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14 [2024 泸州]已知二次函数$y=mx^2+(2m-3)x+m-1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$m$的取值范围是（
A.$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$
B.$0＜m＜\dfrac{3}{2}$
C.$0＜m＜\dfrac{9}{8}$
D.$1≤ m＜\dfrac{3}{2}$
A
）A.$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$
B.$0＜m＜\dfrac{3}{2}$
C.$0＜m＜\dfrac{9}{8}$
D.$1≤ m＜\dfrac{3}{2}$
答案
14. A 【解析】$\because$ 该二次函数的图象经过第一、二、四象限，$\therefore m＞0$,$-\frac{b}{2a}=-\frac{2m-3}{2m}＞0$,当$x=0$时,$y=m-1≥0$,$\Delta=(2m-3)^2-4m(m-1)＞0. \therefore 1≤ m＜\frac{9}{8}$,即$m$的取值范围是$1≤ m＜\frac{9}{8}$.
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数图象经过的象限，从二次函数的核心性质逐步推导参数范围：首先，图象过第一、二、四象限说明开口必须向上，可得二次项系数的符号；其次，要经过第四象限，对称轴需落在x轴正半轴，可列对称轴相关不等式；第三，图象过第二象限且不经过第三象限，说明与y轴的交点在y轴非负半轴，代入x=0可得对应不等式；最后，图象要同时经过第一、四象限，说明与x轴有两个不同交点，因此判别式大于0。分别求解所有不等式后取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 该二次函数的图象经过第一、二、四象限，需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$m＞0$；
2. 对称轴在x轴正半轴：$-\frac{b}{2a}=-\frac{2m-3}{2m}＞0$，
结合$m＞0$，可得$-(2m-3)＞0$，解得$m＜\frac{3}{2}$；
3. 与y轴交点在非负半轴：当$x=0$时，$y=m-1≥0$，解得$m≥1$；
4. 与x轴有两个不同交点：$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入$a=m,b=2m-3,c=m-1$得：
$\Delta=(2m-3)^2-4m(m-1)=4m^2-12m+9-4m^2+4m=-8m+9＞0$，
解得$m＜\frac{9}{8}$。
综合以上条件取交集，得$1≤ m＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，解不等式组，二次函数判别式
【点评】
本题考查二次函数图象特征与参数范围的结合应用，需要学生熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点、判别式和图象的对应关系，运用数形结合思想列不等式组求解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合二次函数图象经过的象限，从二次函数的核心性质逐步推导参数范围：首先，图象过第一、二、四象限说明开口必须向上，可得二次项系数的符号；其次，要经过第四象限，对称轴需落在x轴正半轴，可列对称轴相关不等式；第三，图象过第二象限且不经过第三象限，说明与y轴的交点在y轴非负半轴，代入x=0可得对应不等式；最后，图象要同时经过第一、四象限，说明与x轴有两个不同交点，因此判别式大于0。分别求解所有不等式后取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 该二次函数的图象经过第一、二、四象限，需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$m＞0$；
2. 对称轴在x轴正半轴：$-\frac{b}{2a}=-\frac{2m-3}{2m}＞0$，
结合$m＞0$，可得$-(2m-3)＞0$，解得$m＜\frac{3}{2}$；
3. 与y轴交点在非负半轴：当$x=0$时，$y=m-1≥0$，解得$m≥1$；
4. 与x轴有两个不同交点：$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入$a=m,b=2m-3,c=m-1$得：
$\Delta=(2m-3)^2-4m(m-1)=4m^2-12m+9-4m^2+4m=-8m+9＞0$，
解得$m＜\frac{9}{8}$。
综合以上条件取交集，得$1≤ m＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，解不等式组，二次函数判别式
【点评】
本题考查二次函数图象特征与参数范围的结合应用，需要学生熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点、判别式和图象的对应关系，运用数形结合思想列不等式组求解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15 如图所示为二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的一部分，其与$x$轴正半轴的交点在点$(2,0)$和点$(3,0)$之间，对称轴是直线$x=1$。有下列说法：① $abc＜0$；② $2a-b=0$；③ $4a-2b+c＜0$；④ $b^2＜4ac$；⑤ $3b＜2c$；⑥ 若$(-2,y_1),(3,y_2)$两点在该二次函数的图象上，则$y_1＞y_2$。其中，正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
15. B 【解析】① 由二次函数的图象可知,$a＜0$,$c＞0$,由对称轴可知,$x=-\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＞0. \therefore abc＜0$. 故①正确. ② 由对称轴可知,$-\frac{b}{2a}=1$,$\therefore 2a+b=0. \because b＞0$,$\therefore 2a-b=-2b＜0$. 故②错误. ③ 由图象可知,当$x=3$时,$y＜0$,而点$(3,0)$关于直线$x=1$的对称点为$(-1,0)$,当$x≤1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x=-2$时,$y＜0. \therefore 4a-2b+c＜0$. 故③正确. ④ 由图象可知,抛物线与$x$轴有两个交点,故$\Delta=b^2-4ac＞0$,$\therefore b^2＞4ac$. 故④错误. ⑤ $\because -\frac{b}{2a}=1$,$\therefore a=-\frac{1}{2}b. \because$ 点$(3,0)$关于直线$x=1$的对称点为$(-1,0)$,且当$x=3$时,$y＜0$,$\therefore$ 当$x=-1$时,$y＜0. \therefore a-b+c＜0. \therefore -\frac{1}{2}b -b +c＜0. \therefore 3b＞2c$. 故⑤错误. ⑥ $\because$ 抛物线开口向下,且点$(-2,y_1)$到直线$x=1$的距离大于点$(3,y_2)$到直线$x=1$的距离,$\therefore y_1＜y_2$. 故⑥错误. 综上所述,正确的有2个.
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图象提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点特征，先确定a、b、c的符号，再结合二次函数的对称性、增减性、判别式、特殊点代入求值等知识，逐个判断6个说法的正误，最终统计正确说法的数量得到答案。
【解析】
我们逐个分析各说法：
1. 分析①：由图象开口向下得$a＜0$，抛物线与y轴交于正半轴得$c＞0$；对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1＞0$，结合$a＜0$可推得$b=-2a＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 分析②：由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，即$2a-b=-2b≠0$，②错误。
3. 分析③：二次函数图象关于直线$x=1$对称，已知x=3时$y＜0$，则x=3关于$x=1$的对称点为$x=2×1-3=-1$，即$x=-1$时$y＜0$；又开口向下，$x≤1$时y随x的增大而增大，$x=-2＜-1$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，③正确。
4. 分析④：由图象可知抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，④错误。
5. 分析⑤：由对称轴得$a=-\frac{1}{2}b$，已知$x=-1$时$y=a-b+c＜0$，将$a=-\frac{1}{2}b$代入得：$-\frac{1}{2}b -b +c＜0$，整理得$c＜\frac{3}{2}b$，即$3b＞2c$，⑤错误。
6. 分析⑥：开口向下的抛物线上的点，到对称轴距离越远函数值越小。点$(-2,y_1)$到$x=1$的距离为$|1-(-2)|=3$，点$(3,y_2)$到$x=1$的距离为$|3-1|=2$，$3＞2$，因此$y_1＜y_2$，⑥错误。
综上，正确的说法为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的综合应用题，需要将图象特征和代数运算结合，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度，是该部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先从二次函数图象提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点特征，先确定a、b、c的符号，再结合二次函数的对称性、增减性、判别式、特殊点代入求值等知识，逐个判断6个说法的正误，最终统计正确说法的数量得到答案。
【解析】
我们逐个分析各说法：
1. 分析①：由图象开口向下得$a＜0$，抛物线与y轴交于正半轴得$c＞0$；对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1＞0$，结合$a＜0$可推得$b=-2a＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 分析②：由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，即$2a-b=-2b≠0$，②错误。
3. 分析③：二次函数图象关于直线$x=1$对称，已知x=3时$y＜0$，则x=3关于$x=1$的对称点为$x=2×1-3=-1$，即$x=-1$时$y＜0$；又开口向下，$x≤1$时y随x的增大而增大，$x=-2＜-1$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，③正确。
4. 分析④：由图象可知抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，④错误。
5. 分析⑤：由对称轴得$a=-\frac{1}{2}b$，已知$x=-1$时$y=a-b+c＜0$，将$a=-\frac{1}{2}b$代入得：$-\frac{1}{2}b -b +c＜0$，整理得$c＜\frac{3}{2}b$，即$3b＞2c$，⑤错误。
6. 分析⑥：开口向下的抛物线上的点，到对称轴距离越远函数值越小。点$(-2,y_1)$到$x=1$的距离为$|1-(-2)|=3$，点$(3,y_2)$到$x=1$的距离为$|3-1|=2$，$3＞2$，因此$y_1＜y_2$，⑥错误。
综上，正确的说法为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的综合应用题，需要将图象特征和代数运算结合，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度，是该部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
16 如图所示为二次函数$y=ax^2 -4ax$的图象，点$P(m,y_P),Q(n,y_Q)$在该图象上.已知$n - m =3,y_P＞y_Q$,则$m$的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
.答案
16. $m＞\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先先确定二次函数的对称轴和开口方向：开口向下的二次函数，点的横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。再根据n-m=3将Q点的横坐标用m表示，结合y_P＞y_Q的条件，转化为P、Q两点到对称轴的距离的大小关系，列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-4ax$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-4a$得对称轴为$x=\frac{4a}{2a}=2$，由图象可知抛物线开口向下，因此抛物线上的点离对称轴$x=2$越近，函数值越大。
2. 由$n-m=3$可得$n=m+3$。
3. 因为$y_P＞y_Q$，所以点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，即$|m-2|＜|n-2|$，将$n=m+3$代入得：
$|m-2|＜|m+3-2|=|m+1|$
4. 解绝对值不等式：两边同时平方得$(m-2)^2＜(m+1)^2$，展开得：
$m^2-4m+4＜m^2+2m+1$
移项合并同类项得：$-6m＜-3$，两边同时除以$-6$，不等号方向改变，解得$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；绝对值不等式求解；二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性转化函数值的大小关系，将抽象的函数值比较转化为可计算的距离不等式，是二次函数对称性应用的典型题型，解题时要注意开口方向对函数值变化规律的影响。
【难度系数】
0.6
首先先确定二次函数的对称轴和开口方向：开口向下的二次函数，点的横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。再根据n-m=3将Q点的横坐标用m表示，结合y_P＞y_Q的条件，转化为P、Q两点到对称轴的距离的大小关系，列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-4ax$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-4a$得对称轴为$x=\frac{4a}{2a}=2$，由图象可知抛物线开口向下，因此抛物线上的点离对称轴$x=2$越近，函数值越大。
2. 由$n-m=3$可得$n=m+3$。
3. 因为$y_P＞y_Q$，所以点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，即$|m-2|＜|n-2|$，将$n=m+3$代入得：
$|m-2|＜|m+3-2|=|m+1|$
4. 解绝对值不等式：两边同时平方得$(m-2)^2＜(m+1)^2$，展开得：
$m^2-4m+4＜m^2+2m+1$
移项合并同类项得：$-6m＜-3$，两边同时除以$-6$，不等号方向改变，解得$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；绝对值不等式求解；二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性转化函数值的大小关系，将抽象的函数值比较转化为可计算的距离不等式，是二次函数对称性应用的典型题型，解题时要注意开口方向对函数值变化规律的影响。
【难度系数】
0.6
17 [2025 济南]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4$。有下列结论：① 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根；② 当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；③ $-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$；④ $4a-2b+c＞0$；⑤ 对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$。其中，正确的是
①②③④⑤
（填序号）。答案
17. ①②③④⑤
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的顶点坐标设顶点式，结合已知经过的两点推导参数a的取值范围、抛物线的开口方向、对称轴等核心性质，再逐一验证每个结论：1.设顶点式为$y=a(x+1)^2+n$，代入点$(1,0)$得$n=-4a$，代入点$(0,m)$得$m=-3a$，结合$3＜m＜4$即可求出$a$的范围，同时确定抛物线开口向下；2.逐个结论验证：①将方程转化为二次函数与直线的交点问题，结合开口方向和函数最大值判断；②根据开口方向和对称轴判断增减性；③由$m=-3a$结合$m$的范围解不等式直接验证；④$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，利用对称性结合$x=0$的函数值判断；⑤先由对称轴公式推导$b=2a$，代入式子化简后结合$a$的正负和平方的非负性判断。
【解析】
解：$\because$二次函数顶点坐标为$(-1,n)$，$\therefore$设解析式为$y=a(x+1)^2+n$，对称轴为直线$x=-1$。
1. 代入点$(1,0)$得：$0=a(1+1)^2+n$，即$4a+n=0$，$\therefore n=-4a$。
2. 代入点$(0,m)$得：$m=a(0+1)^2+n=a+n$，将$n=-4a$代入得$m=-3a$。
已知$3＜m＜4$，$\therefore 3＜-3a＜4$，不等式两边同除以$-3$（不等号方向改变），得$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$，故结论③正确；且$a＜0$，抛物线开口向下。
逐一验证剩余结论：
① 方程$ax^2+bx+c-n+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=n-1$。
$\because$抛物线开口向下，函数最大值为顶点纵坐标$n$，$\therefore n-1＜n$，直线$y=n-1$与抛物线有2个交点，故方程有两个不相等的实数根，结论①正确。
② $\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，结论②正确。
④ 当$x=-2$时，$y=a×(-2)^2+b×(-2)+c=4a-2b+c$。
$\because x=-2$与$x=0$关于对称轴$x=-1$对称，$\therefore x=-2$时的函数值与$x=0$时的函数值相等，即$4a-2b+c=m$，又$\because 3＜m＜4＞0$，$\therefore 4a-2b+c＞0$，结论④正确。
⑤ 由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$。
将$b=2a$代入$at-a+b$得：$at-a+2a=a(t+1)$，
$\therefore (t+1)(at-a+b)=(t+1)· a(t+1)=a(t+1)^2$。
$\because a＜0$，$(t+1)^2≥0$，$\therefore a(t+1)^2≤0$，即对任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$，结论⑤正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要熟练掌握顶点式的应用、二次函数的增减性、对称性以及与一元二次方程的关系，通过已知点推导参数范围是解题的核心突破口，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时先利用二次函数的顶点坐标设顶点式，结合已知经过的两点推导参数a的取值范围、抛物线的开口方向、对称轴等核心性质，再逐一验证每个结论：1.设顶点式为$y=a(x+1)^2+n$，代入点$(1,0)$得$n=-4a$，代入点$(0,m)$得$m=-3a$，结合$3＜m＜4$即可求出$a$的范围，同时确定抛物线开口向下；2.逐个结论验证：①将方程转化为二次函数与直线的交点问题，结合开口方向和函数最大值判断；②根据开口方向和对称轴判断增减性；③由$m=-3a$结合$m$的范围解不等式直接验证；④$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，利用对称性结合$x=0$的函数值判断；⑤先由对称轴公式推导$b=2a$，代入式子化简后结合$a$的正负和平方的非负性判断。
【解析】
解：$\because$二次函数顶点坐标为$(-1,n)$，$\therefore$设解析式为$y=a(x+1)^2+n$，对称轴为直线$x=-1$。
1. 代入点$(1,0)$得：$0=a(1+1)^2+n$，即$4a+n=0$，$\therefore n=-4a$。
2. 代入点$(0,m)$得：$m=a(0+1)^2+n=a+n$，将$n=-4a$代入得$m=-3a$。
已知$3＜m＜4$，$\therefore 3＜-3a＜4$，不等式两边同除以$-3$（不等号方向改变），得$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$，故结论③正确；且$a＜0$，抛物线开口向下。
逐一验证剩余结论：
① 方程$ax^2+bx+c-n+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=n-1$。
$\because$抛物线开口向下，函数最大值为顶点纵坐标$n$，$\therefore n-1＜n$，直线$y=n-1$与抛物线有2个交点，故方程有两个不相等的实数根，结论①正确。
② $\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，结论②正确。
④ 当$x=-2$时，$y=a×(-2)^2+b×(-2)+c=4a-2b+c$。
$\because x=-2$与$x=0$关于对称轴$x=-1$对称，$\therefore x=-2$时的函数值与$x=0$时的函数值相等，即$4a-2b+c=m$，又$\because 3＜m＜4＞0$，$\therefore 4a-2b+c＞0$，结论④正确。
⑤ 由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$。
将$b=2a$代入$at-a+b$得：$at-a+2a=a(t+1)$，
$\therefore (t+1)(at-a+b)=(t+1)· a(t+1)=a(t+1)^2$。
$\because a＜0$，$(t+1)^2≥0$，$\therefore a(t+1)^2≤0$，即对任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$，结论⑤正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要熟练掌握顶点式的应用、二次函数的增减性、对称性以及与一元二次方程的关系，通过已知点推导参数范围是解题的核心突破口，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
18 关于抛物线$y=ax^2 -2x +1(a≠0)$，给出下列结论：① 当$a＜0$时，抛物线与直线$y=2x+2$没有交点；② 若抛物线与$x$轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点$(0,0)$与点$(1,0)$之间；③ 若抛物线的顶点在点$(0,0),(2,0),(0,2)$围成的三角形区域内(包括边界)，则$a≥1$。其中，正确的是
②③
(填序号)。答案
18. ②③ 【解析】① 联立$\begin{cases}y=2x+2,\\y=ax^2-2x+1,\end{cases}$消去$y$,得$ax^2-4x-1=0. \because \Delta=16+4a$,$a＜0$,$\therefore \Delta$的值可能大于0,即抛物线与直线$y=2x+2$可能有交点. 故①错误. ② $\because$ 抛物线与$x$轴有两个交点,$\therefore \Delta=4-4a＞0. \therefore a＜1. \because$ 抛物线经过点$(0,1)$,且当$x=1$时,$y=a-1＜0$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴的其中一个交点一定在点$(0,0)$与点$(1,0)$之间. 故②正确. ③ 设过点$(2,0),(0,2)$的直线对应的函数表达式为$y=kx+b$. 将$(2,0),(0,2)$代入,得$\begin{cases}0=2k+b,\\2=b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 该直线对应的函数表达式为$y=-x+2$. 当$x=-\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$时,$y=-\frac{1}{a}+2. \because$ 抛物线的顶点在点$(0,0),(2,0),(0,2)$围成的三角形区域内(包括边界),$\therefore 0≤\frac{1}{a}≤2$,且$0≤\frac{4a-4}{4a}≤-\frac{1}{a}+2$,解得$a≥1$. 故③正确. 综上所述,正确的是②③.
解析
【分析】
本题是二次函数性质的综合判断题，需逐个验证三个结论：①判断抛物线与直线是否有交点，可联立两个函数解析式得到一元二次方程，通过判别式的符号判断是否有实根即可；②判断抛物线与x轴交点的位置，先根据抛物线与x轴有两个交点得到a的取值范围，再结合抛物线过定点$(0,1)$，计算$x=1$时的函数值符号，即可判断交点是否在$(0,0)$和$(1,0)$之间；③先求出抛物线的顶点坐标，再求出三个点围成的三角形的边界解析式，根据顶点在区域内满足的横、纵坐标的范围列不等式求解即可。
【解析】
① 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2\\y=ax^2-2x+1\end{cases}$
消去$y$整理得：$ax^2-4x-1=0$
其判别式$\Delta=(-4)^2 - 4· a·(-1)=16+4a$
当$a＜0$时，若$16+4a＞0$即$-4＜a＜0$时，方程有两个不相等的实根，此时抛物线与直线有交点，故①错误。
② 若抛物线与$x$轴有两个交点，则判别式$\Delta=(-2)^2 - 4· a·1=4-4a＞0$，解得$a＜1$
已知抛物线恒过点$(0,1)$，当$x=1$时，代入抛物线解析式得$y=a·1^2 -2·1 +1=a-1$
因为$a＜1$，所以$y=a-1＜0$，即抛物线在$x=1$处的点在$x$轴下方，结合抛物线过$(0,1)$（$x$轴上方），可知必有一个交点在$(0,0)$与$(1,0)$之间，故②正确。
③ 先求过点$(2,0)$、$(0,2)$的直线解析式：设为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0=2k+b\\2=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，即直线解析式为$y=-x+2$
抛物线$y=ax^2-2x+1$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，顶点纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·1 - (-2)^2}{4a}=\frac{4a-4}{4a}=1-\frac{1}{a}$
点$(0,0)$、$(2,0)$、$(0,2)$围成的三角形区域为第一象限内直线$y=-x+2$下方的区域（含边界），因此顶点需满足：
横坐标范围：$0≤\frac{1}{a}≤2$，得$a≥\frac{1}{2}$
纵坐标范围：$0≤1-\frac{1}{a}≤ - \frac{1}{a} + 2$
解左边的不等式$1-\frac{1}{a}≥0$，得$\frac{a-1}{a}≥0$，结合$a＞0$（横坐标$\frac{1}{a}≥0$且$a≠0$），得$a≥1$
右边的不等式$1-\frac{1}{a}≤ -\frac{1}{a}+2$化简得$1≤2$，恒成立
综上得$a≥1$，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
抛物线的性质，函数交点问题，二次函数顶点坐标
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要结合判别式、函数值的符号、不等式求解等知识逐一判断结论，侧重考查逻辑推理和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数性质的综合判断题，需逐个验证三个结论：①判断抛物线与直线是否有交点，可联立两个函数解析式得到一元二次方程，通过判别式的符号判断是否有实根即可；②判断抛物线与x轴交点的位置，先根据抛物线与x轴有两个交点得到a的取值范围，再结合抛物线过定点$(0,1)$，计算$x=1$时的函数值符号，即可判断交点是否在$(0,0)$和$(1,0)$之间；③先求出抛物线的顶点坐标，再求出三个点围成的三角形的边界解析式，根据顶点在区域内满足的横、纵坐标的范围列不等式求解即可。
【解析】
① 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2\\y=ax^2-2x+1\end{cases}$
消去$y$整理得：$ax^2-4x-1=0$
其判别式$\Delta=(-4)^2 - 4· a·(-1)=16+4a$
当$a＜0$时，若$16+4a＞0$即$-4＜a＜0$时，方程有两个不相等的实根，此时抛物线与直线有交点，故①错误。
② 若抛物线与$x$轴有两个交点，则判别式$\Delta=(-2)^2 - 4· a·1=4-4a＞0$，解得$a＜1$
已知抛物线恒过点$(0,1)$，当$x=1$时，代入抛物线解析式得$y=a·1^2 -2·1 +1=a-1$
因为$a＜1$，所以$y=a-1＜0$，即抛物线在$x=1$处的点在$x$轴下方，结合抛物线过$(0,1)$（$x$轴上方），可知必有一个交点在$(0,0)$与$(1,0)$之间，故②正确。
③ 先求过点$(2,0)$、$(0,2)$的直线解析式：设为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0=2k+b\\2=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，即直线解析式为$y=-x+2$
抛物线$y=ax^2-2x+1$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，顶点纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·1 - (-2)^2}{4a}=\frac{4a-4}{4a}=1-\frac{1}{a}$
点$(0,0)$、$(2,0)$、$(0,2)$围成的三角形区域为第一象限内直线$y=-x+2$下方的区域（含边界），因此顶点需满足：
横坐标范围：$0≤\frac{1}{a}≤2$，得$a≥\frac{1}{2}$
纵坐标范围：$0≤1-\frac{1}{a}≤ - \frac{1}{a} + 2$
解左边的不等式$1-\frac{1}{a}≥0$，得$\frac{a-1}{a}≥0$，结合$a＞0$（横坐标$\frac{1}{a}≥0$且$a≠0$），得$a≥1$
右边的不等式$1-\frac{1}{a}≤ -\frac{1}{a}+2$化简得$1≤2$，恒成立
综上得$a≥1$，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
抛物线的性质，函数交点问题，二次函数顶点坐标
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要结合判别式、函数值的符号、不等式求解等知识逐一判断结论，侧重考查逻辑推理和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
19 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过原点和点$A(4,0)$.经过点A的直线与该二次函数图象交于点$B(1,3)$,与y轴交于点C.
(1) 求二次函数的表达式及点C的坐标.
(2) P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作$PE⊥x$轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.
① 当m为何值时,线段PD的长最大? 请求出该最大值.
② 是否存在点P,使得$△ BPD$与$△ AOC$相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求二次函数的表达式及点C的坐标.
(2) P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作$PE⊥x$轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.
① 当m为何值时,线段PD的长最大? 请求出该最大值.
② 是否存在点P,使得$△ BPD$与$△ AOC$相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
19. (1) $\because$ 二次函数的图象经过点$O(0,0),A(4,0),B(1,3)$,$\therefore$ 将三点坐标代入二次函数的表达式,得$\begin{cases}0=c,\\0=16a+4b+c,\\3=a+b+c,\end{cases}$ 得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\\c=0.\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+4x$. 设直线$AB$对应的函数表达式为$y=kx+n$. 将$A,B$两点的坐标代入,得$\begin{cases}0=4k+n,\\3=k+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\n=4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+4. \because C$是直线$AB$与$y$轴的交点,$\therefore$ 令$x=0$,则$y=4. \therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)$ (2) ① $\because$ 点$P$在直线$AB$上方,$\therefore 1＜m＜4$. 由题意,知$P(m,-m^2+4m)$,$D(m,-m+4)$,则$PD=y_P-y_D=-m^2+4m+m-4=-m^2+5m-4=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}. \because -1＜0$,$\therefore$ 当$m=\frac{5}{2}$时,线段$PD$的长最大,最大值是$\frac{9}{4}$ ② 存在 $\because PE⊥ x$轴,$OC⊥ x$轴,$\therefore OC// PE. \therefore ∠ BDP=∠ ACO. \because △ AOC$是直角三角形,$\therefore$ 要使$△ BPD$与$△ AOC$相似,只要保证$△ BPD$是直角三角形即可.$\because ∠ BDP≠90°$,$\therefore$ 分两种情况讨论.
当$△ BPD∽△ AOC$时,$\because ∠ AOC=90°$,$\therefore ∠ BPD=90°$,此时$BP// x$轴.$\therefore$ 点$B,P$关于该二次函数图象的对称轴对称. $\therefore$ 易得点$P$的坐标为$(3,3)$. 当$△ PBD∽△ AOC$时,$∠ PBD=∠ AOC=90°$,则$AB⊥ PB$. 延长$PB$交$x$轴于点$F$,过点$B$作$BG⊥ x$轴于点$G$. 由$OA=OC=4$,$∠ AOC=90°$,得$∠ OAC=45°$. 又$\because AB⊥ PB$,$\therefore ∠ BFA=45°$. 又$\because B(1,3)$,$∠ BGF=90°$,$\therefore BG=FG=3. \therefore F(-2,0). \therefore$ 易得直线$BP$对应的函数表达式为$y=x+2$. 联立$\begin{cases}y=-x^2+4x,\\y=x+2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=4.\end{cases}$ $\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,4)$. 综上所述,存在点$P$,使得$△ BPD$与$△ AOC$相似,此时点$P$的坐标为$(3,3)$或$(2,4)$解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式可利用待定系数法，将已知的O、A、B三点坐标代入二次函数一般式求解即可；求点C坐标需先通过A、B两点求出直线AB的解析式，再令x=0计算即可得到C点坐标。
(2) ① 点P、D横坐标均为m，可分别用含m的式子表示两点纵坐标，PD长度为P点纵坐标减去D点纵坐标，整理可得关于m的二次函数，通过配方法即可求最值，注意m的取值范围为1＜m＜4。
② 先由OC//PE可得∠BDP=∠ACO，已知△AOC为直角三角形，因此只需△BPD为直角三角形即可满足相似条件，分两种情况讨论：第一种∠BPD=90°，此时BP平行于x轴，利用抛物线对称性可求P点坐标；第二种∠PBD=90°，先求出直线BP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数的图象经过点$O(0,0),A(4,0),B(1,3)$，
$\therefore$ 将三点坐标代入二次函数的表达式$y=ax^2+bx+c$，得$\begin{cases}0=c,\\0=16a+4b+c,\\3=a+b+c,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\\c=0.\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+4x$。
设直线$AB$对应的函数表达式为$y=kx+n$。将$A,B$两点的坐标代入，得$\begin{cases}0=4k+n,\\3=k+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\n=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+4$。
$\because C$是直线$AB$与$y$轴的交点，$\therefore$ 令$x=0$，则$y=4$。
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)$。
(2) ① $\because$ 点$P$在直线$AB$上方，$\therefore 1＜m＜4$。
由题意，知$P(m,-m^2+4m)$，$D(m,-m+4)$，
则$PD=y_P-y_D=-m^2+4m-(-m+4)=-m^2+5m-4=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$。
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$m=\frac{5}{2}$时，线段$PD$的长最大，最大值是$\frac{9}{4}$。
② 存在。
$\because PE⊥ x$轴，$OC⊥ x$轴，$\therefore OC// PE$，
$\therefore ∠ BDP=∠ ACO$。
$\because △ AOC$是直角三角形，
$\therefore$ 要使$△ BPD$与$△ AOC$相似，只要保证$△ BPD$是直角三角形即可。
$\because ∠ BDP≠90°$，$\therefore$ 分两种情况讨论。
当$△ BPD∽△ AOC$时，$\because ∠ AOC=90°$，$\therefore ∠ BPD=90°$，此时$BP// x$轴。
$\therefore$ 点$B,P$关于该二次函数图象的对称轴对称，二次函数对称轴为直线$x=2$，可得P点横坐标为3，代入抛物线解析式得$y=3$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,3)$。
当$△ PBD∽△ AOC$时，$∠ PBD=∠ AOC=90°$，则$AB⊥ PB$。
延长$PB$交$x$轴于点$F$，过点$B$作$BG⊥ x$轴于点$G$。
由$OA=OC=4$，$∠ AOC=90°$，得$∠ OAC=45°$。
又$\because AB⊥ PB$，$\therefore ∠ BFA=45°$。
又$\because B(1,3)$，$∠ BGF=90°$，$\therefore BG=FG=3$，$\therefore F(-2,0)$。
易得直线$BP$对应的函数表达式为$y=x+2$。
联立$\begin{cases}y=-x^2+4x,\\y=x+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$（为点B，舍去）或$\begin{cases}x=2,\\y=4.\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,4)$。
综上所述，存在点$P$，使得$△ BPD$与$△ AOC$相似，此时点$P$的坐标为$(3,3)$或$(2,4)$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x}$，点C的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；
(2) ① 当$\boldsymbol{m=\frac{5}{2}}$时，线段PD的长最大，最大值为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$；
② 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(2,4)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数、几何结合的综合题，考查了基础的函数解析式求解、二次函数最值计算，也考查了分类讨论思想在相似问题中的应用，解题时需结合图形分析角的等量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数表达式可利用待定系数法，将已知的O、A、B三点坐标代入二次函数一般式求解即可；求点C坐标需先通过A、B两点求出直线AB的解析式，再令x=0计算即可得到C点坐标。
(2) ① 点P、D横坐标均为m，可分别用含m的式子表示两点纵坐标，PD长度为P点纵坐标减去D点纵坐标，整理可得关于m的二次函数，通过配方法即可求最值，注意m的取值范围为1＜m＜4。
② 先由OC//PE可得∠BDP=∠ACO，已知△AOC为直角三角形，因此只需△BPD为直角三角形即可满足相似条件，分两种情况讨论：第一种∠BPD=90°，此时BP平行于x轴，利用抛物线对称性可求P点坐标；第二种∠PBD=90°，先求出直线BP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数的图象经过点$O(0,0),A(4,0),B(1,3)$，
$\therefore$ 将三点坐标代入二次函数的表达式$y=ax^2+bx+c$，得$\begin{cases}0=c,\\0=16a+4b+c,\\3=a+b+c,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\\c=0.\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+4x$。
设直线$AB$对应的函数表达式为$y=kx+n$。将$A,B$两点的坐标代入，得$\begin{cases}0=4k+n,\\3=k+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\n=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+4$。
$\because C$是直线$AB$与$y$轴的交点，$\therefore$ 令$x=0$，则$y=4$。
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)$。
(2) ① $\because$ 点$P$在直线$AB$上方，$\therefore 1＜m＜4$。
由题意，知$P(m,-m^2+4m)$，$D(m,-m+4)$，
则$PD=y_P-y_D=-m^2+4m-(-m+4)=-m^2+5m-4=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$。
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$m=\frac{5}{2}$时，线段$PD$的长最大，最大值是$\frac{9}{4}$。
② 存在。
$\because PE⊥ x$轴，$OC⊥ x$轴，$\therefore OC// PE$，
$\therefore ∠ BDP=∠ ACO$。
$\because △ AOC$是直角三角形，
$\therefore$ 要使$△ BPD$与$△ AOC$相似，只要保证$△ BPD$是直角三角形即可。
$\because ∠ BDP≠90°$，$\therefore$ 分两种情况讨论。
当$△ BPD∽△ AOC$时，$\because ∠ AOC=90°$，$\therefore ∠ BPD=90°$，此时$BP// x$轴。
$\therefore$ 点$B,P$关于该二次函数图象的对称轴对称，二次函数对称轴为直线$x=2$，可得P点横坐标为3，代入抛物线解析式得$y=3$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,3)$。
当$△ PBD∽△ AOC$时，$∠ PBD=∠ AOC=90°$，则$AB⊥ PB$。
延长$PB$交$x$轴于点$F$，过点$B$作$BG⊥ x$轴于点$G$。
由$OA=OC=4$，$∠ AOC=90°$，得$∠ OAC=45°$。
又$\because AB⊥ PB$，$\therefore ∠ BFA=45°$。
又$\because B(1,3)$，$∠ BGF=90°$，$\therefore BG=FG=3$，$\therefore F(-2,0)$。
易得直线$BP$对应的函数表达式为$y=x+2$。
联立$\begin{cases}y=-x^2+4x,\\y=x+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$（为点B，舍去）或$\begin{cases}x=2,\\y=4.\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,4)$。
综上所述，存在点$P$，使得$△ BPD$与$△ AOC$相似，此时点$P$的坐标为$(3,3)$或$(2,4)$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x}$，点C的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；
(2) ① 当$\boldsymbol{m=\frac{5}{2}}$时，线段PD的长最大，最大值为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$；
② 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(2,4)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数、几何结合的综合题，考查了基础的函数解析式求解、二次函数最值计算，也考查了分类讨论思想在相似问题中的应用，解题时需结合图形分析角的等量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
