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4 下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为$(1,-1)$的是（
A.$y=2(x+1)^2 -1$
B.$y=2(x-1)^2 -1$
C.$y=-2(x+1)^2 -1$
D.$y=-2(x-1)^2 -1$
D
）A.$y=2(x+1)^2 -1$
B.$y=2(x-1)^2 -1$
C.$y=-2(x+1)^2 -1$
D.$y=-2(x-1)^2 -1$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：一是二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；二是顶点坐标为$(h,k)$。解题时先根据开口向下的要求筛选出$a＜0$的选项，排除不符合的；再根据给出的顶点坐标匹配$h$、$k$的取值，即可选出正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，相关性质及解题步骤如下：
1. 筛选符合开口方向的选项：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题目要求图象开口向下，因此$a＜0$，选项A、B中$a=2＞0$，开口向上，直接排除A、B。
2. 匹配顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，题目要求顶点坐标为$(1,-1)$，即$h=1$，$k=-1$，对应解析式形式为$y=a(x-1)^2-1$。剩余选项中，C选项为$y=-2(x+1)^2-1$，对应$h=-1$，顶点横坐标为$-1$，不符合要求；D选项$y=-2(x-1)^2-1$，$a=-2＜0$开口向下，$h=1$、$k=-1$，顶点坐标为$(1,-1)$，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考查顶点式中参数$a$、$h$、$k$对应的图象特征，熟练掌握相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：一是二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；二是顶点坐标为$(h,k)$。解题时先根据开口向下的要求筛选出$a＜0$的选项，排除不符合的；再根据给出的顶点坐标匹配$h$、$k$的取值，即可选出正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，相关性质及解题步骤如下：
1. 筛选符合开口方向的选项：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题目要求图象开口向下，因此$a＜0$，选项A、B中$a=2＞0$，开口向上，直接排除A、B。
2. 匹配顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，题目要求顶点坐标为$(1,-1)$，即$h=1$，$k=-1$，对应解析式形式为$y=a(x-1)^2-1$。剩余选项中，C选项为$y=-2(x+1)^2-1$，对应$h=-1$，顶点横坐标为$-1$，不符合要求；D选项$y=-2(x-1)^2-1$，$a=-2＜0$开口向下，$h=1$、$k=-1$，顶点坐标为$(1,-1)$，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考查顶点式中参数$a$、$h$、$k$对应的图象特征，熟练掌握相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
5 [2025 陕西]已知二次函数 $y=ax^2+bx-3$（$a≠0$），当 $x＞0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，则下列结论正确的是（
A.$ab＜0$
B.该函数图象的顶点位于第四象限
C.方程 $ax^2+bx+1=0$ 没有实数根
D.该函数的最大值不小于$-3$
D
）A.$ab＜0$
B.该函数图象的顶点位于第四象限
C.方程 $ax^2+bx+1=0$ 没有实数根
D.该函数的最大值不小于$-3$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数x＞0时y随x增大而减小的性质，确定开口方向a＜0，再推导对称轴的取值范围，进而得到b的符号，最后结合二次函数顶点坐标、一元二次方程根的判别式、二次函数最值的相关知识，逐一判断四个选项的对错即可。
【解析】
1. 确定参数范围
二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，已知x＞0时y随x增大而减小，可得抛物线开口向下，即$a＜0$，且对称轴在y轴或y轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤0$。
将$a＜0$代入$-\frac{b}{2a}≤0$，不等号两边乘负数$2a$后方向改变，得$-b≥0$，即$b≤0$。
2. 逐一判断选项
A选项：$a＜0$，$b≤0$，因此$ab≥0$，A错误；
B选项：顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}≤0$，而第四象限点的横坐标为正，因此顶点不可能位于第四象限，B错误；
C选项：方程$ax^2+bx+1=0$的判别式$\Delta=b^2-4a$，由$a＜0$得$-4a＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，C错误；
D选项：抛物线开口向下，顶点处取得最大值，代入$c=-3$得最大值为：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-12a-b^2}{4a}=-3+\frac{b^2}{-4a}$
由$a＜0$得$-4a＞0$，又$b^2≥0$，因此$\frac{b^2}{-4a}≥0$，即最大值$≥-3$，也就是最大值不小于-3，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题的核心是先根据增减性确定参数a的符号和对称轴的范围，再结合相关知识点逐一推导验证选项，需要注意b可以取0、对称轴可以与y轴重合等边界情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据二次函数x＞0时y随x增大而减小的性质，确定开口方向a＜0，再推导对称轴的取值范围，进而得到b的符号，最后结合二次函数顶点坐标、一元二次方程根的判别式、二次函数最值的相关知识，逐一判断四个选项的对错即可。
【解析】
1. 确定参数范围
二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，已知x＞0时y随x增大而减小，可得抛物线开口向下，即$a＜0$，且对称轴在y轴或y轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤0$。
将$a＜0$代入$-\frac{b}{2a}≤0$，不等号两边乘负数$2a$后方向改变，得$-b≥0$，即$b≤0$。
2. 逐一判断选项
A选项：$a＜0$，$b≤0$，因此$ab≥0$，A错误；
B选项：顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}≤0$，而第四象限点的横坐标为正，因此顶点不可能位于第四象限，B错误；
C选项：方程$ax^2+bx+1=0$的判别式$\Delta=b^2-4a$，由$a＜0$得$-4a＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，C错误；
D选项：抛物线开口向下，顶点处取得最大值，代入$c=-3$得最大值为：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-12a-b^2}{4a}=-3+\frac{b^2}{-4a}$
由$a＜0$得$-4a＞0$，又$b^2≥0$，因此$\frac{b^2}{-4a}≥0$，即最大值$≥-3$，也就是最大值不小于-3，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题的核心是先根据增减性确定参数a的符号和对称轴的范围，再结合相关知识点逐一推导验证选项，需要注意b可以取0、对称轴可以与y轴重合等边界情况。
【难度系数】
0.6
6 [2024 贵州]如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象与$x$轴的一个交点的横坐标是$-3$，顶点坐标为$(-1,4)$，则下列说法正确的是
（
A.二次函数图象的对称轴是直线$x=1$
B.二次函数图象与$x$轴的另一个交点的横坐标是$2$
C.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.二次函数的图象与$y$轴交点的纵坐标是$3$
（
D
）A.二次函数图象的对称轴是直线$x=1$
B.二次函数图象与$x$轴的另一个交点的横坐标是$2$
C.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.二次函数的图象与$y$轴交点的纵坐标是$3$
答案
6. D
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，可先设顶点式求出函数解析式，再结合二次函数的对称轴、增减性、对称性以及与坐标轴交点的相关性质，逐一判断各选项是否正确。
【解析】
步骤1：设二次函数的顶点式
∵ 二次函数顶点坐标为$(-1,4)$
∴ 设二次函数解析式为$y=a(x+1)^2+4(a≠0)$
步骤2：代入已知点求参数$a$
∵ 函数图象过$x$轴上的点$(-3,0)$，将$x=-3,y=0$代入解析式得：
$0=a(-3+1)^2+4$
$4a+4=0$，解得$a=-1$
∴ 二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$
步骤3：逐一判断选项
选项A：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=-1$，不是直线$x=1$，故A错误；
选项B：二次函数图象与$x$轴的交点关于对称轴对称，已知一个交点横坐标为$-3$，到对称轴$x=-1$的距离为$|-1-(-3)|=2$，则另一个交点横坐标为$-1+2=1$，不是$2$，故B错误；
选项C：由$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，在对称轴左侧（即$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大，故C错误；
选项D：求与$y$轴交点，令$x=0$，代入解析式得$y=-(0+1)^2+4=3$，即与$y$轴交点纵坐标为$3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题重点考查二次函数的基础性质，通过顶点式求解析式是解题的突破口，熟练掌握二次函数的对称性、增减性等核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
已知二次函数的顶点坐标，可先设顶点式求出函数解析式，再结合二次函数的对称轴、增减性、对称性以及与坐标轴交点的相关性质，逐一判断各选项是否正确。
【解析】
步骤1：设二次函数的顶点式
∵ 二次函数顶点坐标为$(-1,4)$
∴ 设二次函数解析式为$y=a(x+1)^2+4(a≠0)$
步骤2：代入已知点求参数$a$
∵ 函数图象过$x$轴上的点$(-3,0)$，将$x=-3,y=0$代入解析式得：
$0=a(-3+1)^2+4$
$4a+4=0$，解得$a=-1$
∴ 二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$
步骤3：逐一判断选项
选项A：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=-1$，不是直线$x=1$，故A错误；
选项B：二次函数图象与$x$轴的交点关于对称轴对称，已知一个交点横坐标为$-3$，到对称轴$x=-1$的距离为$|-1-(-3)|=2$，则另一个交点横坐标为$-1+2=1$，不是$2$，故B错误；
选项C：由$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，在对称轴左侧（即$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大，故C错误；
选项D：求与$y$轴交点，令$x=0$，代入解析式得$y=-(0+1)^2+4=3$，即与$y$轴交点纵坐标为$3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题重点考查二次函数的基础性质，通过顶点式求解析式是解题的突破口，熟练掌握二次函数的对称性、增减性等核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7 [2025徐州]如图所示为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，有下列代数式：①$a$；②$2a+b$；③$c$；④$b^2-4ac$；⑤$a-b+c$.其中，值为负数的是
①②⑤
（填序号）.答案
7. ①②⑤
解析
【分析】我们可以结合二次函数的图象特征，逐个分析每个代数式的符号：先通过开口方向判断a的符号，再根据对称轴位置推导2a+b的符号，由抛物线与y轴交点判断c的符号，根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号，最后代入x=-1，通过该点的函数值判断a-b+c的符号，即可筛选出值为负数的代数式。
【解析】
①判断$a$的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，为负数；
②判断$2a+b$的符号：由图象可知抛物线对称轴在0和1之间，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，已知$a＜0$，不等式两边乘负数$2a$时不等号方向改变，可得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，为负数；
③判断$c$的符号：抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c＞0$，为正数；
④判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$，为正数；
⑤判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时对应点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，为负数。
综上，值为负数的是①②⑤。
【答案】①②⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【点评】本题是二次函数图象性质的常规考法，解题核心是建立图象特征（开口、对称轴、交点等）和代数式的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
①判断$a$的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，为负数；
②判断$2a+b$的符号：由图象可知抛物线对称轴在0和1之间，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，已知$a＜0$，不等式两边乘负数$2a$时不等号方向改变，可得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，为负数；
③判断$c$的符号：抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c＞0$，为正数；
④判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$，为正数；
⑤判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时对应点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，为负数。
综上，值为负数的是①②⑤。
【答案】①②⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【点评】本题是二次函数图象性质的常规考法，解题核心是建立图象特征（开口、对称轴、交点等）和代数式的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】0.7
8 [2025邵阳期末]如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象关于直线$x=2$对称,有下列结论:①$abc＜0$;②$b^2＞4ac$;③$16a+4b+c＞0$;④对于任意实数$k$,都有$ak^2+bk-4a-2b≥0$.其中,正确的是________(填序号).
答案
8. ②④
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像提取核心信息：开口方向确定a的符号，对称轴推导b与a的关系，与坐标轴交点确定c的符号和判别式情况，再结合二次函数对称性、最值性质逐一验证四个结论：①先判断a、b、c的符号再判断乘积符号；②由图像与x轴交点个数判断判别式大小；③利用对称性判断x=4时的函数值符号；④结合二次函数最小值的性质验证不等式。
【解析】
解：根据二次函数图像性质分析：
1. 提取基础信息：
抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，推导得$b=-4a＜0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$。
2. 逐一判断结论：
① $abc=a×(-4a)×c$，其中$a＞0,c＜0$，故乘积为正，即$abc＞0$，①错误；
② 抛物线与x轴有2个不同交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，②正确；
③ $16a+4b+c$是$x=4$时的函数值，由对称性可知：左侧交点横坐标在$-2∼0$之间，右侧交点横坐标为$4-x_1$（$x_1$为左侧交点横坐标，$x_1＜0$），因此右侧交点横坐标大于4，$x=4$位于右侧交点左侧，开口向上时该点函数值小于0，即$16a+4b+c＜0$，③错误；
④ 不等式$ak^2+bk-4a-2b≥0$可变形为$ak^2+bk+c≥4a+2b+c$，右侧是$x=2$时的函数值，因抛物线开口向上，$x=2$时取最小值，故对任意实数k，都有$ak^2+bk+c≥4a+2b+c$，即不等式成立，④正确。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数的最值、二次函数对称性
【点评】
本题重点考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数系数与图像特征的对应关系，灵活运用对称性、最值性质分析问题，易错点是对x=4时函数值的判断和对最值性质的变形应用。
【难度系数】
0.65
解题时先从二次函数图像提取核心信息：开口方向确定a的符号，对称轴推导b与a的关系，与坐标轴交点确定c的符号和判别式情况，再结合二次函数对称性、最值性质逐一验证四个结论：①先判断a、b、c的符号再判断乘积符号；②由图像与x轴交点个数判断判别式大小；③利用对称性判断x=4时的函数值符号；④结合二次函数最小值的性质验证不等式。
【解析】
解：根据二次函数图像性质分析：
1. 提取基础信息：
抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，推导得$b=-4a＜0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$。
2. 逐一判断结论：
① $abc=a×(-4a)×c$，其中$a＞0,c＜0$，故乘积为正，即$abc＞0$，①错误；
② 抛物线与x轴有2个不同交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，②正确；
③ $16a+4b+c$是$x=4$时的函数值，由对称性可知：左侧交点横坐标在$-2∼0$之间，右侧交点横坐标为$4-x_1$（$x_1$为左侧交点横坐标，$x_1＜0$），因此右侧交点横坐标大于4，$x=4$位于右侧交点左侧，开口向上时该点函数值小于0，即$16a+4b+c＜0$，③错误；
④ 不等式$ak^2+bk-4a-2b≥0$可变形为$ak^2+bk+c≥4a+2b+c$，右侧是$x=2$时的函数值，因抛物线开口向上，$x=2$时取最小值，故对任意实数k，都有$ak^2+bk+c≥4a+2b+c$，即不等式成立，④正确。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数的最值、二次函数对称性
【点评】
本题重点考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数系数与图像特征的对应关系，灵活运用对称性、最值性质分析问题，易错点是对x=4时函数值的判断和对最值性质的变形应用。
【难度系数】
0.65
9 已知抛物线$y=x^2+(a+1)x+a$.
(1) 若抛物线经过点$(-1,m)$,则$m$的值为
(2) 将抛物线$y=x^2+(a+1)x+a$向上平移2个单位长度,所得到的抛物线顶点的纵坐标的最大值是
(1) 若抛物线经过点$(-1,m)$,则$m$的值为
0
;(2) 将抛物线$y=x^2+(a+1)x+a$向上平移2个单位长度,所得到的抛物线顶点的纵坐标的最大值是
2
.答案
9. (1) 0 (2) 2
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此只需将点$(-1,m)$的横坐标代入抛物线解析式，计算得到的y值就是m的值；
(2) 先遵循“上加下减”的平移规则写出平移后的抛物线解析式，再通过配方法将解析式转化为顶点式，得到顶点纵坐标关于参数a的表达式，最后结合二次函数的性质即可求出纵坐标的最大值。
【解析】
(1) 把$x=-1$，$y=m$代入$y=x^2+(a+1)x+a$，得：
$\begin{aligned}m&=(-1)^2+(a+1)×(-1)+a\\&=1-a-1+a\\&=0\end{aligned}$
(2) 原抛物线向上平移2个单位后，新抛物线解析式为：
$y=x^2+(a+1)x+a+2$
将其配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+(a+1)x+(\frac{a+1}{2})^2 - (\frac{a+1}{2})^2 +a+2\\&=(x+\frac{a+1}{2})^2 + \frac{-(a+1)^2+4a+8}{4}\end{aligned}$
化简顶点纵坐标的表达式：
$\begin{aligned}\frac{-a^2-2a-1+4a+8}{4}&=\frac{-a^2+2a+7}{4}\\&=\frac{-(a-1)^2+8}{4}\\&=-\frac{1}{4}(a-1)^2+2\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，$\therefore$当$a=1$时，顶点纵坐标取最大值，最大值为2。
【答案】
(1) 0；(2) 2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考察对二次函数核心基础性质的运用，掌握点坐标与解析式的关系、平移规则和最值求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此只需将点$(-1,m)$的横坐标代入抛物线解析式，计算得到的y值就是m的值；
(2) 先遵循“上加下减”的平移规则写出平移后的抛物线解析式，再通过配方法将解析式转化为顶点式，得到顶点纵坐标关于参数a的表达式，最后结合二次函数的性质即可求出纵坐标的最大值。
【解析】
(1) 把$x=-1$，$y=m$代入$y=x^2+(a+1)x+a$，得：
$\begin{aligned}m&=(-1)^2+(a+1)×(-1)+a\\&=1-a-1+a\\&=0\end{aligned}$
(2) 原抛物线向上平移2个单位后，新抛物线解析式为：
$y=x^2+(a+1)x+a+2$
将其配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+(a+1)x+(\frac{a+1}{2})^2 - (\frac{a+1}{2})^2 +a+2\\&=(x+\frac{a+1}{2})^2 + \frac{-(a+1)^2+4a+8}{4}\end{aligned}$
化简顶点纵坐标的表达式：
$\begin{aligned}\frac{-a^2-2a-1+4a+8}{4}&=\frac{-a^2+2a+7}{4}\\&=\frac{-(a-1)^2+8}{4}\\&=-\frac{1}{4}(a-1)^2+2\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，$\therefore$当$a=1$时，顶点纵坐标取最大值，最大值为2。
【答案】
(1) 0；(2) 2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考察对二次函数核心基础性质的运用，掌握点坐标与解析式的关系、平移规则和最值求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10 [2025 绍兴越城期末]已知抛物线$y=x^2 -2bx + c$($b,c$为常数).
(1) 当$b=2,c=5$时.
① 求该抛物线的顶点坐标；
② 将该抛物线向下平移$h(h＞0)$个单位长度得到的新抛物线过点$(n,0)$,且$-1≤ n≤3$,请求出$h$的取值范围.
(2) 当$x≤ -1$时,$y$的最小值为$6$;当$x＞ -1$时,$y$的最小值为$2$.求该抛物线对应的函数表达式.
(1) 当$b=2,c=5$时.
① 求该抛物线的顶点坐标；
② 将该抛物线向下平移$h(h＞0)$个单位长度得到的新抛物线过点$(n,0)$,且$-1≤ n≤3$,请求出$h$的取值范围.
(2) 当$x≤ -1$时,$y$的最小值为$6$;当$x＞ -1$时,$y$的最小值为$2$.求该抛物线对应的函数表达式.
答案
10. (1) ① 当$b=2,c=5$时,$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$,$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标为$(2,1)$ ② 将抛物线 $y=x^2-4x+5$向下平移$h(h＞0)$个单位长度得到抛物线 $y=(x-2)^2+1-h$.$\because$ 新抛物线过点$(n,0),\therefore (n-2)^2+1-h=0. \therefore h=(n-2)^2+1. \because -1≤ n≤3,\therefore$ 当$n=2$时,$h$有最小值1;当$n=-1$时,$h$有最大值10. $\therefore h$的取值范围是$1≤ h≤10$ (2) 抛物线$y=x^2-2bx+c$ 的开口向上,对称轴为直线 $x=-\frac{-2b}{2×1}=b$.$\because$ 当$x≤-1$时,$y$的最小值为6;当$x＞-1$时,$y$的最小值为2,$\therefore b＞-1. \therefore$ 当$x=-1$时,$y=6$;当$x=b$时,$y=2$.$\therefore \begin{cases}1+2b+c=6,\\b^2-2b^2+c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=1,\\c=3\end{cases}$或$\begin{cases}b=-3,\\c=11\end{cases}$(舍去). $\therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x+3$
解析
【分析】
(1)① 已知b、c的具体取值，先代入得到抛物线的一般式，再通过配方法转化为顶点式，结合顶点式的结构特征直接读出顶点坐标即可。
(1)② 根据抛物线“上加下减”的平移规律写出平移后的解析式，将点$(n,0)$代入得到h关于n的二次函数关系，结合n的取值范围，求该二次函数在区间内的最值，即可得到h的取值范围。
(2) 先判断抛物线开口向上，对称轴为直线$x=b$，结合两段定义域内最小值不同，可推出对称轴$x=b$在$x=-1$右侧；据此可得$x≤-1$时最小值在$x=-1$处取得，$x＞-1$时最小值在对称轴$x=b$处取得，列方程组求解后舍去不符合题意的参数解，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1)① 当$b=2,c=5$时，抛物线解析式为$y=x^2-4x+5$，
配方得：$y=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1$，
∴该抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
② 将抛物线$y=(x-2)^2+1$向下平移$h(h＞0)$个单位，可得新抛物线解析式为$y=(x-2)^2+1-h$，
∵新抛物线过点$(n,0)$，代入得：$(n-2)^2+1-h=0$，
整理得$h=(n-2)^2+1$，
∵$-1≤n≤3$，该二次函数开口向上，对称轴为$n=2$，
∴当$n=2$时，h取得最小值，最小值为$0+1=1$；
当$n=-1$时，h取得最大值，最大值为$(-1-2)^2+1=10$，
∴h的取值范围是$1≤h≤10$。
(2) 抛物线$y=x^2-2bx+c$的二次项系数为1＞0，因此开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{-2b}{2×1}=b$，
∵当$x≤-1$时，y的最小值为6；当$x＞-1$时，y的最小值为2，
∴对称轴在$x=-1$的右侧，即$b＞-1$，
∴当$x≤-1$时，y随x的增大而减小，最小值在$x=-1$处取得，代入得$1+2b+c=6$；
当$x＞-1$时，y在对称轴$x=b$处取得最小值，代入得$-b^2+c=2$，
联立方程组$\begin{cases}1+2b+c=6\\-b^2+c=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=1\\c=3\end{cases}$或$\begin{cases}b=-3\\c=11\end{cases}$，
∵$b＞-1$，故舍去$\begin{cases}b=-3\\c=11\end{cases}$，
∴该抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x+3$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{(2,1)}$；② $\boldsymbol{1≤h≤10}$
(2) $\boldsymbol{y=x^2-2x+3}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象的平移；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的核心知识点，解题关键是熟练掌握配方法、图象平移规律，能结合函数单调性判断最值的取值位置，注意求解参数后要验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
(1)① 已知b、c的具体取值，先代入得到抛物线的一般式，再通过配方法转化为顶点式，结合顶点式的结构特征直接读出顶点坐标即可。
(1)② 根据抛物线“上加下减”的平移规律写出平移后的解析式，将点$(n,0)$代入得到h关于n的二次函数关系，结合n的取值范围，求该二次函数在区间内的最值，即可得到h的取值范围。
(2) 先判断抛物线开口向上，对称轴为直线$x=b$，结合两段定义域内最小值不同，可推出对称轴$x=b$在$x=-1$右侧；据此可得$x≤-1$时最小值在$x=-1$处取得，$x＞-1$时最小值在对称轴$x=b$处取得，列方程组求解后舍去不符合题意的参数解，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1)① 当$b=2,c=5$时，抛物线解析式为$y=x^2-4x+5$，
配方得：$y=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1$，
∴该抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
② 将抛物线$y=(x-2)^2+1$向下平移$h(h＞0)$个单位，可得新抛物线解析式为$y=(x-2)^2+1-h$，
∵新抛物线过点$(n,0)$，代入得：$(n-2)^2+1-h=0$，
整理得$h=(n-2)^2+1$，
∵$-1≤n≤3$，该二次函数开口向上，对称轴为$n=2$，
∴当$n=2$时，h取得最小值，最小值为$0+1=1$；
当$n=-1$时，h取得最大值，最大值为$(-1-2)^2+1=10$，
∴h的取值范围是$1≤h≤10$。
(2) 抛物线$y=x^2-2bx+c$的二次项系数为1＞0，因此开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{-2b}{2×1}=b$，
∵当$x≤-1$时，y的最小值为6；当$x＞-1$时，y的最小值为2，
∴对称轴在$x=-1$的右侧，即$b＞-1$，
∴当$x≤-1$时，y随x的增大而减小，最小值在$x=-1$处取得，代入得$1+2b+c=6$；
当$x＞-1$时，y在对称轴$x=b$处取得最小值，代入得$-b^2+c=2$，
联立方程组$\begin{cases}1+2b+c=6\\-b^2+c=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=1\\c=3\end{cases}$或$\begin{cases}b=-3\\c=11\end{cases}$，
∵$b＞-1$，故舍去$\begin{cases}b=-3\\c=11\end{cases}$，
∴该抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x+3$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{(2,1)}$；② $\boldsymbol{1≤h≤10}$
(2) $\boldsymbol{y=x^2-2x+3}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象的平移；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的核心知识点，解题关键是熟练掌握配方法、图象平移规律，能结合函数单调性判断最值的取值位置，注意求解参数后要验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
