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11 [2025大庆]某地博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W元,每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1) 求每个A纪念品、B纪念品的成本;
(2) 当a为何值时,每天的利润最大?
(1) 求每个A纪念品、B纪念品的成本;
(2) 当a为何值时,每天的利润最大?
答案
11. (1) 设每个A纪念品的成本为$x$元,每个B纪念品的成本为$y$元. 根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=155,\\4x+y=135,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=25,\\y=35.\end{cases}$ $\therefore$ 每个A纪念品的成本为25元,每个B纪念品的成本为35元 (2) 由题意可知,每套纪念品的成本为$25+35=60$(元),售价为$a$元,$\therefore$ 每套纪念品的利润为$(a-60)$元. 由题意,得销售量为$80+10(72-a)=(800-10a)$套,$\therefore W=(a-60)(800-10a)=-10a^2+1400a-48000=-10(a-70)^2+1000. \because 65≤ a≤72$且$a$为整数,$\therefore$ 当$a=70$时,每天的利润最大
解析
【分析】
(1) 题目给出两种A、B文创纪念品组合的成本和，存在两个未知量、两个等量关系，因此采用二元一次方程组求解：分别设A、B纪念品的成本为未知数，将两个成本条件转化为二元一次方程，联立求解即可得到两个纪念品的成本。
(2) 本题为销售利润问题，核心公式为“总利润=单套利润×销售量”：首先计算单套纪念品的成本，再根据售价和销量的变化规律得到售价为a时的销售量，代入公式得到利润W关于a的二次函数，结合二次函数的开口方向、自变量a的取值范围，即可求出利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为$x$元，每个B纪念品的成本为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=155\\4x+y=135\end{cases}$
对第二个方程变形得$y=135-4x$，代入第一个方程：
$2x+3(135-4x)=155$
$2x+405-12x=155$
$-10x=-250$
解得$x=25$，代入$y=135-4x$得$y=135-4×25=35$。
$\therefore$ 每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，售价为$a$元时，单套利润为$(a-60)$元。
已知售价为72元时销量为80套，每降价1元销量增加10套，因此售价为$a$元时，销量为$80+10(72-a)=800-10a$套。
总利润$W=(a-60)(800-10a)$，展开并配方：
$W=-10a^2+1400a-48000=-10(a-70)^2+1000$
$\because$ 二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，且$65≤a≤72$，$a$为整数，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$ 当$a=70$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本为25元，每个B纪念品成本为35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合文创热点设置情境，综合考察了方程与函数的实际应用能力。第一问较为基础，考察二元一次方程组的列解能力；第二问是典型的销售利润问题，需要理清售价、销量、利润之间的数量关系，正确列出函数表达式，再结合自变量取值范围求最值，能够有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出两种A、B文创纪念品组合的成本和，存在两个未知量、两个等量关系，因此采用二元一次方程组求解：分别设A、B纪念品的成本为未知数，将两个成本条件转化为二元一次方程，联立求解即可得到两个纪念品的成本。
(2) 本题为销售利润问题，核心公式为“总利润=单套利润×销售量”：首先计算单套纪念品的成本，再根据售价和销量的变化规律得到售价为a时的销售量，代入公式得到利润W关于a的二次函数，结合二次函数的开口方向、自变量a的取值范围，即可求出利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为$x$元，每个B纪念品的成本为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=155\\4x+y=135\end{cases}$
对第二个方程变形得$y=135-4x$，代入第一个方程：
$2x+3(135-4x)=155$
$2x+405-12x=155$
$-10x=-250$
解得$x=25$，代入$y=135-4x$得$y=135-4×25=35$。
$\therefore$ 每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，售价为$a$元时，单套利润为$(a-60)$元。
已知售价为72元时销量为80套，每降价1元销量增加10套，因此售价为$a$元时，销量为$80+10(72-a)=800-10a$套。
总利润$W=(a-60)(800-10a)$，展开并配方：
$W=-10a^2+1400a-48000=-10(a-70)^2+1000$
$\because$ 二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，且$65≤a≤72$，$a$为整数，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$ 当$a=70$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本为25元，每个B纪念品成本为35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合文创热点设置情境，综合考察了方程与函数的实际应用能力。第一问较为基础，考察二元一次方程组的列解能力；第二问是典型的销售利润问题，需要理清售价、销量、利润之间的数量关系，正确列出函数表达式，再结合自变量取值范围求最值，能够有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
12 如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,过点F作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.
(1) 求证:FH=ED;
(2) 当AE长为何值时,△AEF的面积最大?
(1) 求证:FH=ED;
(2) 当AE长为何值时,△AEF的面积最大?
答案
12. (1) $\because$ 四边形$CEFG$是正方形,$\therefore EF=CE,∠ CEF=90°$.$\therefore ∠ FEH+∠ CED=90°. \because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ D=90°. \therefore ∠ CED+∠ ECD=90°. \therefore ∠ FEH=∠ ECD. \because FH⊥ AD,\therefore ∠ FHE=90°. \therefore ∠ FHE=∠ D. \therefore △ FEH≌△ ECD$.$\therefore FH=ED$ (2) 设$AE=a$,则$ED=FH=4-a. \therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2}AE· FH=\frac{1}{2}a(4-a)=-\frac{1}{2}(a-2)^2+2. \because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$a=2$时,$S_{△ AEF}$取得最大值,即当$AE=2$时,$△ AEF$的面积最大
解析
【分析】
(1) 要证FH=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：观察可知FH在△FEH中，ED在△ECD中，结合正方形性质可得EF=CE、∠CEF=90°，结合矩形的直角，利用同角的余角相等可推出两组对应角相等，即可证△FEH≌△ECD，从而得到对应边相等。
(2) 求△AEF面积的最大值，可先设AE的长为自变量，结合第一问的结论FH=ED，用含自变量的式子表示出△AEF的底和高，再根据三角形面积公式得到面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形CEFG是正方形，
∴ $EF=CE$，$∠CEF=90°$，
∴ $∠FEH + ∠CED = 90°$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠D = 90°$，
∴ $∠CED + ∠ECD = 90°$，
∴ $∠FEH = ∠ECD$，
∵ $FH⊥AD$，
∴ $∠FHE = 90° = ∠D$，
在$△ FEH$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠FHE=∠D \\∠FEH=∠ECD \\EF=CE\end{cases}$
∴ $△ FEH≌△ ECD$（AAS），
∴ $FH=ED$。
(2) 解：设$AE=a$，
∵ $AD=4$，
∴ $ED=AD - AE = 4 - a$，
由(1)可知$FH=ED=4 - a$，
∴ $△ AEF$的面积：
$S_{△AEF}=\frac{1}{2}·AE·FH=\frac{1}{2}a(4-a)$
$=-\frac{1}{2}a^2 + 2a$
$=-\frac{1}{2}(a-2)^2 + 2$，
∵ $-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 该二次函数开口向下，当$a=2$时，$S_{△AEF}$取得最大值2，
即当$AE=2$时，$△ AEF$的面积最大。
【答案】
(1) 证明成立，$FH=ED$；
(2) 当$AE=2$时，$△ AEF$的面积最大。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，第一问侧重考察全等三角形的构造与证明，需要熟练运用正方形、矩形的性质推导角的等量关系；第二问渗透函数思想，将几何中的最值问题转化为二次函数的最值问题求解，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证FH=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：观察可知FH在△FEH中，ED在△ECD中，结合正方形性质可得EF=CE、∠CEF=90°，结合矩形的直角，利用同角的余角相等可推出两组对应角相等，即可证△FEH≌△ECD，从而得到对应边相等。
(2) 求△AEF面积的最大值，可先设AE的长为自变量，结合第一问的结论FH=ED，用含自变量的式子表示出△AEF的底和高，再根据三角形面积公式得到面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形CEFG是正方形，
∴ $EF=CE$，$∠CEF=90°$，
∴ $∠FEH + ∠CED = 90°$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠D = 90°$，
∴ $∠CED + ∠ECD = 90°$，
∴ $∠FEH = ∠ECD$，
∵ $FH⊥AD$，
∴ $∠FHE = 90° = ∠D$，
在$△ FEH$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠FHE=∠D \\∠FEH=∠ECD \\EF=CE\end{cases}$
∴ $△ FEH≌△ ECD$（AAS），
∴ $FH=ED$。
(2) 解：设$AE=a$，
∵ $AD=4$，
∴ $ED=AD - AE = 4 - a$，
由(1)可知$FH=ED=4 - a$，
∴ $△ AEF$的面积：
$S_{△AEF}=\frac{1}{2}·AE·FH=\frac{1}{2}a(4-a)$
$=-\frac{1}{2}a^2 + 2a$
$=-\frac{1}{2}(a-2)^2 + 2$，
∵ $-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 该二次函数开口向下，当$a=2$时，$S_{△AEF}$取得最大值2，
即当$AE=2$时，$△ AEF$的面积最大。
【答案】
(1) 证明成立，$FH=ED$；
(2) 当$AE=2$时，$△ AEF$的面积最大。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，第一问侧重考察全等三角形的构造与证明，需要熟练运用正方形、矩形的性质推导角的等量关系；第二问渗透函数思想，将几何中的最值问题转化为二次函数的最值问题求解，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13 [2025武汉]某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力):
数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围).
(2) 羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到$2.8$ m?请说明理由.
(3) 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其飞行路线变为抛物线$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围).
(2) 羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到$2.8$ m?请说明理由.
(3) 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其飞行路线变为抛物线$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
答案
13. (1) 把$(2,2.3),(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$,得$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3,\\9a+3b+1.1=2.6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.1,\\b=0.8.\end{cases}$ $\therefore y=-0.1x^2+0.8x+1.1$ (2) 不能 理由: $\because y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$,$\therefore$ 当$x=4$时,$y$有最大值2.7. $\because 2.8＞2.7$,$\therefore$ 羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8 m. (3) $\because$ 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,$\therefore a=-0.1. \therefore y=-0.1x^2+kx+1.1. \because$ 羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,$\therefore$ 当$x=5$时,$y=-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$,解得$k＞0.7. \because$ 球的落地点与球网的水平距离小于6 m,$\therefore$ 当$x=11$时,$y=-0.1×11^2+11k+1.1＜0$,解得$k＜1. \therefore k$的取值范围是$0.7＜k＜1$
解析
【分析】
(1) 题目已给出含待定系数的二次函数解析式，常数项已知，只需选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，确定函数表达式。
(2) 判断飞行高度能否达到2.8m，只需先求出该二次函数的最大值，将最大值与2.8比较即可：若最大值≥2.8则能达到，反之不能，可通过配方将一般式转化为顶点式求最值。
(3) 抛物线形状不变则二次项系数a不变，先确定新抛物线的解析式；再根据两个实际限制条件列不等式：①球网距发球点5m，飞过球网时高度超过2.1m，即x=5时y＞2.1；②落地点距球网水平距离小于6m，即落地点水平坐标小于5+6=11，也就是x=11时y＜0；解两个不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 把$(2,2.3),(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3\\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}2a+b=0.6\\3a+b=0.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-0.1\\b=0.8\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
(2) 不能，理由如下：
将解析式配方得$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$，
$\because a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
$\because 2.8＞2.7$，$\therefore$羽毛球飞行高度不能达到2.8m。
(3) $\because$抛物线形状不变，$\therefore a=-0.1$，新抛物线解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
① 飞过球网时高度超过2.1m，即$x=5$时$y＞2.1$：
代入得$-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
② 落地点与球网水平距离小于6m，即$x=11$时$y＜0$：
代入得$-0.1×11^2+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$
(2) 不能，理由见解析
(3) $0.7＜k＜1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式应用
【点评】
本题以生活中的羽毛球运动为背景，考查二次函数的实际应用，既覆盖了二次函数解析式求解、最值计算等基础考点，也要求学生能将实际场景的限制条件转化为数学不等式求解，侧重考查知识的灵活应用能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.6
(1) 题目已给出含待定系数的二次函数解析式，常数项已知，只需选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，确定函数表达式。
(2) 判断飞行高度能否达到2.8m，只需先求出该二次函数的最大值，将最大值与2.8比较即可：若最大值≥2.8则能达到，反之不能，可通过配方将一般式转化为顶点式求最值。
(3) 抛物线形状不变则二次项系数a不变，先确定新抛物线的解析式；再根据两个实际限制条件列不等式：①球网距发球点5m，飞过球网时高度超过2.1m，即x=5时y＞2.1；②落地点距球网水平距离小于6m，即落地点水平坐标小于5+6=11，也就是x=11时y＜0；解两个不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 把$(2,2.3),(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3\\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}2a+b=0.6\\3a+b=0.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-0.1\\b=0.8\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
(2) 不能，理由如下：
将解析式配方得$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$，
$\because a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
$\because 2.8＞2.7$，$\therefore$羽毛球飞行高度不能达到2.8m。
(3) $\because$抛物线形状不变，$\therefore a=-0.1$，新抛物线解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
① 飞过球网时高度超过2.1m，即$x=5$时$y＞2.1$：
代入得$-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
② 落地点与球网水平距离小于6m，即$x=11$时$y＜0$：
代入得$-0.1×11^2+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$
(2) 不能，理由见解析
(3) $0.7＜k＜1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式应用
【点评】
本题以生活中的羽毛球运动为背景，考查二次函数的实际应用，既覆盖了二次函数解析式求解、最值计算等基础考点，也要求学生能将实际场景的限制条件转化为数学不等式求解，侧重考查知识的灵活应用能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.6
