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基础知识·预习
问题1 如何计算圆的周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？$n°$的圆心角所对的弧长是多少？
问题2 如何计算圆的面积？圆的面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
问题3 求不规则图形的面积的常用方法有哪些？
问题1 如何计算圆的周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？$n°$的圆心角所对的弧长是多少？
问题2 如何计算圆的面积？圆的面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
问题3 求不规则图形的面积的常用方法有哪些？
答案
1. 圆的周长计算公式为$C=2π R$（R为圆的半径），圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长，$n°$的圆心角所对的弧长是$l=\frac{nπ R}{180}$。
2. 圆的面积计算公式为$S=π R^2$（R为圆的半径），圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积，圆心角为$n°$的扇形的面积是$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
3. 求不规则图形的面积常用方法有和差法、割补法、等积变换法等，通过转化思想将不规则图形转化为可计算面积的规则图形来求解。
2. 圆的面积计算公式为$S=π R^2$（R为圆的半径），圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积，圆心角为$n°$的扇形的面积是$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
3. 求不规则图形的面积常用方法有和差法、割补法、等积变换法等，通过转化思想将不规则图形转化为可计算面积的规则图形来求解。
解析
【分析】
这三个问题属于圆相关的基础概念推导类问题，解题思路如下：
1. 弧长相关问题：先回忆圆的周长基本公式，周角度数为360°，因此圆的周长就是360°圆心角对应的弧长；n°圆心角对应的弧长占圆周长的比例为$\frac{n}{360}$，用该比例乘圆的周长即可化简得到n°圆心角对应的弧长公式。
2. 扇形面积相关问题：先回忆圆的面积基本公式，整个圆可看作圆心角为360°的特殊扇形，n°圆心角的扇形面积占圆面积的比例为$\frac{n}{360}$，用该比例乘圆的面积即可得到n°圆心角对应的扇形面积公式。
3. 不规则图形面积问题：核心思路是转化，将无法直接计算面积的不规则图形转化为可直接计算的规则图形，据此梳理常用的转化方法即可。
【解析】
我们逐个解答三个问题：
问题1：
①圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径）；
②周角为360°，因此圆的周长是360°圆心角所对的弧长；
③$n°$圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，代入周长公式化简得弧长$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2：
①圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）；
②整个圆可看作圆心角为360°的扇形，因此圆的面积是360°圆心角对应的扇形面积；
③$n°$圆心角的扇形面积占圆面积的$\frac{n}{360}$，代入面积公式得$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
问题3：
求不规则图形面积的核心是利用转化思想，将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形，常用方法有和差法、割补法、等积变换法等。
【答案】
1. 圆的周长计算公式为$C=2π R$（R为圆的半径），圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长，$n°$的圆心角所对的弧长是$l=\frac{nπ R}{180}$。
2. 圆的面积计算公式为$S=π R^2$（R为圆的半径），圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积，圆心角为$n°$的扇形的面积是$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
3. 求不规则图形的面积常用方法有和差法、割补法、等积变换法等，通过转化思想将不规则图形转化为可计算面积的规则图形来求解。
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查弧长、扇形面积的推导逻辑和不规则图形面积的计算思路，熟记相关公式、理解转化思想是解决此类问题的关键，也为后续求解复杂的圆相关图形计算问题奠定基础。
【难度系数】
0.9
这三个问题属于圆相关的基础概念推导类问题，解题思路如下：
1. 弧长相关问题：先回忆圆的周长基本公式，周角度数为360°，因此圆的周长就是360°圆心角对应的弧长；n°圆心角对应的弧长占圆周长的比例为$\frac{n}{360}$，用该比例乘圆的周长即可化简得到n°圆心角对应的弧长公式。
2. 扇形面积相关问题：先回忆圆的面积基本公式，整个圆可看作圆心角为360°的特殊扇形，n°圆心角的扇形面积占圆面积的比例为$\frac{n}{360}$，用该比例乘圆的面积即可得到n°圆心角对应的扇形面积公式。
3. 不规则图形面积问题：核心思路是转化，将无法直接计算面积的不规则图形转化为可直接计算的规则图形，据此梳理常用的转化方法即可。
【解析】
我们逐个解答三个问题：
问题1：
①圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径）；
②周角为360°，因此圆的周长是360°圆心角所对的弧长；
③$n°$圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，代入周长公式化简得弧长$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2：
①圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）；
②整个圆可看作圆心角为360°的扇形，因此圆的面积是360°圆心角对应的扇形面积；
③$n°$圆心角的扇形面积占圆面积的$\frac{n}{360}$，代入面积公式得$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
问题3：
求不规则图形面积的核心是利用转化思想，将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形，常用方法有和差法、割补法、等积变换法等。
【答案】
1. 圆的周长计算公式为$C=2π R$（R为圆的半径），圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长，$n°$的圆心角所对的弧长是$l=\frac{nπ R}{180}$。
2. 圆的面积计算公式为$S=π R^2$（R为圆的半径），圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积，圆心角为$n°$的扇形的面积是$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
3. 求不规则图形的面积常用方法有和差法、割补法、等积变换法等，通过转化思想将不规则图形转化为可计算面积的规则图形来求解。
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查弧长、扇形面积的推导逻辑和不规则图形面积的计算思路，熟记相关公式、理解转化思想是解决此类问题的关键，也为后续求解复杂的圆相关图形计算问题奠定基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为$90°$，则这条弧的长为（
A. $2π$
B. $3π$
C. $4π$
D. $6π$
【解析】$l=\frac{90π×6}{180}=3π$.故选B.
【答案】B
B
）A. $2π$
B. $3π$
C. $4π$
D. $6π$
【解析】$l=\frac{90π×6}{180}=3π$.故选B.
【答案】B
答案
【解析】$l=\frac{90π×6}{180}=3π$.故选B.
【答案】B
【答案】B
解析
【分析】
本题要求计算圆弧的长度，解题首先要回忆弧长的计算公式。解题思路如下：第一步先从题干中提取计算需要的已知量：圆心角的度数$n=90°$，圆弧所在圆的半径$r=6$；第二步将已知量代入弧长公式进行计算，即可得到弧长结果，对应选出正确选项即可。
【解析】
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。
将$n=90$，$r=6$代入公式可得：
$ l=\frac{90π × 6}{180}=3π $
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题的关键是准确记忆弧长公式，代入数值计算时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式的分母，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题要求计算圆弧的长度，解题首先要回忆弧长的计算公式。解题思路如下：第一步先从题干中提取计算需要的已知量：圆心角的度数$n=90°$，圆弧所在圆的半径$r=6$；第二步将已知量代入弧长公式进行计算，即可得到弧长结果，对应选出正确选项即可。
【解析】
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。
将$n=90$，$r=6$代入公式可得：
$ l=\frac{90π × 6}{180}=3π $
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题的关键是准确记忆弧长公式，代入数值计算时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式的分母，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
1. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形.若该扇形的半径为 2，弧长为$\frac{4}{3}π$，则该扇形的圆心角的度数为 （
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
D
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆扇形的弧长计算公式，已知扇形的弧长和半径，要求圆心角度数，只需将已知的弧长、半径代入弧长公式，建立关于圆心角度数的一元一次方程，求解方程即可得到圆心角的度数，再匹配对应选项。
【解析】
设该扇形的圆心角的度数为$n°$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$r$为半径）：
已知$l=\frac{4}{3}π$，$r=2$，代入公式得：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ × 2}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{4}{3}=\frac{2n}{180}$
交叉相乘解得：
$2n = 180×\frac{4}{3}=240$
$n=120$
即圆心角为$120°$。
【答案】
D
【知识点】
1. 弧长公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确记忆公式，代入数值计算时细心即可得分，是扇形相关计算中的常规考查题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆扇形的弧长计算公式，已知扇形的弧长和半径，要求圆心角度数，只需将已知的弧长、半径代入弧长公式，建立关于圆心角度数的一元一次方程，求解方程即可得到圆心角的度数，再匹配对应选项。
【解析】
设该扇形的圆心角的度数为$n°$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$r$为半径）：
已知$l=\frac{4}{3}π$，$r=2$，代入公式得：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ × 2}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{4}{3}=\frac{2n}{180}$
交叉相乘解得：
$2n = 180×\frac{4}{3}=240$
$n=120$
即圆心角为$120°$。
【答案】
D
【知识点】
1. 弧长公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确记忆公式，代入数值计算时细心即可得分，是扇形相关计算中的常规考查题目。
【难度系数】
0.8
2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OA，OC. 若$\odot O$的半径为3，$∠ B=120°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为
2π
。答案
2. 2π
解析
【分析】
首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠B求出∠D的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到弧AC所对的圆心角∠AOC的度数；最后代入弧长公式，结合已知的圆半径，即可计算出$\overset{\frown}{AC}$的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ D + ∠ B = 180°$
已知$∠ B=120°$，则$∠ D = 180° - 120° = 60°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，$∠ D$是弧AC所对的圆周角：
$∠ AOC = 2∠ D = 2×60° = 120°$
已知$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{120π×3}{180}=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆内接四边形性质和圆周角定理求出对应弧的圆心角度数，再代入弧长公式计算，解题的关键是熟练掌握相关基础定理。
【难度系数】
0.7
首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠B求出∠D的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到弧AC所对的圆心角∠AOC的度数；最后代入弧长公式，结合已知的圆半径，即可计算出$\overset{\frown}{AC}$的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ D + ∠ B = 180°$
已知$∠ B=120°$，则$∠ D = 180° - 120° = 60°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，$∠ D$是弧AC所对的圆周角：
$∠ AOC = 2∠ D = 2×60° = 120°$
已知$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{120π×3}{180}=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆内接四边形性质和圆周角定理求出对应弧的圆心角度数，再代入弧长公式计算，解题的关键是熟练掌握相关基础定理。
【难度系数】
0.7
