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7.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,以$AB$为直径作$\odot O$,与$AC$相交于点$D$.连接$OC$,与$\odot O$相交于点$E$.若$D$为$AC$的中点,且$AC=6$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
答案
7.【解】如图,连接OD.
$\because AB$是$\odot O$的直径,
$\therefore OA=OB$.
又$AC=BC$,
$\therefore OC⊥ AB$.
$\therefore ∠ AOC=90°$.
又$D$为$AC$的中点,
$\therefore OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
$\therefore OA=OD=AD=3$.
$\therefore△ ADO$为等边三角形.
$\therefore∠ AOD=60°$.
$\therefore∠ DOE=90°-60°=30°$.
$\therefore\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题需分两步：①求圆心角$∠ DOE$的度数；②确定$\odot O$的半径。首先作辅助线连接$OD$构造出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角，利用等腰三角形三线合一的性质可得$OC⊥ AB$，得到$∠ AOC=90°$；再结合直角三角形斜边中线的性质和等边三角形的判定，推出$△ ADO$为等边三角形，得到$∠ AOD=60°$，即可算出$∠ DOE$的度数，最后代入弧长公式求解即可。
【解析】
如图，连接$OD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=OB$。
又$\because AC=BC$，
$\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because D$为$AC$的中点，$AC=6$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又$\because OA$、$OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OD=AD=3$，
$\therefore △ ADO$为等边三角形，
$\therefore ∠ AOD=60°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ AOC-∠ AOD=90°-60°=30°$。
代入弧长公式可得$\overset{\frown}{DE}$的长为：$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$。
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造出弧对应的圆心角，再结合三角形相关性质求出圆心角度数和圆的半径，熟练掌握基础几何性质和弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题需分两步：①求圆心角$∠ DOE$的度数；②确定$\odot O$的半径。首先作辅助线连接$OD$构造出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角，利用等腰三角形三线合一的性质可得$OC⊥ AB$，得到$∠ AOC=90°$；再结合直角三角形斜边中线的性质和等边三角形的判定，推出$△ ADO$为等边三角形，得到$∠ AOD=60°$，即可算出$∠ DOE$的度数，最后代入弧长公式求解即可。
【解析】
如图，连接$OD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=OB$。
又$\because AC=BC$，
$\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because D$为$AC$的中点，$AC=6$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又$\because OA$、$OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OD=AD=3$，
$\therefore △ ADO$为等边三角形，
$\therefore ∠ AOD=60°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ AOC-∠ AOD=90°-60°=30°$。
代入弧长公式可得$\overset{\frown}{DE}$的长为：$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$。【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造出弧对应的圆心角，再结合三角形相关性质求出圆心角度数和圆的半径，熟练掌握基础几何性质和弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图,将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上,且$DE=EF$.若$AD=1$,则弧CF的长为（
A.$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}π}{4}$
C.$\frac{3π}{4}$
D.$\frac{π}{2}$
B
）A.$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}π}{4}$
C.$\frac{3π}{4}$
D.$\frac{π}{2}$
答案
8. B
解析
【分析】
要计算弧CF的长，需用弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，因此需要先确定弧CF对应的圆心角（即旋转角）和半径（即点A到点C的距离）。首先根据矩形和旋转的性质推导边的关系，求出∠DAE的度数得到旋转角，再计算矩形对角线AC的长度作为半径，最后代入公式即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴BC=AD=1，∠D=∠DAB=90°，
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=1，AE=AB，旋转角$ ∠ BAE = ∠ CAF $，AF=AC，
又
∵DE=EF，
∴DE=1，
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，AD=DE=1，
∴$ ∠ DAE=45° $，$ AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $，
∴AB=AE=√2，
∴$ ∠ BAE = 90° - ∠ DAE = 90° -45° =45° $，即旋转角为45°，
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，AC是对角线，
∴$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3} $，即弧CF的半径为√3，
代入弧长公式得弧CF的长：
$ l_{\overset{\frown}{CF}}=\frac{45×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4} $。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，弧长计算
【点评】
本题综合考查了旋转、矩形的性质以及弧长公式的应用，解题关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，找到求弧长所需的圆心角和半径两个核心量。
【难度系数】
0.65
要计算弧CF的长，需用弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，因此需要先确定弧CF对应的圆心角（即旋转角）和半径（即点A到点C的距离）。首先根据矩形和旋转的性质推导边的关系，求出∠DAE的度数得到旋转角，再计算矩形对角线AC的长度作为半径，最后代入公式即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴BC=AD=1，∠D=∠DAB=90°，
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=1，AE=AB，旋转角$ ∠ BAE = ∠ CAF $，AF=AC，
又
∵DE=EF，
∴DE=1，
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，AD=DE=1，
∴$ ∠ DAE=45° $，$ AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $，
∴AB=AE=√2，
∴$ ∠ BAE = 90° - ∠ DAE = 90° -45° =45° $，即旋转角为45°，
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，AC是对角线，
∴$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3} $，即弧CF的半径为√3，
代入弧长公式得弧CF的长：
$ l_{\overset{\frown}{CF}}=\frac{45×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4} $。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，弧长计算
【点评】
本题综合考查了旋转、矩形的性质以及弧长公式的应用，解题关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，找到求弧长所需的圆心角和半径两个核心量。
【难度系数】
0.65
9.如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
（第9题图）
（第10题图）
$\frac{π}{6}$
.（第9题图）
（第10题图）
答案
9. $\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时先结合圆半径相等的性质判断平行四边形OABC的形状：因为OA、OC都是圆的半径，故OA=OC，由此可得平行四边形OABC是菱形，进而推出OA=AB；再结合OB也是圆的半径，可证△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°；接下来观察阴影部分面积，利用平行四边形对边平行的性质可知AB//OC，因此点C和点O到AB的距离相等，即△ABC和△OAB面积相等，可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，OA=BC，且AB//OC，
∵OA、OC、OB均为⊙O的半径，⊙O半径为1，
∴OA=OC=OB=AB=1，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵AB//OC，
∴点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$，
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{弓形AB}=S_{△ OAB}+S_{弓形AB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1得：
$S_{阴影}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是运用转化思想，通过等面积替换将不规则阴影部分的面积转化为规则的扇形面积求解，同时融合了平行四边形、等边三角形的相关性质，解题关键是找到面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
解题时先结合圆半径相等的性质判断平行四边形OABC的形状：因为OA、OC都是圆的半径，故OA=OC，由此可得平行四边形OABC是菱形，进而推出OA=AB；再结合OB也是圆的半径，可证△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°；接下来观察阴影部分面积，利用平行四边形对边平行的性质可知AB//OC，因此点C和点O到AB的距离相等，即△ABC和△OAB面积相等，可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，OA=BC，且AB//OC，
∵OA、OC、OB均为⊙O的半径，⊙O半径为1，
∴OA=OC=OB=AB=1，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵AB//OC，
∴点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$，
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{弓形AB}=S_{△ OAB}+S_{弓形AB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1得：
$S_{阴影}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是运用转化思想，通过等面积替换将不规则阴影部分的面积转化为规则的扇形面积求解，同时融合了平行四边形、等边三角形的相关性质，解题关键是找到面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
10.如图,将扇形OAB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点$O'$处,得到扇形$O'A'B'$.若$∠O=90°,OA=2$,则阴影部分的面积为
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
10. $\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，首先利用平移的性质可知平移前后两个扇形面积相等，因此可以通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差：阴影面积=大扇形面积 -（圆心角为60°的扇形面积 - 直角三角形的面积）。解题时先作辅助线连接弧与O'A'的交点和点O，通过直角三角形的边角关系求出圆心角的度数和直角边长度，再分别计算各规则图形的面积，最后代入转化后的关系式即可得到结果。
【解析】
解：设弧AB与O'A'交于点C，连接OC。
∵ 扇形O'A'B'是扇形OAB沿OB平移得到的，
∴ $S_{扇形O'A'B'}=S_{扇形OAB}$，$O'A'⊥ OB$，$OA=OC=OB=2$。
∵ $O'$是OB的中点，
∴ $OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$Rt△ OO'C$中，$OC=2$，$OO'=1$，
∴ $\cos∠ COO'=\frac{OO'}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COO'=60°$，
$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{扇形OCB}=\frac{60°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{6}×π×4=\frac{2π}{3}$，
$S_{扇形OAB}=\frac{90°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{4}×π×4=π$。
根据面积转化关系：
$S_{阴影}=S_{扇形O'A'B'}-(S_{扇形OCB}-S_{△ OO'C})$，
代入数值计算得：
$S_{阴影}=π-(\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用平移的性质对阴影面积进行割补转化，将不规则图形面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，解题时要注意辅助线的构造和特殊直角三角形边角关系的应用。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，首先利用平移的性质可知平移前后两个扇形面积相等，因此可以通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差：阴影面积=大扇形面积 -（圆心角为60°的扇形面积 - 直角三角形的面积）。解题时先作辅助线连接弧与O'A'的交点和点O，通过直角三角形的边角关系求出圆心角的度数和直角边长度，再分别计算各规则图形的面积，最后代入转化后的关系式即可得到结果。
【解析】
解：设弧AB与O'A'交于点C，连接OC。
∵ 扇形O'A'B'是扇形OAB沿OB平移得到的，
∴ $S_{扇形O'A'B'}=S_{扇形OAB}$，$O'A'⊥ OB$，$OA=OC=OB=2$。
∵ $O'$是OB的中点，
∴ $OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$Rt△ OO'C$中，$OC=2$，$OO'=1$，
∴ $\cos∠ COO'=\frac{OO'}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COO'=60°$，
$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{扇形OCB}=\frac{60°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{6}×π×4=\frac{2π}{3}$，
$S_{扇形OAB}=\frac{90°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{4}×π×4=π$。
根据面积转化关系：
$S_{阴影}=S_{扇形O'A'B'}-(S_{扇形OCB}-S_{△ OO'C})$，
代入数值计算得：
$S_{阴影}=π-(\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用平移的性质对阴影面积进行割补转化，将不规则图形面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，解题时要注意辅助线的构造和特殊直角三角形边角关系的应用。
【难度系数】
0.6
11.如图,点C,D都在$\odot O$上,AB为直径,$∠ CAB = ∠ DBA$,连接BC,CD.若AB=4,$∠ ACD=30°$,求阴影部分的面积.
答案
11.【解】如图,连接OD,过点D作$DE⊥ AB$,垂足为E.
$\because AB$为$\odot O$的直径,$AB=4$,
$\therefore\odot O$的半径为2.
$\because∠ ACD=30°$,
$\therefore∠ AOD=60°$.
$\therefore∠ BOD=180°-∠ AOD=120°$.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4}{3}π$.
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$OD=2$,$∠ ODE=90°-∠ DOE=30°$.
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=1$.
根据勾股定理,得$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
又$OB=2$,
$\therefore S_{△ BOD}=\frac{1}{2}OB· DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ BOD}=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$.
$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差求解。首先由已知条件∠CAB=∠DBA可推出CD//AB，因此△ACD和△BCD同底等高，面积相等，抵消公共重叠部分后，阴影部分的面积可转化为扇形OBD的面积减去△BOD的面积。接下来先根据直径长度求出圆的半径，结合圆周角定理求出圆心角∠BOD的度数，计算扇形OBD的面积；再作高求出△BOD的面积，两者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
如图，连接OD，过点D作$DE⊥ AB$，垂足为E。
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径为2。
∵同弧AD所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ACD=30°$，
∴$∠ AOD=2∠ACD=60°$，
∴$∠ BOD=180°-∠ AOD=120°$。
扇形OBD的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4}{3}π$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OD=2$，$∠ ODE=90°-∠ DOE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OD=1$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
又$OB=2$，
∴$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×OB×DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ BOD}=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分的面积为$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是圆中阴影面积求解的典型题型，解题核心是利用平行线的性质完成不规则图形到规则图形的转化，需要熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差求解。首先由已知条件∠CAB=∠DBA可推出CD//AB，因此△ACD和△BCD同底等高，面积相等，抵消公共重叠部分后，阴影部分的面积可转化为扇形OBD的面积减去△BOD的面积。接下来先根据直径长度求出圆的半径，结合圆周角定理求出圆心角∠BOD的度数，计算扇形OBD的面积；再作高求出△BOD的面积，两者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
如图，连接OD，过点D作$DE⊥ AB$，垂足为E。
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径为2。
∵同弧AD所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ACD=30°$，
∴$∠ AOD=2∠ACD=60°$，
∴$∠ BOD=180°-∠ AOD=120°$。
扇形OBD的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4}{3}π$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OD=2$，$∠ ODE=90°-∠ DOE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OD=1$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
又$OB=2$，
∴$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×OB×DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ BOD}=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分的面积为$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是圆中阴影面积求解的典型题型，解题核心是利用平行线的性质完成不规则图形到规则图形的转化，需要熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
12.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,O是对角线AC的中点,以点O为圆心,OA的长为半径作圆心角为60°的$\overset{\frown}{EF}$,连接OE,OF得扇形OEF,点D在扇形OEF内,则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
.答案
12. $\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$ 【解析】如图,连接OD,将OD绕点O顺时针旋转$60°$得到$OD'$,设OF与AD交于点M,OE与CD交于点N.
$\because$在菱形ABCD中,$∠ B=120°$,
$\therefore∠ ADC=120°$,$DO$平分$∠ ADC$.
$\therefore∠ ODC=60°$.
$\because OD'$是由$OD$绕点$O$顺时针旋转$60°$得到的,
$\therefore OD'=OD$,$∠ DOD'=60°$.
$\therefore△ ODD'$是等边三角形.
$\therefore∠ ODD'=60°$.
$\therefore$点$D'$落在$CD$上.
$\because∠ MOD+∠ DON=60°=∠ NOD'+∠ DON$,
$\therefore∠ MOD=∠ NOD'$.
$\because DO$平分$∠ ADC$,$∠ ADC=120°$,
$\therefore∠ MDO=∠ CDO=\frac{1}{2}∠ ADC=60°$.
$\because△ ODD'$是等边三角形,
$\therefore∠ DD'O=60°$.
$\therefore∠ DD'O=∠ MDO=60°$.
又$OD=OD'$,
$\therefore△ MDO≌△ ND'O(\mathrm{ASA})$.
$\therefore S_{\mathrm{四边形}MDNO}=S_{△ DD'O}$.
$\because O$是菱形ABCD的对角线AC的中点,
$\therefore DO⊥ AC$.
又$∠ CDO=60°$,
$\therefore∠ OCD=30°$.
$\therefore DO=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=1$.
$\therefore OA=CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
易得$D'$是$CD$的中点.
$\therefore S_{△ DD'O}=\frac{1}{2}S_{△ COD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}CO· DO=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OEF}-S_{\mathrm{四边形}MDNO}=S_{\mathrm{扇形}OEF}-S_{△ DD'O}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积为扇形OEF的面积减去扇形与菱形重叠的四边形MDNO的面积，按以下思路推导：第一步，先利用菱形的性质求出对角线AC的长度，得到扇形的半径OA；第二步，通过旋转构造全等三角形，将不规则的四边形面积转化为可求的规则三角形面积；第三步，分别计算扇形面积和转化后的三角形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转$60°$得到$OD'$，设OF与AD交于点M，OE与CD交于点N。
$\because$在菱形ABCD中，$∠ B=120°$，
$\therefore∠ ADC=∠ B=120°$，菱形对角线平分内角，$DO$平分$∠ ADC$，
$\therefore∠ ODC=∠ ODA=\frac{1}{2}∠ADC=60°$。
$\because OD'$是由$OD$绕点$O$顺时针旋转$60°$得到的，
$\therefore OD'=OD$，$∠ DOD'=60°$，
$\therefore△ ODD'$是等边三角形，
$\therefore∠ OD'D=60°$，点$D'$落在$CD$上。
$\because∠ MOD+∠ DON=∠ EOF=60°$，$∠ NOD'+∠ DON=∠ DOD'=60°$，
$\therefore∠ MOD=∠ NOD'$。
在$△ MDO$和$△ ND'O$中：
$\{\begin{array}{l}∠ MDO=∠ ND'O=60° \\OD=OD' \\∠ MOD=∠ NOD'\end{array} $
$\therefore△ MDO≌△ ND'O(\mathrm{ASA})$，
$\therefore S_{△ MDO}=S_{△ ND'O}$，即$S_{\mathrm{四边形}MDNO}=S_{△ ODD'}$。
$\because O$是菱形ABCD对角线AC的中点，
$\therefore DO⊥ AC$，$CD=AB=2$，
在$Rt△ COD$中，$∠ OCD=90°-∠ ODC=30°$，
$\therefore DO=\frac{1}{2}CD=1$，
由勾股定理得：$OA=CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，即扇形半径为$\sqrt{3}$。
$\because△ ODD'$是等边三角形，$DD'=OD=1=\frac{1}{2}CD$，故$D'$是$CD$的中点，
$\therefore S_{△ ODD'}=\frac{1}{2}S_{△ COD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×CO×DO=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
扇形OEF的面积：$S_{\mathrm{扇形}OEF}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OEF}-S_{\mathrm{四边形}MDNO}=\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用旋转构造全等三角形，将不规则的四边形面积转化为规则三角形面积，简化了不规则图形面积的计算过程，突出了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.5
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积为扇形OEF的面积减去扇形与菱形重叠的四边形MDNO的面积，按以下思路推导：第一步，先利用菱形的性质求出对角线AC的长度，得到扇形的半径OA；第二步，通过旋转构造全等三角形，将不规则的四边形面积转化为可求的规则三角形面积；第三步，分别计算扇形面积和转化后的三角形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转$60°$得到$OD'$，设OF与AD交于点M，OE与CD交于点N。
$\because$在菱形ABCD中，$∠ B=120°$，
$\therefore∠ ADC=∠ B=120°$，菱形对角线平分内角，$DO$平分$∠ ADC$，
$\therefore∠ ODC=∠ ODA=\frac{1}{2}∠ADC=60°$。
$\because OD'$是由$OD$绕点$O$顺时针旋转$60°$得到的，
$\therefore OD'=OD$，$∠ DOD'=60°$，
$\therefore△ ODD'$是等边三角形，
$\therefore∠ OD'D=60°$，点$D'$落在$CD$上。
$\because∠ MOD+∠ DON=∠ EOF=60°$，$∠ NOD'+∠ DON=∠ DOD'=60°$，
$\therefore∠ MOD=∠ NOD'$。
在$△ MDO$和$△ ND'O$中：
$\{\begin{array}{l}∠ MDO=∠ ND'O=60° \\OD=OD' \\∠ MOD=∠ NOD'\end{array} $
$\therefore△ MDO≌△ ND'O(\mathrm{ASA})$，
$\therefore S_{△ MDO}=S_{△ ND'O}$，即$S_{\mathrm{四边形}MDNO}=S_{△ ODD'}$。
$\because O$是菱形ABCD对角线AC的中点，
$\therefore DO⊥ AC$，$CD=AB=2$，
在$Rt△ COD$中，$∠ OCD=90°-∠ ODC=30°$，
$\therefore DO=\frac{1}{2}CD=1$，
由勾股定理得：$OA=CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，即扇形半径为$\sqrt{3}$。
$\because△ ODD'$是等边三角形，$DD'=OD=1=\frac{1}{2}CD$，故$D'$是$CD$的中点，
$\therefore S_{△ ODD'}=\frac{1}{2}S_{△ COD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×CO×DO=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
扇形OEF的面积：$S_{\mathrm{扇形}OEF}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OEF}-S_{\mathrm{四边形}MDNO}=\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用旋转构造全等三角形，将不规则的四边形面积转化为规则三角形面积，简化了不规则图形面积的计算过程，突出了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.5
