4. [2025 德阳] 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0),B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，连接 $BC$，过点 $C$ 作 $CD ⊥ BC$ 与抛物线相交于另一点 $D$.
①求点 $D$ 的坐标；
②如图③，点 $E,F$ 为线段 $BC$ 上两个动点（点 $E$ 在点 $F$ 的右侧），且 $EF=\sqrt{2}$，连接 $OF,DE$. 求 $OF+DE$ 的最小值.

(1)
∵A(−1,0),B(3,0)在二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象上，
∴$y=-(x+1)(x-3)$。
∴$y=-x^2+2x+3$。
(2)①把$x=0$代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴C(0,3)如图①，延长DC与x轴相交于点G。
∵B(3,0),C(0,3),
∴OB=OC=3。
∵∠COB=90°,
∴∠CBO=45°。
∵∠DCB=90°=∠BCG，
∴∠CGB=90°−∠CBO=90°−45°=45°。
∴∠GCO=180°−∠COG−∠CGB=180°−90°−45°=45°。
∴OG=OC=3。
∴G(−3,0)。
设直线CG的表达式为$y=kx+m(k≠0)$，把C(0,3)，G(−3,0)的坐标代入，
得$\begin{cases}3=m,\\0=-3k+m,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\m=3,\end{cases}$
∴直线CG的表达式为$y=x+3$。
∵点D是直线CG与二次函数的交点，
∴联立得$\begin{cases}y=x+3,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=4.\end{cases}$
∴D(1,4)。
②如图②，过点O作$OH// EF$，且$OH=EF=\sqrt{2}$，连接HE,DH，设DH交x轴于点G。
∵$OH// EF$，且$OH=EF$，
∴四边形OFEH是平行四边形。
∴OF=EH。
∵∠CBO=45°,
∴∠BOH=45°。
易知△OGH为等腰直角三角形。
∴OG=GH。
∵$OH=EF=\sqrt{2},OG^2+GH^2=OH^2$，
∴OG=GH=1。
∴H(1,−1)。
∵DE+EH≥DH，
∴当DE+EH=DH时，DE+EH最小。
∵D(1,4),H(1,−1),
∴DH=5。
此时D,E,H三点共线且$DH⊥ x$轴，
易得此时点F的坐标为(0,3)与点C重合，满足EF在线段BC上。
∴DE+OF的最小值为5。

点方法 解答本题中OF+DE的最小值需用“平移＋将军饮马”技巧，通过“平移”其中一条线段，将“不相连线段和”转化为“两点之间线段最短”问题，就可以将复杂的问题简单化，迎刃而解。

5. 商场购进一批儿童智力玩具,调查发现该玩具的月销售量 y(个)与销售单价 x(元/个)之间满足一次函数关系,销售单价 x(元/个)与月销售量 y(个)、月销售利润 w(元)的对应值如下:

(1)直接写出 y 与 x 的函数表达式.
(2)① m=,该商场购进玩具的价格为元/个.
②求 w 与 x 的函数表达式,并求出当销售单价定为多少时,月销售利润最大.
(3)由于生产玩具成本增加,商场购进玩具的价格提高 n 元/个(0＜n≤7,n 为整数),商场规定每个玩具的销售单价不能低于 40 元/个,该商场在今后的销售中,月销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系.若月销售利润最大是 2 340 元,求 n 的值.

(1)$y=-10x+530$。【点拨】设$y=kx+b(k≠0)$。
由题意，得$\begin{cases}30k+b=230,\\35k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=530,\end{cases}$
∴y与x的函数表达式为$y=-10x+530$。
(2)①80；20
②由题意得$w=(x-20)· y=(x-20)(-10x+530)=-10x^2+730x-10\ 600=-10(x-36.5)^2+2\ 722.5$。
∵−10＜0，
∴当x=36.5时，w有最大值，为2722.5。
∴当销售单价定为36.5元/个时，月销售利润最大。
(3)设购进玩具的价格提高后，月销售利润为$w'$元。由题意得$w'=(-10x+530)(x-20-n)=-10(x-53)(x-20-n)$，
∴函数图象的对称轴为直线$x=\frac{53+20+n}{2}=\frac{73+n}{2}$。
∵0＜n≤7，n为整数，
∴$\frac{73}{2}＜\frac{73+n}{2}≤40$。
∵−10＜0，
∴在对称轴的右侧，$w'$随x的增大而减小。
∵x≥40，
∴函数在x=40时取得最大值，
∴根据题意可知，x=40时，$2\ 340=(-400+530)(40-20-n)$，解得n=2。
点方法 在求解实际问题中的最值问题时，一般先用配方法把函数表达式化为$y=a(x-h)^2+h$的形式，再看x的取值范围是否包括顶点的横坐标，从而确定最大值。