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基础知识·预习
问题1 在平面直角坐标系中，求有顶点在反比例函数图象上的几何图形的面积的方法有哪些？
问题2 你能类比求两个一次函数图象公共点坐标的方法找出一次函数与反比例函数图象的公共点坐标吗？
问题3 你能利用数形结合思想直接得出不等式的解集或方程的解吗？
问题1 在平面直角坐标系中，求有顶点在反比例函数图象上的几何图形的面积的方法有哪些？
问题2 你能类比求两个一次函数图象公共点坐标的方法找出一次函数与反比例函数图象的公共点坐标吗？
问题3 你能利用数形结合思想直接得出不等式的解集或方程的解吗？
答案
解：
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
解析
【分析】
这三个问题是反比例函数综合应用的基础核心问题，解题思路梳理如下：1. 针对反比例图象上几何图形的面积问题，可结合常规面积计算方法和反比例独有的性质思考，既可以通过割补转化为规则图形算面积和差，也可以利用k的几何意义简化计算，还可以先求顶点坐标再代入面积公式计算；2. 针对函数公共点问题，类比一次函数交点的求解逻辑，公共点同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式解方程组即可得到交点坐标；3. 针对方程解或不等式解集问题，运用数形结合思想，将代数的相等、大小关系转化为函数图象的交点、上下位置关系，观察图象就能直接得到对应自变量的取值。
【解析】
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
【答案】
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 函数图象交点求解
3. 数形结合解不等式（方程）
【点评】
这三个问题对应的方法是解决反比例相关综合题的核心工具，属于该模块必须掌握的基础内容，熟练运用这些方法能有效提升反比例综合题型的解题效率，学习时可结合具体习题强化对方法的理解。
【难度系数】
0.8
这三个问题是反比例函数综合应用的基础核心问题，解题思路梳理如下：1. 针对反比例图象上几何图形的面积问题，可结合常规面积计算方法和反比例独有的性质思考，既可以通过割补转化为规则图形算面积和差，也可以利用k的几何意义简化计算，还可以先求顶点坐标再代入面积公式计算；2. 针对函数公共点问题，类比一次函数交点的求解逻辑，公共点同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式解方程组即可得到交点坐标；3. 针对方程解或不等式解集问题，运用数形结合思想，将代数的相等、大小关系转化为函数图象的交点、上下位置关系，观察图象就能直接得到对应自变量的取值。
【解析】
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
【答案】
问题1
常用方法如下：
① 割补法：将待求面积的几何图形分割为若干个可直接计算面积的三角形、矩形等基本图形，或补形为规则图形，通过面积的和差运算得到图形总面积；
② 利用反比例函数比例系数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合该性质可快速计算相关图形面积；
③ 坐标公式法：先求出几何图形所有顶点的坐标，再代入对应规则图形的面积公式直接计算。
问题2
可以找出公共点坐标，具体方法为：
将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立组成方程组，该方程组的每一组实数解对应的坐标，就是一次函数与反比例函数图象的公共点坐标。
问题3
可以利用数形结合思想直接得到对应结果：
先将不等式或方程变形为两个函数的函数值满足大小关系或相等关系的形式，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
1. 对应方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；
2. 对应不等式的解集就是图象中满足指定函数值大小关系的部分所对应的自变量$x$的取值范围。
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 函数图象交点求解
3. 数形结合解不等式（方程）
【点评】
这三个问题对应的方法是解决反比例相关综合题的核心工具，属于该模块必须掌握的基础内容，熟练运用这些方法能有效提升反比例综合题型的解题效率，学习时可结合具体习题强化对方法的理解。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的部分图象如图所示，且$AB// y$轴。若$△ ABC$的面积为5，则$k$的值为（）
A. $-5$
B. $\frac{5}{2}$
C. $-10$
D. $-15$
【解析】如图，连接$OA$.
根据题意，得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
所以$\frac{1}{2}|k|=5$.
解得$k=\pm10$.
因为$k＜0$，所以$k=-10$.
故选C.
【答案】C
A. $-5$
B. $\frac{5}{2}$
C. $-10$
D. $-15$
【解析】如图，连接$OA$.
根据题意，得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
所以$\frac{1}{2}|k|=5$.
解得$k=\pm10$.
因为$k＜0$，所以$k=-10$.
故选C.
【答案】C
答案
解：连接OA。
∵ AB//y轴，
∴ 点C和点O到直线AB的距离相等，
∴ $S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，AB⊥x轴，根据反比例函数的几何意义可得：
$\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$k=\pm10$。
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选C。
∵ AB//y轴，
∴ 点C和点O到直线AB的距离相等，
∴ $S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，AB⊥x轴，根据反比例函数的几何意义可得：
$\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$k=\pm10$。
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选C。
解析
【分析】
本题需要将已知的$△ ABC$的面积与反比例函数的系数$k$建立联系，解题思路如下：第一步，观察到$AB// y$轴，可知点$O$和点$C$到直线$AB$的距离相等，因此连接$OA$后，$△ ABC$和$△ ABO$同底等高，面积相等，即可把已知的面积5转化为$△ ABO$的面积；第二步，回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，由此可列出关于$|k|$的方程；第三步，根据反比例函数图象所在的象限判断$k$的符号，即可求出$k$的准确值。
【解析】
解：连接$OA$。
∵ $AB// y$轴，
∴ 点$C$和点$O$到直线$AB$的距离相等，
∴ $△ ABO$和$△ ABC$同底$AB$，高相等，故$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$。
∵ 点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$AB⊥ x$轴，根据反比例函数$k$的几何意义可得：
$\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$k=\pm10$。
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义
2.同底等高三角形的面积性质
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的核心是通过辅助线将未知关系的三角形面积转化为符合$k$几何意义的三角形面积，解题时要注意结合函数图象所在象限判断$k$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
本题需要将已知的$△ ABC$的面积与反比例函数的系数$k$建立联系，解题思路如下：第一步，观察到$AB// y$轴，可知点$O$和点$C$到直线$AB$的距离相等，因此连接$OA$后，$△ ABC$和$△ ABO$同底等高，面积相等，即可把已知的面积5转化为$△ ABO$的面积；第二步，回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，由此可列出关于$|k|$的方程；第三步，根据反比例函数图象所在的象限判断$k$的符号，即可求出$k$的准确值。
【解析】
解：连接$OA$。
∵ $AB// y$轴，
∴ 点$C$和点$O$到直线$AB$的距离相等，
∴ $△ ABO$和$△ ABC$同底$AB$，高相等，故$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$。
∵ 点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$AB⊥ x$轴，根据反比例函数$k$的几何意义可得：
$\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$k=\pm10$。
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义
2.同底等高三角形的面积性质
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的核心是通过辅助线将未知关系的三角形面积转化为符合$k$几何意义的三角形面积，解题时要注意结合函数图象所在象限判断$k$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
