登录
1.「2026天津滨海新区期中」对于二次函数$y=-2(x+3)^2$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向上
B.图象的对称轴是直线$x=-3$
C.当$x＞-4$时，y随x的增大而减小
D.图象的顶点坐标为$(-2,-3)$
B
）A.图象的开口向上
B.图象的对称轴是直线$x=-3$
C.当$x＞-4$时，y随x的增大而减小
D.图象的顶点坐标为$(-2,-3)$
答案
由$y=-2(x+3)^2$得抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-3$,顶点坐标为$(-3,0)$,当$x＜-3$时,y随x增大而增大,当$x＞-3$时,y随x增大而减小.故选B.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：第一步，先将给定的二次函数解析式整理为标准顶点式形式，确定参数$a$和$h$的值；第二步，根据$a$的正负判断开口方向，根据$h$的值确定对称轴和顶点坐标；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性；第四步，将推导得到的性质和四个选项逐一比对，选出正确选项。
【解析】
首先将$y=-2(x+3)^2$变形为标准顶点式：$y=-2[x-(-3)]^2$，可得$a=-2$，$h=-3$。
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此本题图象对称轴为直线$x=-3$，故B选项正确；
3. 判断顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此本题顶点坐标为$(-3,0)$，故D选项错误；
4. 判断增减性：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$，$\therefore$当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x＞-4$时，区间包含$-4＜x＜-3$和$x＞-3$两段，前一段$y$随$x$增大而增大，后一段$y$随$x$增大而减小，故C选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是熟练掌握顶点式$y=a(x-h)^2$中参数$a$、$h$对应的图象规律，解题时要注意$h$的符号，避免判断对称轴时出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：第一步，先将给定的二次函数解析式整理为标准顶点式形式，确定参数$a$和$h$的值；第二步，根据$a$的正负判断开口方向，根据$h$的值确定对称轴和顶点坐标；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性；第四步，将推导得到的性质和四个选项逐一比对，选出正确选项。
【解析】
首先将$y=-2(x+3)^2$变形为标准顶点式：$y=-2[x-(-3)]^2$，可得$a=-2$，$h=-3$。
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此本题图象对称轴为直线$x=-3$，故B选项正确；
3. 判断顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此本题顶点坐标为$(-3,0)$，故D选项错误；
4. 判断增减性：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$，$\therefore$当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x＞-4$时，区间包含$-4＜x＜-3$和$x＞-3$两段，前一段$y$随$x$增大而增大，后一段$y$随$x$增大而减小，故C选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是熟练掌握顶点式$y=a(x-h)^2$中参数$a$、$h$对应的图象规律，解题时要注意$h$的符号，避免判断对称轴时出错。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏苏州星海实验中学月考」若点$A(-3,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(2,y_3)$在二次函数$y=a(x+1)^2(a＞0)$的图象上，则下列结论中正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
由解析式可得抛物线对称轴为直线$x=-1$,开口向上,$\because |-3-(-1)|=2,|-2-(-1)|=1,|2-(-1)|=3$,$\therefore y_2＜y_1＜y_3$,故选B.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确该二次函数的基本性质：先由解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得到y值的大小关系。
【解析】
由二次函数$y=a(x+1)^2(a＞0)$可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三点横坐标到对称轴$x=-1$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-3-(-1)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-2-(-1)|=1$
点C到对称轴的距离：$|2-(-1)|=3$
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2＜y_1＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值大小比较；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是掌握开口方向与函数值、点到对称轴距离的关系，无需代入计算具体函数值，利用性质即可快速得出结果，能有效考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确该二次函数的基本性质：先由解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得到y值的大小关系。
【解析】
由二次函数$y=a(x+1)^2(a＞0)$可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三点横坐标到对称轴$x=-1$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-3-(-1)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-2-(-1)|=1$
点C到对称轴的距离：$|2-(-1)|=3$
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2＜y_1＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值大小比较；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是掌握开口方向与函数值、点到对称轴距离的关系，无需代入计算具体函数值，利用性质即可快速得出结果，能有效考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
3.「2026天津红桥期中改编」已知二次函数$y=-3(x-h)^2$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$h$的值可以是
1（答案不唯一）
（写出一个符合要求的值即可）。答案
1（答案不唯一）
解析 $\because y=-3(x-h)^2,-3＜0,\therefore$ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=h$,$\because$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore h≤1$,$\therefore h$的值可以是1(答案不唯一).
解析 $\because y=-3(x-h)^2,-3＜0,\therefore$ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=h$,$\because$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore h≤1$,$\therefore h$的值可以是1(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：第一步先根据$a$的符号判断抛物线开口方向，开口方向决定了对称轴两侧的增减性；第二步确定该函数的对称轴；第三步结合题目给出的“$x＞1$时$y$随$x$增大而减小”的条件，推导对称轴$x=h$和1的大小关系，最后写出一个满足大小关系的$h$的值即可。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=-3(x-h)^2$，其中$a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，在对称轴右侧，即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 对称轴$x=h$需满足$h≤1$，
因此$h$的值可以取1（答案不唯一，所有小于等于1的数均符合要求）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数顶点式的增减性应用，解题的核心是先根据开口方向明确增减性和对称轴的对应关系，再结合已知条件确定参数的取值范围，答案具有开放性，只要符合取值范围即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：第一步先根据$a$的符号判断抛物线开口方向，开口方向决定了对称轴两侧的增减性；第二步确定该函数的对称轴；第三步结合题目给出的“$x＞1$时$y$随$x$增大而减小”的条件，推导对称轴$x=h$和1的大小关系，最后写出一个满足大小关系的$h$的值即可。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=-3(x-h)^2$，其中$a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，在对称轴右侧，即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 对称轴$x=h$需满足$h≤1$，
因此$h$的值可以取1（答案不唯一，所有小于等于1的数均符合要求）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数顶点式的增减性应用，解题的核心是先根据开口方向明确增减性和对称轴的对应关系，再结合已知条件确定参数的取值范围，答案具有开放性，只要符合取值范围即可得分。
【难度系数】
0.8
4.已知抛物线$y=a(x-h)^2$，当$x=2$时，$y$有最大值，且抛物线过点$(1,-3)$。
(1)求抛物线的解析式.
(2)当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围.
(3)求抛物线与$y$轴的交点坐标.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围.
(3)求抛物线与$y$轴的交点坐标.
答案
(1)$\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$,当$x=2$时,$y$有最大值,
$\therefore a＜0$,抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2$,
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$,
$\therefore -3=a(1-2)^2$,解得$a=-3$,
$\therefore$ 此抛物线的解析式为$y=-3(x-2)^2$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,抛物线开口向下,
$\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$x=0$时,$y=-3×(0-2)^2=-12$,
$\therefore$ 抛物线$y=-3(x-2)^2$与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$.
$\therefore a＜0$,抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2$,
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$,
$\therefore -3=a(1-2)^2$,解得$a=-3$,
$\therefore$ 此抛物线的解析式为$y=-3(x-2)^2$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,抛物线开口向下,
$\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$x=0$时,$y=-3×(0-2)^2=-12$,
$\therefore$ 抛物线$y=-3(x-2)^2$与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$.
解析
【分析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，若函数存在最大值，说明抛物线开口向下，且最大值在顶点位置取得。已知$x=2$时$y$有最大值，可直接确定顶点横坐标$h=2$，再将已知点$(1,-3)$代入解析式，就能求出参数$a$，得到完整的抛物线解析式。
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：开口向下的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小。本题抛物线对称轴为直线$x=2$、开口向下，据此可推出$y$随$x$增大而增大的$x$取值范围。
(3) 抛物线与$y$轴交点的横坐标固定为0，只需将$x=0$代入解析式求出对应的$y$值，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$当$x=2$时，$y$有最大值，
$\therefore a＜0$，顶点横坐标$h=2$，抛物线解析式可写为$y=a(x-2)^2$，
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$，
$\therefore$ 将$(1,-3)$代入解析式得：$-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$，
$\therefore$ 此抛物线的解析式为$y=-3(x-2)^2$。
(2) $\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 令$x=0$，代入抛物线解析式得：
$y=-3×(0-2)^2=-12$，
$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$。
【答案】
(1) $y=-3(x-2)^2$
(2) $x＜2$
(3) $(0,-12)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题围绕二次函数$y=a(x-h)^2$的核心性质设题，解题关键是熟练掌握顶点式参数的意义、增减性判断规则，以及函数与坐标轴交点的求解方法。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，若函数存在最大值，说明抛物线开口向下，且最大值在顶点位置取得。已知$x=2$时$y$有最大值，可直接确定顶点横坐标$h=2$，再将已知点$(1,-3)$代入解析式，就能求出参数$a$，得到完整的抛物线解析式。
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：开口向下的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小。本题抛物线对称轴为直线$x=2$、开口向下，据此可推出$y$随$x$增大而增大的$x$取值范围。
(3) 抛物线与$y$轴交点的横坐标固定为0，只需将$x=0$代入解析式求出对应的$y$值，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$当$x=2$时，$y$有最大值，
$\therefore a＜0$，顶点横坐标$h=2$，抛物线解析式可写为$y=a(x-2)^2$，
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$，
$\therefore$ 将$(1,-3)$代入解析式得：$-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$，
$\therefore$ 此抛物线的解析式为$y=-3(x-2)^2$。
(2) $\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 令$x=0$，代入抛物线解析式得：
$y=-3×(0-2)^2=-12$，
$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$。
【答案】
(1) $y=-3(x-2)^2$
(2) $x＜2$
(3) $(0,-12)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题围绕二次函数$y=a(x-h)^2$的核心性质设题，解题关键是熟练掌握顶点式参数的意义、增减性判断规则，以及函数与坐标轴交点的求解方法。
【难度系数】
0.8
5.「2026广东广州天河期中，★☆」在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$和二次函数$y=b(x+k)^2$的大致图象可以是（
B
）答案
对于一次函数$y=kx+b$ 和二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象,①当$k＞0,b＞0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第一、二、三象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向上,对称轴在$y$轴左侧,没有选项符合题意;
②当$k＞0,b＜0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第一、三、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向下,对称轴在$y$轴左侧,没有选项符合题意;
③当$k＜0,b＞0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第一、二、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向上,对称轴在$y$轴右侧,选项B符合题意;
④当$k＜0,b＜0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第二、三、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向下,对称轴在$y$轴右侧,没有选项符合题意.故选B.
②当$k＞0,b＜0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第一、三、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向下,对称轴在$y$轴左侧,没有选项符合题意;
③当$k＜0,b＞0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第一、二、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向上,对称轴在$y$轴右侧,选项B符合题意;
④当$k＜0,b＜0$时,一次函数$y=kx+b$ 的图象过第二、三、四象限,二次函数$y=b(x+k)^2$ 的图象开口向下,对称轴在$y$轴右侧,没有选项符合题意.故选B.
解析
【分析】
本题是同参数的一次函数与二次函数图象匹配题，解题核心是两个函数中的参数$k$、$b$符号需同时满足两类函数的图象特征。我们可以通过分类讨论$k$、$b$的正负性，分别推导一次函数经过的象限、二次函数的开口方向和对称轴位置，再和选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分四种情况讨论$k$、$b$的符号：
① 当$k＞0,b＞0$时：一次函数$y=kx+b$斜率为正、截距为正，图象过第一、二、三象限；二次函数$y=b(x+k)^2$中$b＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-k＜0$，在$y$轴左侧，无符合题意的选项；
② 当$k＞0,b＜0$时：一次函数斜率为正、截距为负，图象过第一、三、四象限；二次函数$b＜0$，开口向下，对称轴$x=-k＜0$，在$y$轴左侧，无符合题意的选项；
③ 当$k＜0,b＞0$时：一次函数斜率为负、截距为正，图象过第一、二、四象限；二次函数$b＞0$，开口向上，对称轴$x=-k＞0$，在$y$轴右侧，选项B符合该特征；
④ 当$k＜0,b＜0$时：一次函数斜率为负、截距为负，图象过第二、三、四象限；二次函数$b＜0$，开口向下，对称轴$x=-k＞0$，在$y$轴右侧，无符合题意的选项。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数顶点式图象性质；参数一致性判断
【点评】
本题是典型的函数图象综合判断题，解题关键是抓住两个函数共有的参数$k$、$b$符号需一致的特点，结合两类函数的图象特征验证排除，能有效考查对函数性质的掌握程度和综合分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是同参数的一次函数与二次函数图象匹配题，解题核心是两个函数中的参数$k$、$b$符号需同时满足两类函数的图象特征。我们可以通过分类讨论$k$、$b$的正负性，分别推导一次函数经过的象限、二次函数的开口方向和对称轴位置，再和选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分四种情况讨论$k$、$b$的符号：
① 当$k＞0,b＞0$时：一次函数$y=kx+b$斜率为正、截距为正，图象过第一、二、三象限；二次函数$y=b(x+k)^2$中$b＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-k＜0$，在$y$轴左侧，无符合题意的选项；
② 当$k＞0,b＜0$时：一次函数斜率为正、截距为负，图象过第一、三、四象限；二次函数$b＜0$，开口向下，对称轴$x=-k＜0$，在$y$轴左侧，无符合题意的选项；
③ 当$k＜0,b＞0$时：一次函数斜率为负、截距为正，图象过第一、二、四象限；二次函数$b＞0$，开口向上，对称轴$x=-k＞0$，在$y$轴右侧，选项B符合该特征；
④ 当$k＜0,b＜0$时：一次函数斜率为负、截距为负，图象过第二、三、四象限；二次函数$b＜0$，开口向下，对称轴$x=-k＞0$，在$y$轴右侧，无符合题意的选项。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数顶点式图象性质；参数一致性判断
【点评】
本题是典型的函数图象综合判断题，解题关键是抓住两个函数共有的参数$k$、$b$符号需一致的特点，结合两类函数的图象特征验证排除，能有效考查对函数性质的掌握程度和综合分析能力。
【难度系数】
0.7
6. 学科$\frac{特色}{分类讨论思想}$「2026 山东烟台期中，★☆」已知二次函数$y=-(x-h)^2$（$h$为常数），当$2≤x≤5$时，函数$y$的最大值为$-1$，则$h$的值为
1或6
。答案
1或6
解析 当$h＜2$时,有$-(2-h)^2=-1$,解得$h=1$或$h=3$(舍去);当$2≤ h≤5$时,$y=-(x-h)^2$ 的最大值为0,不符合题意;当$h＞5$时,有$-(5-h)^2=-1$,解得$h=4$(舍去)或$h=6$.综上所述,$h$的值为1或6.
解析 当$h＜2$时,有$-(2-h)^2=-1$,解得$h=1$或$h=3$(舍去);当$2≤ h≤5$时,$y=-(x-h)^2$ 的最大值为0,不符合题意;当$h＞5$时,有$-(5-h)^2=-1$,解得$h=4$(舍去)或$h=6$.综上所述,$h$的值为1或6.
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的性质：开口向下，顶点坐标为$(h,0)$，函数最大值为0。题目给出$2≤x≤5$时函数最大值为-1，说明顶点不在该取值区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$x=h$与区间$[2,5]$的位置关系：①$h＜2$，②$2≤h≤5$，③$h＞5$，结合不同区间内函数的增减性确定取最大值的$x$值，代入列方程求解后，注意检验解是否符合对应分类的范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，区间$2≤x≤5$在对称轴$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时函数取得最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$
解得$h=1$或$h=3$，其中$h=3$不满足$h＜2$，舍去，故$h=1$；
2. 当$2≤h≤5$时，顶点$(h,0)$在取值区间内，此时函数的最大值为$0$，与题设最大值为$-1$矛盾，不符合题意，排除；
3. 当$h＞5$时，区间$2≤x≤5$在对称轴$x=h$的左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=5$时函数取得最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$
解得$h=6$或$h=4$，其中$h=4$不满足$h＞5$，舍去，故$h=6$。
综上所述，$h$的值为1或6。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是根据对称轴与给定自变量区间的位置关系分类讨论，求出解后要注意验证是否符合分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的性质：开口向下，顶点坐标为$(h,0)$，函数最大值为0。题目给出$2≤x≤5$时函数最大值为-1，说明顶点不在该取值区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$x=h$与区间$[2,5]$的位置关系：①$h＜2$，②$2≤h≤5$，③$h＞5$，结合不同区间内函数的增减性确定取最大值的$x$值，代入列方程求解后，注意检验解是否符合对应分类的范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，区间$2≤x≤5$在对称轴$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时函数取得最大值$-1$，代入得：
$-(2-h)^2=-1$
解得$h=1$或$h=3$，其中$h=3$不满足$h＜2$，舍去，故$h=1$；
2. 当$2≤h≤5$时，顶点$(h,0)$在取值区间内，此时函数的最大值为$0$，与题设最大值为$-1$矛盾，不符合题意，排除；
3. 当$h＞5$时，区间$2≤x≤5$在对称轴$x=h$的左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=5$时函数取得最大值$-1$，代入得：
$-(5-h)^2=-1$
解得$h=6$或$h=4$，其中$h=4$不满足$h＞5$，舍去，故$h=6$。
综上所述，$h$的值为1或6。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是根据对称轴与给定自变量区间的位置关系分类讨论，求出解后要注意验证是否符合分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
7.「2025河南信阳七中月考，★☆」如图，已知二次函数$y=(x+2)^2$的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB。
(1) 写出该抛物线的对称轴，并求点A，B的坐标。
(2) 求$S_{△ AOB}$。
(3) 在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？
(1) 写出该抛物线的对称轴，并求点A，B的坐标。
(2) 求$S_{△ AOB}$。
(3) 在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？
答案
(1)$\because y=(x+2)^2$,
$\therefore$ 对称轴为直线$x=-2$,
当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$(x+2)^2=0$,解得$x_1=x_2=-2$,$\therefore A(-2,0),B(0,4)$.
(2)$\because A(-2,0),B(0,4),\therefore OA=2,OB=4$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在,设$P(-2,m)$,
$\because A(-2,0),B(0,4),O(0,0)$,
$\therefore AP// OB$,
$\therefore$ 当$AP=OB$时,以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形,
$\therefore |m|=4$,
$\therefore m=\pm4$,
$\therefore P(-2,4)$或$P(-2,-4)$.
$\therefore$ 对称轴为直线$x=-2$,
当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$(x+2)^2=0$,解得$x_1=x_2=-2$,$\therefore A(-2,0),B(0,4)$.
(2)$\because A(-2,0),B(0,4),\therefore OA=2,OB=4$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在,设$P(-2,m)$,
$\because A(-2,0),B(0,4),O(0,0)$,
$\therefore AP// OB$,
$\therefore$ 当$AP=OB$时,以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形,
$\therefore |m|=4$,
$\therefore m=\pm4$,
$\therefore P(-2,4)$或$P(-2,-4)$.
解析
【分析】
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，据此可直接得到抛物线对称轴；求与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式求解即可得到A、B的坐标。
(2) $△ AOB$是直角三角形，直角顶点为原点O，OA、OB分别为两条直角边，先根据A、B坐标求出OA、OB的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(3) 首先抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此点P的横坐标固定为-2，可设$P(-2,m)$；观察点的坐标可知，A点也在直线$x=-2$上，O、B在y轴上，因此$AP// OB$，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需使$AP=OB$即可，据此列方程求解m的值，就能得到点P的坐标。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=(x+2)^2$，根据顶点式性质，对称轴为直线$x=-2$；
求点A坐标（x轴交点）：令$y=0$，则$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$，故$A(-2,0)$；
求点B坐标（y轴交点）：令$x=0$，则$y=(0+2)^2=4$，故$B(0,4)$。
(2) 由$A(-2,0)$可知$OA=|-2|=2$，由$B(0,4)$可知$OB=|4|=4$，
$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，因此面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 存在符合条件的点P，理由如下：
点P在抛物线对称轴$x=-2$上，设$P(-2,m)$，
已知$A(-2,0)$、$O(0,0)$、$B(0,4)$，可知AP是竖直线段，OB也是竖直线段，因此$AP// OB$，
根据平行四边形判定，当$AP=OB$时，四边形PAOB为平行四边形，
$AP$的长度为$|m-0|=|m|$，$OB=4$，因此$|m|=4$，
解得$m=4$或$m=-4$，
故点P的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=-2$，$A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $S_{△ AOB}=4$；
(3) 存在，点P坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，平行四边形判定
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，既考查了二次函数的基本性质、与坐标轴交点的求解方法，也结合了三角形面积计算和平行四边形的存在性探究，需要注意存在性问题要考虑所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，据此可直接得到抛物线对称轴；求与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式求解即可得到A、B的坐标。
(2) $△ AOB$是直角三角形，直角顶点为原点O，OA、OB分别为两条直角边，先根据A、B坐标求出OA、OB的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(3) 首先抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此点P的横坐标固定为-2，可设$P(-2,m)$；观察点的坐标可知，A点也在直线$x=-2$上，O、B在y轴上，因此$AP// OB$，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需使$AP=OB$即可，据此列方程求解m的值，就能得到点P的坐标。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=(x+2)^2$，根据顶点式性质，对称轴为直线$x=-2$；
求点A坐标（x轴交点）：令$y=0$，则$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$，故$A(-2,0)$；
求点B坐标（y轴交点）：令$x=0$，则$y=(0+2)^2=4$，故$B(0,4)$。
(2) 由$A(-2,0)$可知$OA=|-2|=2$，由$B(0,4)$可知$OB=|4|=4$，
$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，因此面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 存在符合条件的点P，理由如下：
点P在抛物线对称轴$x=-2$上，设$P(-2,m)$，
已知$A(-2,0)$、$O(0,0)$、$B(0,4)$，可知AP是竖直线段，OB也是竖直线段，因此$AP// OB$，
根据平行四边形判定，当$AP=OB$时，四边形PAOB为平行四边形，
$AP$的长度为$|m-0|=|m|$，$OB=4$，因此$|m|=4$，
解得$m=4$或$m=-4$，
故点P的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=-2$，$A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $S_{△ AOB}=4$；
(3) 存在，点P坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，平行四边形判定
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，既考查了二次函数的基本性质、与坐标轴交点的求解方法，也结合了三角形面积计算和平行四边形的存在性探究，需要注意存在性问题要考虑所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
