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【典型例题2】如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ABC=40°$,连接$OA,OC$.若$\odot O$的半径为3,则扇形OAC(阴影部分)的面积为 (
A. $\frac{2}{3}π$ B. $π$ C. $\frac{4}{3}π$ D. $2π$
【解析】$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
D
)A. $\frac{2}{3}π$ B. $π$ C. $\frac{4}{3}π$ D. $2π$
【解析】$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
答案
【解析】$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
解析
【分析】
要求扇形OAC的面积，需先明确扇形面积计算公式：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。已知⊙O半径为3，因此只需先求出圆心角∠AOC的度数即可解题。观察图形可得，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
∵ ∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC=40°，
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
又
∵ ⊙O的半径$r=3$，将$n=80°$，$r=3$代入扇形面积公式：
$S_{扇形OAC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{80π×3^2}{360}=2π$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理与扇形面积公式的综合应用，解题的关键是利用圆周角定理求出扇形对应的圆心角度数，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求扇形OAC的面积，需先明确扇形面积计算公式：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。已知⊙O半径为3，因此只需先求出圆心角∠AOC的度数即可解题。观察图形可得，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
∵ ∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC=40°，
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
又
∵ ⊙O的半径$r=3$，将$n=80°$，$r=3$代入扇形面积公式：
$S_{扇形OAC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{80π×3^2}{360}=2π$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理与扇形面积公式的综合应用，解题的关键是利用圆周角定理求出扇形对应的圆心角度数，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.半径为4，圆心角为$90°$的扇形的面积为
4π
。答案
3. 4π
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的已知条件：扇形的半径R=4，圆心角n=90°，我们需要求扇形的面积。首先回忆扇形面积和圆心角、半径相关的计算公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中n为圆心角度数，R为扇形半径，接下来直接将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
扇形面积计算公式为：$\displaystyle S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$是圆心角度数，$R$是扇形半径）
已知$n=90°$，$R=4$，代入公式得：
$\displaystyle S=\frac{90×π×4^2}{360}=\frac{90×π×16}{360}=4π$
【答案】
4π
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对扇形面积公式的直接应用，只要准确记忆公式，代入数值时认真计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的已知条件：扇形的半径R=4，圆心角n=90°，我们需要求扇形的面积。首先回忆扇形面积和圆心角、半径相关的计算公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中n为圆心角度数，R为扇形半径，接下来直接将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
扇形面积计算公式为：$\displaystyle S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$是圆心角度数，$R$是扇形半径）
已知$n=90°$，$R=4$，代入公式得：
$\displaystyle S=\frac{90×π×4^2}{360}=\frac{90×π×16}{360}=4π$
【答案】
4π
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对扇形面积公式的直接应用，只要准确记忆公式，代入数值时认真计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
1. 在$\odot O$中，如果$75°$的圆心角所对的弧长是$\frac{10}{3}π$ cm，那么$\odot O$的半径长是（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
B
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确题中给出的已知量：圆心角n=75°，弧长l=$\frac{10}{3}π$ cm，未知量是半径r；接下来将弧长公式变形为求半径的形式，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。
将$l=\frac{10}{3}π$ cm，$n=75°$代入公式，可得：
$\frac{75π r}{180}=\frac{10}{3}π$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{5r}{12}=\frac{10}{3}$
解得：
$r=\frac{10}{3}×\frac{12}{5}=8$（cm）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式应用；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对弧长公式的记忆与运用，计算难度低，只要准确掌握弧长公式，代入数值时细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确题中给出的已知量：圆心角n=75°，弧长l=$\frac{10}{3}π$ cm，未知量是半径r；接下来将弧长公式变形为求半径的形式，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。
将$l=\frac{10}{3}π$ cm，$n=75°$代入公式，可得：
$\frac{75π r}{180}=\frac{10}{3}π$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{5r}{12}=\frac{10}{3}$
解得：
$r=\frac{10}{3}×\frac{12}{5}=8$（cm）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式应用；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对弧长公式的记忆与运用，计算难度低，只要准确掌握弧长公式，代入数值时细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在矩形ABCD中,分别以点A和点C为圆心,AD的长为半径作弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中两块阴影部分的面积和为 (
A.$32 - 8π$
B.$16\sqrt{3} - 4π$
C.$32 - 4π$
D.$16\sqrt{3} - 8π$
(第2题图)
(第3题图)
D
)A.$32 - 8π$
B.$16\sqrt{3} - 4π$
C.$32 - 4π$
D.$16\sqrt{3} - 8π$
(第2题图)
(第3题图)
答案
2. D
解析
【分析】
首先根据两弧仅有一个公共点，判断以A、C为圆心的两个圆外切，得到圆心距AC的长度；再利用矩形的性质和勾股定理求出矩形的长；最后明确阴影部分面积等于矩形面积减去两个扇形的面积之和，两个扇形圆心角之和为180°，可合并计算扇形面积，代入数值即可求得结果。
【解析】
解：
∵分别以A、C为圆心，AD长为半径的两弧有且仅有一个公共点，且AD=4，
∴两圆外切，圆心距AC=4+4=8。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=4，∠DAB=∠BCD=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理可得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积$S_{矩形}=AD× CD=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
两个扇形的圆心角之和为$90°+90°=180°$，半径均为4，
∴两个扇形的面积和$S_{扇形和}=\frac{180°}{360°}×π×4^2=8π$。
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{矩形}-S_{扇形和}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
D
【知识点】
圆与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题关键是先通过两弧的位置关系确定矩形对角线的长度，再用割补法将阴影部分面积转化为矩形与两个扇形的面积差，注意两个扇形圆心角和为180°，可直接合并为半圆计算，简化运算过程。
【难度系数】
0.6
首先根据两弧仅有一个公共点，判断以A、C为圆心的两个圆外切，得到圆心距AC的长度；再利用矩形的性质和勾股定理求出矩形的长；最后明确阴影部分面积等于矩形面积减去两个扇形的面积之和，两个扇形圆心角之和为180°，可合并计算扇形面积，代入数值即可求得结果。
【解析】
解：
∵分别以A、C为圆心，AD长为半径的两弧有且仅有一个公共点，且AD=4，
∴两圆外切，圆心距AC=4+4=8。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=4，∠DAB=∠BCD=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理可得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积$S_{矩形}=AD× CD=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
两个扇形的圆心角之和为$90°+90°=180°$，半径均为4，
∴两个扇形的面积和$S_{扇形和}=\frac{180°}{360°}×π×4^2=8π$。
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{矩形}-S_{扇形和}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
D
【知识点】
圆与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题关键是先通过两弧的位置关系确定矩形对角线的长度，再用割补法将阴影部分面积转化为矩形与两个扇形的面积差，注意两个扇形圆心角和为180°，可直接合并为半圆计算，简化运算过程。
【难度系数】
0.6
3.如图,等边三角形ABC的边长为1,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧,三段圆弧所围成的封闭图形的周长为（
A.$π$
B.$\dfrac{3π}{2}$
C.$2π$
D.$3π$
A
）A.$π$
B.$\dfrac{3π}{2}$
C.$2π$
D.$3π$
答案
3. A
解析
【分析】
要计算三段圆弧围成的封闭图形的周长，首先明确周长是三段圆弧长度之和。结合等边三角形的性质，可得到每段圆弧的圆心角为60°，圆弧的半径等于等边三角形的边长1，再利用弧长公式计算单段弧长，最后乘3即可得到总周长。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，边长为1
∴△ABC的每个内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=1$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
∵封闭图形的周长由3段等长的圆弧组成
∴总周长$C=3× l_1=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
A
【知识点】
弧长公式，等边三角形的性质，周长的计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是准确找到每段弧的圆心角和半径，熟练掌握弧长计算公式即可快速求解，注意不要混淆弧长和扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
要计算三段圆弧围成的封闭图形的周长，首先明确周长是三段圆弧长度之和。结合等边三角形的性质，可得到每段圆弧的圆心角为60°，圆弧的半径等于等边三角形的边长1，再利用弧长公式计算单段弧长，最后乘3即可得到总周长。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，边长为1
∴△ABC的每个内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=1$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
∵封闭图形的周长由3段等长的圆弧组成
∴总周长$C=3× l_1=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
A
【知识点】
弧长公式，等边三角形的性质，周长的计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是准确找到每段弧的圆心角和半径，熟练掌握弧长计算公式即可快速求解，注意不要混淆弧长和扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
4.如果一个扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，那么这个扇形的圆心角的度数是
$240°$
。答案
4. $240°$
解析
【分析】
首先回忆扇形和圆的面积关系：同一个圆中，扇形半径和圆的半径相等，扇形面积公式为$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积为$S_{圆}=π r^2$，二者的比值恰好等于扇形圆心角$n$与周角$360°$的比值。本题已知扇形面积是所在圆面积的$\frac{2}{3}$，因此直接用周角乘以这个占比即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$n°$，所在圆的半径为$r$。
圆的面积为$π r^2$，扇形的面积为$\frac{nπ r^2}{360}$。
根据题意列等式：
$\frac{nπ r^2}{360} = \frac{2}{3} × π r^2$
等式两边同时约去$π r^2$，可得：
$\frac{n}{360} = \frac{2}{3}$
解得：$n = 360 × \frac{2}{3} = 240$
即这个扇形的圆心角为$240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
1.扇形面积公式 2.扇形与圆的面积占比关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同圆中扇形面积占圆面积的比例和其圆心角占周角比例的对应关系，计算量小，只要掌握两者的比例对应规律，牢记周角为$360°$即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先回忆扇形和圆的面积关系：同一个圆中，扇形半径和圆的半径相等，扇形面积公式为$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积为$S_{圆}=π r^2$，二者的比值恰好等于扇形圆心角$n$与周角$360°$的比值。本题已知扇形面积是所在圆面积的$\frac{2}{3}$，因此直接用周角乘以这个占比即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$n°$，所在圆的半径为$r$。
圆的面积为$π r^2$，扇形的面积为$\frac{nπ r^2}{360}$。
根据题意列等式：
$\frac{nπ r^2}{360} = \frac{2}{3} × π r^2$
等式两边同时约去$π r^2$，可得：
$\frac{n}{360} = \frac{2}{3}$
解得：$n = 360 × \frac{2}{3} = 240$
即这个扇形的圆心角为$240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
1.扇形面积公式 2.扇形与圆的面积占比关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同圆中扇形面积占圆面积的比例和其圆心角占周角比例的对应关系，计算量小，只要掌握两者的比例对应规律，牢记周角为$360°$即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$∠ BAC=45°$.若$\odot O$的半径为2，则$\overset{\frown}{BC}$的长为
(第5题图)
(第6题图)
$π$
.(第5题图)
(第6题图)
答案
5. $π$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径为2，因此只需先求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC=45°$，可先求出对应圆心角，再代入弧长公式就能得到结果。
【解析】
1. 连接$OB$、$OC$
∵$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
2. 已知$\odot O$的半径$R=2$，代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题为基础题型，解题关键是先利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径为2，因此只需先求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC=45°$，可先求出对应圆心角，再代入弧长公式就能得到结果。
【解析】
1. 连接$OB$、$OC$
∵$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
2. 已知$\odot O$的半径$R=2$，代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题为基础题型，解题关键是先利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且∠O=100°.若OA=12 cm，OB=6 cm，则阴影部分的面积是
$30π$
cm².答案
6. $30π$
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分为两个同圆心、同圆心角的扇形的面积差（即扇环面积），解题时可先回忆扇形面积公式：$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径）。我们的思路是分别计算大扇形OAD和小扇形OBC的面积，再用大扇形面积减去小扇形面积，即可得到阴影部分面积，也可以直接提取公因式简化计算。
【解析】
解：阴影部分的面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积，已知圆心角$∠ O=100°$，OA=12cm，OB=6cm，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形OAD}-S_{扇形OBC}\\&=\frac{100π × 12^2}{360}-\frac{100π × 6^2}{360}\\&=\frac{100π}{360}×(144-36)\\&=\frac{100π}{360}×108\\&=30π \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$30π$
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 不规则图形面积求解
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是识别出阴影部分是两个扇形的面积差，熟练运用扇形面积公式代入数值计算即可，计算时提取公因式可简化运算过程。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，阴影部分为两个同圆心、同圆心角的扇形的面积差（即扇环面积），解题时可先回忆扇形面积公式：$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径）。我们的思路是分别计算大扇形OAD和小扇形OBC的面积，再用大扇形面积减去小扇形面积，即可得到阴影部分面积，也可以直接提取公因式简化计算。
【解析】
解：阴影部分的面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积，已知圆心角$∠ O=100°$，OA=12cm，OB=6cm，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形OAD}-S_{扇形OBC}\\&=\frac{100π × 12^2}{360}-\frac{100π × 6^2}{360}\\&=\frac{100π}{360}×(144-36)\\&=\frac{100π}{360}×108\\&=30π \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$30π$
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 不规则图形面积求解
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是识别出阴影部分是两个扇形的面积差，熟练运用扇形面积公式代入数值计算即可，计算时提取公因式可简化运算过程。
【难度系数】
0.8
