1. 如图，这是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加（）

A.$(2\sqrt{2}+2)m$
B.$(2\sqrt{2}-2)m$
C.$(4\sqrt{2}-4)m$
D.$(4\sqrt{2}+4)m$

1.C

2. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB=30 m，池底最深处距离水平地面5 m，原来的水面宽24 m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为。

2. 0.8 m 【点拨】由图象可得,抛物线的顶点坐标为(0,-5),且过点(15,0),
∴设池塘所在抛物线的表达式为$y=ax^2-5$,把点(15,0)的坐标代入表达式可得 $0=15^2 a-5$,解得 $a=\frac{1}{45}$,$\therefore y=\frac{1}{45}x^2-5$,当池塘中水面的宽度减少为原来的一半,即 12 m 时,易知 $x=\pm6$,$\therefore y=\frac{1}{45}×6^2-5=-4.2$,此时最深处到水面的距离为 $5-4.2=0.8(\mathrm{m})$。

3. ★★ [2025陕西] 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部$L_1$，左、右门洞$L_2$，$L_3$均呈抛物线形，水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$，$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$，$L_2$，$L_3$关于$BO$所在直线对称。$MN$，$MP$，$NQ$为框架，点$M$，$N$在$L_1$上，点$P$，$Q$分别在$L_2$，$L_3$上，$MN// AC$，$MP⊥ AC$，$NQ⊥ AC$。以$O$为原点，以$AC$所在直线为$x$轴，以$BO$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线$L_1$的函数表达式；

(2)已知抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$，$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$，求$MN$的长。

3.【解】(1)$\because BO=4\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的顶点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$。
设抛物线 $L_1$ 的函数表达式为 $y=ax^2+4$,
$\because AC=16\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 结合二次函数的对称性得 $A(-8,0),C(8,0)$,
将 $C(8,0)$ 的坐标代入 $y=ax^2+4$,得 $0=64a+4$,解得 $a=-\frac{1}{16}$,$\therefore y=-\frac{1}{16}x^2+4$。
(2)由(1)得抛物线 $L_1$ 的函数表达式 $y=-\frac{1}{16}x^2+4$,
$\because MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$. $NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,且抛物线 $L_3$ 的函数表达式为 $y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
$\therefore y_N-y_Q=-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$,
整理得 $x^2-3(x-4)^2=24$,解得 $x_1=x_2=6$,
$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$。

4. ★★ 教材母题 教材P36例2变式 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索$L_1$与缆索$L_2$均呈抛物线形,桥塔$AO$与桥塔$BC$均垂直于桥面,如图所示,以$O$为原点,以直线$FF'$为$x$轴,以桥塔$AO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索$L_1$所在抛物线与缆索$L_2$所在抛物线关于$y$轴对称,桥塔$AO$与桥塔$BC$之间的距离$OC=100\ \mathrm{m},AO=BC=17\ \mathrm{m}$,缆索$L_1$的最低点$P$到$FF'$的距离$PD=2\ \mathrm{m}$(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式;
(2)点$E$在缆索$L_2$上,$EF⊥ FF'$,且$EF=2.6\ \mathrm{m}$,$FO＜OD$,求$FO$的长.

4.【解】(1)由题易得顶点 $P$ 的坐标为 $(50,2)$,点 $A$ 的坐标为 $(0,17)$,设缆索 $L_1$ 所在抛物线的函数表达式为 $y=a(x-50)^2+2$,
把点 $A(0,17)$ 的坐标代入上式,得 $17=a(0-50)^2+2$,解得 $a=\frac{3}{500}$,$\therefore$ 缆索 $L_1$ 所在抛物线的函数表达式为 $y=\frac{3}{500}(x-50)^2+2$。
(2)$\because$ 缆索 $L_1$ 所在抛物线与缆索 $L_2$ 所在抛物线关于 $y$ 轴对称,且缆索 $L_1$ 所在抛物线的函数表达式为 $y=\frac{3}{500}(x-50)^2+2$,
$\therefore$ 缆索 $L_2$ 所在抛物线的函数表达式为 $y=\frac{3}{500}(x+50)^2+2$。
$\because EF=2.6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 把 $y=2.6$ 代入,得 $2.6=\frac{3}{500}(x+50)^2+2$,解得 $x_1=-40$,$x_2=-60$. $\therefore FO=40\ \mathrm{m}$ 或 $FO=60\ \mathrm{m}$。
$\because FO＜OD=50\ \mathrm{m}$,$\therefore FO$ 的长为 $40\ \mathrm{m}$。