基础知识·预习
问题1 三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这个结论能由三角形的内角和定理得出吗？
问题2 说一说推论的意义及你对它的理解。

解：
问题1：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且这个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
该结论可以由三角形内角和定理得出，推导过程如下：
在△ABC中，延长BC至点D，得到△ABC的外角∠ACD。
根据三角形内角和定理，得∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
根据平角的定义，得∠ACB + ∠ACD = 180°，
因此∠ACD = 180° - ∠ACB，∠A + ∠B = 180° - ∠ACB，
所以∠ACD = ∠A + ∠B。
结合∠A、∠B均为正的角度，可进一步推出∠ACD ＞ ∠A，∠ACD ＞ ∠B。
问题2：
推论的意义：推论是由已证明的定理经过简单直接的推导得到的真命题，它和正式定理具备同等的正确性，可以直接作为后续几何推理、计算的依据，不需要每次都重复追溯到最基础的原始定理进行推导。
对该三角形外角相关推论的理解：这个推论是三角形内角和定理的延伸拓展，直接明确了三角形外角和不相邻内角的等量关系与大小关系，是三角形角度性质的重要组成部分，能够大幅简化涉及外角的几何题的推导步骤，是后续进行角度求解、角度不等关系证明的常用工具。

【典型例题1】如图，$△ ABC$的外角是（）


A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$
【答案】C
规律方法 三角形外角的识别：(1)三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的；(2)三角形的一个内角的对顶角不是这个三角形的外角；(3)三角形的一个外角和与其相邻的内角互为邻补角。

C

根据三角形外角的定义：三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，逐一判断：∠1是点A处△ABC内角的对顶角，不是△ABC的外角；∠2不满足“一边是△ABC的边，另一边是另一边的延长线”的外角构成要求；∠3是△ABC的边AB与边CB的延长线组成的角，符合三角形外角的定义；∠4的两边都不属于△ABC的边，不是△ABC的外角。因此△ABC的外角是∠3。

【即学即练】
1. 如图,请写出$△ ABC$的两个外角:,.

1.∠FAB ∠ACD ∠BCE(写出任意两个即可)

【典型例题2】如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线.若∠A=80°,求∠D的度数.

【解】因为BD是∠ABC的平分线,
所以$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC.$
因为CD是∠ACE的平分线,
所以$∠DCE=\frac{1}{2}∠ACE.$
因为∠DCE是△BDC的外角,∠ACE是△ABC的外角,
所以$∠D=∠DCE−∠DBC=\frac{1}{2}∠ACE−\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}(∠ACE−∠ABC)=\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{2}×80°=40°.$

解：
因为BD是∠ABC的平分线，
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
因为CD是$∠ ACE$的平分线，
所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
因为$∠ DCE$是$△ BDC$的外角，$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，
根据三角形外角的性质，可得$∠ DCE=∠ D+∠ DBC$，$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$，
所以$∠ D=∠ DCE-∠ DBC$
$=\frac{1}{2}∠ ACE-\frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}(∠ ACE-∠ ABC)$
$=\frac{1}{2}∠ A$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。