质和勾股定理计算，能够锻炼几何逻辑推理和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】如图，AD 是$\odot O$的直径，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形. 若$∠ DAC=∠ ABC$，$AC=4$，则$\odot O$的直径$AD=$
【解析】如图，连接$CD$，$OC$.
$\because ∠ DAC=∠ ABC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}$.
$\therefore AC=CD$.
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$.
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore CD=AC=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=4\sqrt{2}$.
【答案】$4\sqrt{2}$
规律方法 看到“直径”，常构造直角三角形，用勾股定理求解；看到“角相等”，常找相等的角所对的弦、弧等，得到相等关系.
$4\sqrt{2}$
.【解析】如图，连接$CD$，$OC$.
$\because ∠ DAC=∠ ABC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}$.
$\therefore AC=CD$.
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$.
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore CD=AC=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=4\sqrt{2}$.
【答案】$4\sqrt{2}$
规律方法 看到“直径”，常构造直角三角形，用勾股定理求解；看到“角相等”，常找相等的角所对的弦、弧等，得到相等关系.
答案
解析：如图，连接$CD$，$OC$。$\because ∠ DAC=∠ ABC$，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}$，$\therefore AC=CD$。$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACD=90°$，$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，$\therefore CD=AC=4$，$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=4\sqrt{2}$。答案：$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件中的直径AD，联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此优先考虑连接CD构造直角三角形；再根据给出的两个圆周角相等，利用“同圆中相等的圆周角所对的弧相等”，推出弧AC和弧DC相等，进一步得到对应的弦AC=CD，确定△ACD为等腰直角三角形，最后结合已知AC的长度，用勾股定理计算直径AD的长度即可。
【解析】
如图，连接$CD$。
$\because ∠ DAC=∠ ABC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}$，
$\therefore AC=CD$。
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=AC=4$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，弧弦角的关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题关键在于熟练掌握直径的性质以及圆周角、弧、弦之间的对应关系，通过合理添加辅助线构造直角三角形即可求解，体现了圆中常见的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件中的直径AD，联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此优先考虑连接CD构造直角三角形；再根据给出的两个圆周角相等，利用“同圆中相等的圆周角所对的弧相等”，推出弧AC和弧DC相等，进一步得到对应的弦AC=CD，确定△ACD为等腰直角三角形，最后结合已知AC的长度，用勾股定理计算直径AD的长度即可。
【解析】
如图，连接$CD$。
$\because ∠ DAC=∠ ABC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}$，
$\therefore AC=CD$。
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=AC=4$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，弧弦角的关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题关键在于熟练掌握直径的性质以及圆周角、弧、弦之间的对应关系，通过合理添加辅助线构造直角三角形即可求解，体现了圆中常见的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
2. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，BD平分∠ABC，$∠ BAC=∠ ADB$.
(1)试说明DB平分$∠ ADC$.
(2)求$∠ BAD$的度数.
(3)如图，过点C作$CF// AD$，交AB的延长线于点F.若$AC=AD$，$BF=2$，求此圆的半径长.
(1)试说明DB平分$∠ ADC$.
(2)求$∠ BAD$的度数.
(3)如图，过点C作$CF// AD$，交AB的延长线于点F.若$AC=AD$，$BF=2$，求此圆的半径长.
答案
解：
(1) 证明：
∵ ∠BAC 和 ∠BDC 都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC，
又∵ ∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠BDC，
即DB平分∠ADC。
(2) 解：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
由(1)知DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
即 $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ BD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$，
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，$BD=BD$，$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$，
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AB = BC$。
∵ $CF // AD$，$∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，即 $∠ F = 90°$。
∵ $AC = AD$，
∴ $∠ ACD = ∠ ADC$，
又∵ $∠ ADC = 2∠ ADB$，$∠ BAC = ∠ ADB$，
在等腰△ACD中，$∠ CAD = 180° - 2∠ ACD = 180° - 4∠ ADB$，
由 $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90°$，代入得：
$∠ ADB + 180° - 4∠ ADB = 90°$，
解得 $∠ ADB = 30°$，
∴ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∵ BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$，
在Rt△FBC中，$∠ F=90°$，$∠ FBC=60°$，
∴ $∠ FCB = 30°$，
∴ $BC = 2BF = 2× 2 = 4$，
∴ $AB = BC = 4$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=30°$，$∠ BAD=90°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为 $\frac{1}{2}BD = 4$。
答：此圆的半径长为4。
(1) 证明：
∵ ∠BAC 和 ∠BDC 都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC，
又∵ ∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠BDC，
即DB平分∠ADC。
(2) 解：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
由(1)知DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
即 $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ BD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$，
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，$BD=BD$，$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$，
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AB = BC$。
∵ $CF // AD$，$∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，即 $∠ F = 90°$。
∵ $AC = AD$，
∴ $∠ ACD = ∠ ADC$，
又∵ $∠ ADC = 2∠ ADB$，$∠ BAC = ∠ ADB$，
在等腰△ACD中，$∠ CAD = 180° - 2∠ ACD = 180° - 4∠ ADB$，
由 $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90°$，代入得：
$∠ ADB + 180° - 4∠ ADB = 90°$，
解得 $∠ ADB = 30°$，
∴ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∵ BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$，
在Rt△FBC中，$∠ F=90°$，$∠ FBC=60°$，
∴ $∠ FCB = 30°$，
∴ $BC = 2BF = 2× 2 = 4$，
∴ $AB = BC = 4$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=30°$，$∠ BAD=90°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为 $\frac{1}{2}BD = 4$。
答：此圆的半径长为4。
解析
【分析】
(1) 要证明DB平分∠ADC，只需证∠ADB=∠BDC，根据圆周角定理可得同弧BC所对的∠BAC=∠BDC，结合已知∠BAC=∠ADB，等量代换即可得证；
(2) 求∠BAD度数时，先利用角平分线性质得到∠ABC=2∠ABD、∠ADC=2∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠ABD+∠ADB=90°，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BAD；
(3) 求圆的半径时，首先由∠BAD=90°可知BD是圆的直径，先证△ABD≌△CBD得AB=BC；再由CF//AD推出∠F=90°，结合AC=AD推导得∠ADB=30°，进而推出∠FBC=60°，在Rt△FBC中利用含30°角的直角三角形性质求出BC长度，再在Rt△ABD中求出直径BD，除以2即可得半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC 和 ∠BDC 都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC，
又
∵ ∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠BDC，
即DB平分∠ADC。
(2) 解：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
由(1)知DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
即 $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ BD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$，
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，$BD=BD$，$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$，
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AB = BC$。
∵ $CF // AD$，$∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，即 $∠ F = 90°$。
∵ $AC = AD$，
∴ $∠ ACD = ∠ ADC$，
又
∵ $∠ ADC = 2∠ ADB$，$∠ BAC = ∠ ADB$，
在等腰△ACD中，$∠ CAD = 180° - 2∠ ACD = 180° - 4∠ ADB$，
由 $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90°$，代入得：
$∠ ADB + 180° - 4∠ ADB = 90°$，
解得 $∠ ADB = 30°$，
∴ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∵ BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$，
在Rt△FBC中，$∠ F=90°$，$∠ FBC=60°$，
∴ $∠ FCB = 30°$，
∴ $BC = 2BF = 2× 2 = 4$，
∴ $AB = BC = 4$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=30°$，$∠ BAD=90°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为 $\frac{1}{2}BD = 4$。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=90°}$；
(3) 此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、全等三角形判定、平行线性质以及特殊直角三角形的边角关系，解题的关键是逐步推导角的等量关系，再结合特殊三角形的性质转化为边的关系，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明DB平分∠ADC，只需证∠ADB=∠BDC，根据圆周角定理可得同弧BC所对的∠BAC=∠BDC，结合已知∠BAC=∠ADB，等量代换即可得证；
(2) 求∠BAD度数时，先利用角平分线性质得到∠ABC=2∠ABD、∠ADC=2∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠ABD+∠ADB=90°，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BAD；
(3) 求圆的半径时，首先由∠BAD=90°可知BD是圆的直径，先证△ABD≌△CBD得AB=BC；再由CF//AD推出∠F=90°，结合AC=AD推导得∠ADB=30°，进而推出∠FBC=60°，在Rt△FBC中利用含30°角的直角三角形性质求出BC长度，再在Rt△ABD中求出直径BD，除以2即可得半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC 和 ∠BDC 都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC，
又
∵ ∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠BDC，
即DB平分∠ADC。
(2) 解：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
由(1)知DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
即 $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ BD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$，
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，$BD=BD$，$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$，
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AB = BC$。
∵ $CF // AD$，$∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，即 $∠ F = 90°$。
∵ $AC = AD$，
∴ $∠ ACD = ∠ ADC$，
又
∵ $∠ ADC = 2∠ ADB$，$∠ BAC = ∠ ADB$，
在等腰△ACD中，$∠ CAD = 180° - 2∠ ACD = 180° - 4∠ ADB$，
由 $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90°$，代入得：
$∠ ADB + 180° - 4∠ ADB = 90°$，
解得 $∠ ADB = 30°$，
∴ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∵ BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$，
在Rt△FBC中，$∠ F=90°$，$∠ FBC=60°$，
∴ $∠ FCB = 30°$，
∴ $BC = 2BF = 2× 2 = 4$，
∴ $AB = BC = 4$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=30°$，$∠ BAD=90°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为 $\frac{1}{2}BD = 4$。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=90°}$；
(3) 此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、全等三角形判定、平行线性质以及特殊直角三角形的边角关系，解题的关键是逐步推导角的等量关系，再结合特殊三角形的性质转化为边的关系，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
