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5. ★★ 教材母题 教材P37练习T1变式 有一辆宽为2 m的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）。为确保车辆安全通过，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5 m.已知隧道的跨度AB为8 m，拱高为4 m.
(1)若隧道为单车道，货车高为3.2 m，该货车能否安全通过？请说明理由.
(2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4 m的隔离带，通过计算说明该货车能够通过的最大安全高度.
(1)若隧道为单车道，货车高为3.2 m，该货车能否安全通过？请说明理由.
(2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4 m的隔离带，通过计算说明该货车能够通过的最大安全高度.
答案
5.【解】(1)货车能安全通过. 理由如下:建立如图所示的平面直角坐标系.易知抛物线的顶点坐标为 $(0,4)$,设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+4$. 将点 $B(4,0)$ 的坐标代入上式,得 $16a+4=0$,解得 $a=-\frac{1}{4}$,$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{4}x^2+4$,$\therefore$ 当 $x=2×\frac{1}{2}=1$ 时,$y=3.75$.
$\because 3.75-0.5=3.25(\mathrm{m})＞3.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 该货车能够安全通过。
(2)当 $x=2+\frac{1}{2}×0.4=2.2$ 时,$y=2.79$. $\because 2.79-0.5=2.29(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 货车能够通过的最大安全高度为 $2.29\ \mathrm{m}$。
点方法 判断车能否从隧道通过的方法：
1. 固定车宽,判断隧道是否够高,即已知 $x$ 的值,根据函数表达式求出 $y$ 的值,再比较车的高度与 $y$ 值的大小;
2. 固定车的高,判断隧道是否够宽,即已知 $y$ 的值,根据函数表达式求出 $x$ 的值,再比较车的宽度与 $x$ 值的大小。
6. 过山车的一部分轨道可以看成一段抛物线，其图象如图所示，其中$OE=\frac{25}{8}$米，$OF=\frac{125}{16}$米（轨道厚度忽略不计）。
(1)求抛物线$F→E→G$的函数表达式。
(2)在轨道距离地面5米处有两个点P和G(点P在点G的左侧)，当过山车运动到点G处时，平行于地面向前运动了$\frac{15}{8}$米至点K，又进入下坡段$K→H$。已知轨道抛物线$K→H→Q$的形状与抛物线$P→E→G$完全相同，求OH的长。
(3)现需要在轨道下坡$F→E$段进行一种完全加固，建造某种材料的水平支架CM，DN和竖直支架AM，BN，且要求$OA=AB$。已知这种材料的价格是8万元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少万元？
(1)求抛物线$F→E→G$的函数表达式。
(2)在轨道距离地面5米处有两个点P和G(点P在点G的左侧)，当过山车运动到点G处时，平行于地面向前运动了$\frac{15}{8}$米至点K，又进入下坡段$K→H$。已知轨道抛物线$K→H→Q$的形状与抛物线$P→E→G$完全相同，求OH的长。
(3)现需要在轨道下坡$F→E$段进行一种完全加固，建造某种材料的水平支架CM，DN和竖直支架AM，BN，且要求$OA=AB$。已知这种材料的价格是8万元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少万元？
答案
6.【解】(1)由题意知,$E(\frac{25}{8},0)$,$F(0,\frac{125}{16})$。
设抛物线 $F\to E\to G$ 的函数表达式为 $y_1=a(x-\frac{25}{8})^2$,把点 $F(0,\frac{125}{16})$ 的坐标代入上式,得 $\frac{125}{16}=a(0-\frac{25}{8})^2$,解得 $a=\frac{4}{5}$,$\therefore$ 抛物线 $F\to E\to G$ 的函数表达式为 $y_1=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$。
(2)由题意知 $GK=\frac{15}{8}$ 米. 当 $y_1=5$ 时,$5=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$,解得 $x_1=\frac{5}{8}$,$x_2=\frac{45}{8}$,$\therefore P(\frac{5}{8},5)$,$G(\frac{45}{8},5)$. $\therefore PG=\frac{45}{8}-\frac{5}{8}=5$(米). $\therefore PK=5+\frac{15}{8}=\frac{55}{8}$(米)。
$\because$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的形状与抛物线 $P\to E\to G$ 完全相同,
$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 可以看成是由抛物线 $P\to E\to G$ 向右平移 $\frac{55}{8}$ 米得到的. $\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的函数表达式为 $y_2=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8}-\frac{55}{8})^2=\frac{4}{5}(x-10)^2$,令 $y_2=0$,则 $x=10$,
$\therefore OH=10$ 米。
(3)设 $OA=AB=m$ 米,则 $A(m,0)$,$B(2m,0)$,
$\therefore CM=m$ 米,$DN=2m$ 米,$AM=\frac{4}{5}(m-\frac{25}{8})^2=(\frac{4}{5}m^2-5m+\frac{125}{16})$米,$BN=\frac{4}{5}(2m-\frac{25}{8})^2=(\frac{16}{5}m^2-10m+\frac{125}{16})$米,
$\therefore AM+CM+BN+DN=(\frac{4}{5}m^2-5m+\frac{125}{16})+m+(\frac{16}{5}m^2-10m+\frac{125}{16})+2m=4m^2-12m+\frac{125}{8}=[4(m-\frac{3}{2})^2+\frac{53}{8}]$米. $\because m＞0$,$2m＜\frac{25}{8}$,$\therefore 0＜m＜\frac{25}{16}$。
$\because 4＞0$,$\therefore$ 当 $m=\frac{3}{2}$ 时,所需这种材料的长度最短,为 $\frac{53}{8}$ 米,此时造价为 $8×\frac{53}{8}=53$(万元). $\therefore$ 设计支架时,使 $OA=AB=\frac{3}{2}$ 米,造价最低,最低造价为 53 万元。
设抛物线 $F\to E\to G$ 的函数表达式为 $y_1=a(x-\frac{25}{8})^2$,把点 $F(0,\frac{125}{16})$ 的坐标代入上式,得 $\frac{125}{16}=a(0-\frac{25}{8})^2$,解得 $a=\frac{4}{5}$,$\therefore$ 抛物线 $F\to E\to G$ 的函数表达式为 $y_1=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$。
(2)由题意知 $GK=\frac{15}{8}$ 米. 当 $y_1=5$ 时,$5=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$,解得 $x_1=\frac{5}{8}$,$x_2=\frac{45}{8}$,$\therefore P(\frac{5}{8},5)$,$G(\frac{45}{8},5)$. $\therefore PG=\frac{45}{8}-\frac{5}{8}=5$(米). $\therefore PK=5+\frac{15}{8}=\frac{55}{8}$(米)。
$\because$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的形状与抛物线 $P\to E\to G$ 完全相同,
$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 可以看成是由抛物线 $P\to E\to G$ 向右平移 $\frac{55}{8}$ 米得到的. $\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的函数表达式为 $y_2=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8}-\frac{55}{8})^2=\frac{4}{5}(x-10)^2$,令 $y_2=0$,则 $x=10$,
$\therefore OH=10$ 米。
(3)设 $OA=AB=m$ 米,则 $A(m,0)$,$B(2m,0)$,
$\therefore CM=m$ 米,$DN=2m$ 米,$AM=\frac{4}{5}(m-\frac{25}{8})^2=(\frac{4}{5}m^2-5m+\frac{125}{16})$米,$BN=\frac{4}{5}(2m-\frac{25}{8})^2=(\frac{16}{5}m^2-10m+\frac{125}{16})$米,
$\therefore AM+CM+BN+DN=(\frac{4}{5}m^2-5m+\frac{125}{16})+m+(\frac{16}{5}m^2-10m+\frac{125}{16})+2m=4m^2-12m+\frac{125}{8}=[4(m-\frac{3}{2})^2+\frac{53}{8}]$米. $\because m＞0$,$2m＜\frac{25}{8}$,$\therefore 0＜m＜\frac{25}{16}$。
$\because 4＞0$,$\therefore$ 当 $m=\frac{3}{2}$ 时,所需这种材料的长度最短,为 $\frac{53}{8}$ 米,此时造价为 $8×\frac{53}{8}=53$(万元). $\therefore$ 设计支架时,使 $OA=AB=\frac{3}{2}$ 米,造价最低,最低造价为 53 万元。
