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9.「2026广东广州月考改编，★☆」点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3$上的点，且$|x_1|＞|x_2|$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
B
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
答案
∵ $|x_1|＞|x_2|$,
∴ $A(x_1,y_1)$到$y$轴的距离大于$B(x_2,y_2)$到$y$轴的距离,又抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3$开口向下,
∴ $y_1＜y_2$.故选B.
解析
【分析】
解题时首先分析给定二次函数的基本性质，先由二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再确定其对称轴；其次明确|x|的几何意义是点(x,y)到y轴的距离，也就是本题抛物线对称轴的距离；最后结合开口向下的抛物线的性质：离对称轴越远的点，对应的函数值越小，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
解：对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3$，其二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
已知$|x_1|＞|x_2|$，说明点$A(x_1,y_1)$到y轴的距离大于点$B(x_2,y_2)$到y轴的距离，因此$y_1＜y_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；2. 绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的基本性质，解题关键是结合开口方向，建立点到对称轴的距离与函数值大小的对应关系，熟练掌握二次函数图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先分析给定二次函数的基本性质，先由二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再确定其对称轴；其次明确|x|的几何意义是点(x,y)到y轴的距离，也就是本题抛物线对称轴的距离；最后结合开口向下的抛物线的性质：离对称轴越远的点，对应的函数值越小，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
解：对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3$，其二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
已知$|x_1|＞|x_2|$，说明点$A(x_1,y_1)$到y轴的距离大于点$B(x_2,y_2)$到y轴的距离，因此$y_1＜y_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；2. 绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的基本性质，解题关键是结合开口方向，建立点到对称轴的距离与函数值大小的对应关系，熟练掌握二次函数图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
10.「2025天津蓟州一中模拟，★☆」某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)如图所示.
某学习小组探究之后得出如下结论：
①水面宽度为30 m；②抛物线的解析式为$y=\frac{1}{25}x^2 -5$；③最大水深为3.2 m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的$\frac{1}{3}$.
其中正确结论的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
某学习小组探究之后得出如下结论：
①水面宽度为30 m；②抛物线的解析式为$y=\frac{1}{25}x^2 -5$；③最大水深为3.2 m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的$\frac{1}{3}$.
其中正确结论的个数为 (
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
①观察图形可知$CD=24\ \mathrm{m}$,即水面宽度为24 m,故①错误;②设抛物线的解析式为$y=ax^2-5$,将$(15,0)$代入,可得$a=\dfrac{1}{45}$,故$y=\dfrac{1}{45}x^2-5$,故②错误;③
∵ $y=\dfrac{1}{45}x^2-5$,
∴ 当$x=12$时,$y=-1.8$,
∴ 最大水深为$5-1.8=3.2(\mathrm{m})$,故③正确;④当水面宽度为12 m时,将$x=6$代入$y=\dfrac{1}{45}x^2-5$,得$y=-4.2$,可知此时最深处到水面的距离为$5-4.2=0.8(\mathrm{m})$,即为原来最大水深的$\dfrac{0.8}{3.2}=\dfrac{1}{4}$,故④错误.故选A.
∵ $y=\dfrac{1}{45}x^2-5$,
∴ 当$x=12$时,$y=-1.8$,
∴ 最大水深为$5-1.8=3.2(\mathrm{m})$,故③正确;④当水面宽度为12 m时,将$x=6$代入$y=\dfrac{1}{45}x^2-5$,得$y=-4.2$,可知此时最深处到水面的距离为$5-4.2=0.8(\mathrm{m})$,即为原来最大水深的$\dfrac{0.8}{3.2}=\dfrac{1}{4}$,故④错误.故选A.
解析
【分析】
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先根据抛物线特征（对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-5)）设出抛物线解析式，再利用已知点(15,0)通过待定系数法求出解析式，之后结合图像坐标信息逐一验证四个结论：①水面宽度对应C、D两点的水平距离，根据两点横坐标即可计算判断；②对比求出的解析式和结论中的解析式即可判断；③最大水深是池底最低点到水面的垂直距离，先求x=12时的y值，再计算垂直距离即可判断；④先求出水面宽度减半时对应的x值，代入解析式得到此时水面的y值，计算新的水深后和原水深对比即可判断。
【解析】
逐一验证4个结论：
① 由图可知，水面两端点C、D的横坐标分别为-12、12，水面宽度为$12-(-12)=24\ \mathrm{m}$，不是30m，故①错误；
② 设抛物线解析式为$y=ax^2-5$（抛物线顶点为(0,-5)，对称轴为y轴），将点B(15,0)代入得：$0=15^2a-5$，解得$a=\frac{1}{45}$，即抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2-5$，故②错误；
③ 当$x=12$时，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×12^2-5=-1.8$，即水面纵坐标为-1.8，池底最低点纵坐标为-5，最大水深为$|-5-(-1.8)|=3.2\ \mathrm{m}$，故③正确；
④ 水面宽度减少为原来的一半时，宽度为$24÷2=12\ \mathrm{m}$，此时水面端点横坐标为±6，将x=6代入解析式得$y=\frac{1}{45}×6^2-5=-4.2$，此时最大水深为$|-5-(-4.2)|=0.8\ \mathrm{m}$，$\frac{0.8}{3.2}=\frac{1}{4}$，即水深为原来的$\frac{1}{4}$，不是$\frac{1}{3}$，故④错误。
综上只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题以池塘截面为背景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，计算时要注意纵坐标的正负和实际距离的转换，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先根据抛物线特征（对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-5)）设出抛物线解析式，再利用已知点(15,0)通过待定系数法求出解析式，之后结合图像坐标信息逐一验证四个结论：①水面宽度对应C、D两点的水平距离，根据两点横坐标即可计算判断；②对比求出的解析式和结论中的解析式即可判断；③最大水深是池底最低点到水面的垂直距离，先求x=12时的y值，再计算垂直距离即可判断；④先求出水面宽度减半时对应的x值，代入解析式得到此时水面的y值，计算新的水深后和原水深对比即可判断。
【解析】
逐一验证4个结论：
① 由图可知，水面两端点C、D的横坐标分别为-12、12，水面宽度为$12-(-12)=24\ \mathrm{m}$，不是30m，故①错误；
② 设抛物线解析式为$y=ax^2-5$（抛物线顶点为(0,-5)，对称轴为y轴），将点B(15,0)代入得：$0=15^2a-5$，解得$a=\frac{1}{45}$，即抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2-5$，故②错误；
③ 当$x=12$时，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×12^2-5=-1.8$，即水面纵坐标为-1.8，池底最低点纵坐标为-5，最大水深为$|-5-(-1.8)|=3.2\ \mathrm{m}$，故③正确；
④ 水面宽度减少为原来的一半时，宽度为$24÷2=12\ \mathrm{m}$，此时水面端点横坐标为±6，将x=6代入解析式得$y=\frac{1}{45}×6^2-5=-4.2$，此时最大水深为$|-5-(-4.2)|=0.8\ \mathrm{m}$，$\frac{0.8}{3.2}=\frac{1}{4}$，即水深为原来的$\frac{1}{4}$，不是$\frac{1}{3}$，故④错误。
综上只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题以池塘截面为背景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，计算时要注意纵坐标的正负和实际距离的转换，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
11.「2025北京西城德胜中学期中，★☆」在平面直角坐标系中，点$A(-1,3),B(3,3)$，将抛物线$y=-x^2+1$向上平移$m$个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有交点，则$m$的取值范围为（
A.$m≥3$
B.$3≤m≤11$
C.$3≤m≤11$或$m=2$
D.$2≤m≤11$
D
）A.$m≥3$
B.$3≤m≤11$
C.$3≤m≤11$或$m=2$
D.$2≤m≤11$
答案
将抛物线$y=-x^2+1$向上平移$m$个单位后的解析式为$y=-x^2+1+m$,
∴ 平移后抛物线的顶点坐标为$(0,1+m)$,如图,当顶点落在线段$AB$上时,$1+m=3$,解得$m=2$,
如图,当抛物线向上移动,经过点$B(3,3)$时,$3=-9+1+m$,解得$m=11$,
如图,当抛物线经过点$A(-1,3)$时,$3=-1+1+m$,解得$m=3$.
∴ 当$2≤m≤11$时,函数图象与线段$AB$有交点.故选D.
解析
【分析】
解题首先根据二次函数“上加下减”的平移规律，写出平移后的抛物线解析式；观察线段AB可知其所有点纵坐标均为3，横坐标取值范围是-1≤x≤3，因此抛物线与线段AB有交点等价于存在x∈[-1,3]，使平移后抛物线的函数值为3；接下来找到三个临界位置：抛物线顶点落在线段AB上、抛物线经过点A、抛物线经过点B，分别计算对应m的值，再结合开口向下的抛物线的图象特点，即可确定m的取值范围。
【解析】
根据抛物线平移规律，将$y=-x^2+1$向上平移$m$个单位后，解析式为$y=-x^2+1+m$，平移后抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,1+m)$。
线段AB的纵坐标恒为3，横坐标范围为$-1≤ x≤ 3$：
1. 当抛物线顶点落在线段AB上时，顶点纵坐标等于3，即$1+m=3$，解得$m=2$，此时顶点横坐标$x=0$在$-1≤ x≤ 3$范围内，抛物线与线段AB有交点；
2. 当抛物线经过点$A(-1,3)$时，代入解析式得$3=-(-1)^2+1+m$，解得$m=3$；
3. 当抛物线经过点$B(3,3)$时，代入解析式得$3=-3^2+1+m$，解得$m=11$。
结合图象分析：当$2≤ m≤ 11$时，平移后的抛物线与线段AB存在交点，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数图象性质
3. 函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数的常见题型，解题的核心是先明确平移后的函数解析式，再结合线段的坐标特征找到所有临界情况，通过数形结合的方法确定参数的取值范围，避免遗漏顶点落在线段上的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题首先根据二次函数“上加下减”的平移规律，写出平移后的抛物线解析式；观察线段AB可知其所有点纵坐标均为3，横坐标取值范围是-1≤x≤3，因此抛物线与线段AB有交点等价于存在x∈[-1,3]，使平移后抛物线的函数值为3；接下来找到三个临界位置：抛物线顶点落在线段AB上、抛物线经过点A、抛物线经过点B，分别计算对应m的值，再结合开口向下的抛物线的图象特点，即可确定m的取值范围。
【解析】
根据抛物线平移规律，将$y=-x^2+1$向上平移$m$个单位后，解析式为$y=-x^2+1+m$，平移后抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,1+m)$。
线段AB的纵坐标恒为3，横坐标范围为$-1≤ x≤ 3$：
1. 当抛物线顶点落在线段AB上时，顶点纵坐标等于3，即$1+m=3$，解得$m=2$，此时顶点横坐标$x=0$在$-1≤ x≤ 3$范围内，抛物线与线段AB有交点；
2. 当抛物线经过点$A(-1,3)$时，代入解析式得$3=-(-1)^2+1+m$，解得$m=3$；
3. 当抛物线经过点$B(3,3)$时，代入解析式得$3=-3^2+1+m$，解得$m=11$。
结合图象分析：当$2≤ m≤ 11$时，平移后的抛物线与线段AB存在交点，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数图象性质
3. 函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数的常见题型，解题的核心是先明确平移后的函数解析式，再结合线段的坐标特征找到所有临界情况，通过数形结合的方法确定参数的取值范围，避免遗漏顶点落在线段上的特殊情况。
【难度系数】
0.7
12.「2026山东济宁学院附中月考，★☆」对于二次函数$y=2x^2 - 3$，当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是
$-3≤y≤5$
。答案
∵ 二次函数的解析式为$y=2x^2-3$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=0$,
∵ $a=2＞0$,
∴ 抛物线开口向上,
∵ $-1≤x≤2$,当$x=0$时,$y$取得最小值,为$-3$,当$x=-1$时,$y=-1$,当$x=2$时,$y=5$.
∴ 当$-1≤x≤2$时,$y$的取值范围是$-3≤y≤5$.
解析
【分析】
要求给定区间内二次函数y的取值范围，解题思路如下：第一步先明确二次函数的基本性质，由解析式可知该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$，再由$a$的正负判断开口方向；第二步判断最值位置：因为抛物线开口向上，顶点为函数的最低点，且顶点横坐标$x=0$在区间$[-1,2]$内，因此函数在$x=0$处取得最小值；第三步求最大值：开口向上的抛物线，在区间内离对称轴越远的点函数值越大，计算区间两个端点到对称轴的距离，再代入端点求出对应的y值，比较后得到最大值，最终即可确定y的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数的解析式为$y=2x^2-3$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=0$，
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
已知$-1≤x≤2$，
当$x=0$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小}}=2×0^2-3=-3$；
当$x=-1$时，代入得$y=2×(-1)^2-3=-1$；
当$x=2$时，代入得$y=2×2^2-3=5$；
比较得最大值为5，
∴ 当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤5$。
【答案】
$-3≤y≤5$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数最值、区间值域求解
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的取值范围求解，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的位置，注意不要直接仅代入区间端点计算最值，避免遗漏位于区间内的顶点最值。
【难度系数】
0.8
要求给定区间内二次函数y的取值范围，解题思路如下：第一步先明确二次函数的基本性质，由解析式可知该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$，再由$a$的正负判断开口方向；第二步判断最值位置：因为抛物线开口向上，顶点为函数的最低点，且顶点横坐标$x=0$在区间$[-1,2]$内，因此函数在$x=0$处取得最小值；第三步求最大值：开口向上的抛物线，在区间内离对称轴越远的点函数值越大，计算区间两个端点到对称轴的距离，再代入端点求出对应的y值，比较后得到最大值，最终即可确定y的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数的解析式为$y=2x^2-3$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=0$，
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
已知$-1≤x≤2$，
当$x=0$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小}}=2×0^2-3=-3$；
当$x=-1$时，代入得$y=2×(-1)^2-3=-1$；
当$x=2$时，代入得$y=2×2^2-3=5$；
比较得最大值为5，
∴ 当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤5$。
【答案】
$-3≤y≤5$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数最值、区间值域求解
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的取值范围求解，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的位置，注意不要直接仅代入区间端点计算最值，避免遗漏位于区间内的顶点最值。
【难度系数】
0.8
13. 核心素养模型观念【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备.其中抛物线形帐篷(图1)支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用.
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度$AB=4\ \mathrm{m}$，顶部高度$h=2\ \mathrm{m}$，于是他建立了平面直角坐标系(如图2所示)，请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线的表达式.
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$，宽度$CD=0.5\ \mathrm{m}$，若在帐篷内沿$AB$方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量.
【分析计算】现要设计一款抛物线形帐篷，要求顶部高度为$2.5\ \mathrm{m}$，且一排能容纳5张高为$1\ \mathrm{m}$，宽为$0.6\ \mathrm{m}$的椅子.设其抛物线形支架的形状值为$a(a＜0)$，请求出$a$的最小值.
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度$AB=4\ \mathrm{m}$，顶部高度$h=2\ \mathrm{m}$，于是他建立了平面直角坐标系(如图2所示)，请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线的表达式.
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$，宽度$CD=0.5\ \mathrm{m}$，若在帐篷内沿$AB$方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量.
【分析计算】现要设计一款抛物线形帐篷，要求顶部高度为$2.5\ \mathrm{m}$，且一排能容纳5张高为$1\ \mathrm{m}$，宽为$0.6\ \mathrm{m}$的椅子.设其抛物线形支架的形状值为$a(a＜0)$，请求出$a$的最小值.
答案
【建立模型】设抛物线的顶点为$M$.
∵ $AB=4\ \mathrm{m}$,$h=2\ \mathrm{m}$,
∴ $A(-2,0)$,$B(2,0)$,$M(0,2)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将点$A$,点$B$,点$M$的坐标代入得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\4a+2b+c=0,\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=0,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$.
【运用模型】
∵ 椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$,
∴ 令$y=0.72$,得$0.72=-\dfrac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=1.6$,$x_2=-1.6$,
$1.6+1.6=3.2(\mathrm{m})$,
∵ 椅子宽度为$0.5\ \mathrm{m}$,$3.2÷0.5=6.4$,椅子数量为正整数,
∴ 最多可摆放的椅子数量为6张.
【分析计算】根据题意设抛物线的函数关系式为$y=ax^2+2.5$,
∵ 一排能容纳5张高、宽分别为1 m和0.6 m的椅子,如图,
∴ 当$a$最小时,抛物线刚好经过点$F$,
∴ $y_F=1$,$x_F=\dfrac{5×0.6}{2}=\dfrac{3}{2}$,
∴ 抛物线$y=ax^2+2.5$经过点$F(\dfrac{3}{2},1)$,
即$1=a×(\dfrac{3}{2})^2+2.5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $a$的最小值为$-\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题分三个环节逐步求解：1. 建立模型环节：先根据帐篷的张开宽度和顶部高度，确定抛物线上A、B两点和顶点的坐标，设二次函数一般式，代入三个点的坐标求解系数，即可得到抛物线解析式。2. 运用模型环节：椅子高度对应抛物线上的y值，将y=0.72代入解析式求出对应的x的范围，得到可摆放椅子的总水平宽度，除以单把椅子宽度后去尾取正整数，即可得到最多摆放数量。3. 分析计算环节：新帐篷抛物线顶点为(0,2.5)，可设解析式为$y=ax^2+2.5$；要容纳5张椅子，总宽度为$5×0.6=3\mathrm{m}$，即最外侧椅子上端点的x坐标为$\frac{3}{2}$，此时y值至少为1m，当a最小时抛物线刚好经过该端点，代入坐标即可求出a的最小值。
【解析】
建立模型
设抛物线的顶点为$M$.
∵ $AB=4\ \mathrm{m}$,$h=2\ \mathrm{m}$,
∴ $A(-2,0)$,$B(2,0)$,$M(0,2)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将点$A$,点$B$,点$M$的坐标代入得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\4a+2b+c=0,\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=0,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$.
运用模型
∵ 椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$,
∴ 令$y=0.72$,得$0.72=-\dfrac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=1.6$,$x_2=-1.6$,
可摆放椅子的总水平宽度为$1.6+1.6=3.2(\mathrm{m})$,
∵ 椅子宽度为$0.5\ \mathrm{m}$,$3.2÷0.5=6.4$,椅子数量为正整数，剩余宽度不足以摆放1把椅子,
∴ 最多可摆放的椅子数量为6张.
分析计算
根据题意设抛物线的函数关系式为$y=ax^2+2.5$,
∵ 一排能容纳5张高、宽分别为1 m和0.6 m的椅子，如图，
∴ 当$a$最小时，抛物线刚好经过最外侧椅子的上端点$F$,
∴ $y_F=1$,$x_F=\dfrac{5×0.6}{2}=\dfrac{3}{2}$,
∴ 抛物线$y=ax^2+2.5$经过点$F(\dfrac{3}{2},1)$,
即$1=a×(\dfrac{3}{2})^2+2.5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $a$的最小值为$-\dfrac{2}{3}$.
【答案】
【建立模型】设抛物线的顶点为$M$.
∵ $AB=4\ \mathrm{m}$,$h=2\ \mathrm{m}$,
∴ $A(-2,0)$,$B(2,0)$,$M(0,2)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将点$A$,点$B$,点$M$的坐标代入得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\4a+2b+c=0,\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=0,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$.
【运用模型】
∵ 椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$,
∴ 令$y=0.72$,得$0.72=-\dfrac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=1.6$,$x_2=-1.6$,
$1.6+1.6=3.2(\mathrm{m})$,
∵ 椅子宽度为$0.5\ \mathrm{m}$,$3.2÷0.5=6.4$,椅子数量为正整数,
∴ 最多可摆放的椅子数量为6张.
【分析计算】根据题意设抛物线的函数关系式为$y=ax^2+2.5$,
∵ 一排能容纳5张高、宽分别为1 m和0.6 m的椅子,如图,
∴ 当$a$最小时,抛物线刚好经过点$F$,
∴ $y_F=1$,$x_F=\dfrac{5×0.6}{2}=\dfrac{3}{2}$,
∴ 抛物线$y=ax^2+2.5$经过点$F(\dfrac{3}{2},1)$,
即$1=a×(\dfrac{3}{2})^2+2.5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $a$的最小值为$-\dfrac{2}{3}$.
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题以露营帐篷为生活背景，考查二次函数的建模思想与实际应用能力，需要将现实中的长度、高度问题转化为二次函数中点的坐标问题，求解时要注意实际问题中结果的取值要符合现实意义，能有效锻炼数学建模与运算能力。
【难度系数】
0.65
本题分三个环节逐步求解：1. 建立模型环节：先根据帐篷的张开宽度和顶部高度，确定抛物线上A、B两点和顶点的坐标，设二次函数一般式，代入三个点的坐标求解系数，即可得到抛物线解析式。2. 运用模型环节：椅子高度对应抛物线上的y值，将y=0.72代入解析式求出对应的x的范围，得到可摆放椅子的总水平宽度，除以单把椅子宽度后去尾取正整数，即可得到最多摆放数量。3. 分析计算环节：新帐篷抛物线顶点为(0,2.5)，可设解析式为$y=ax^2+2.5$；要容纳5张椅子，总宽度为$5×0.6=3\mathrm{m}$，即最外侧椅子上端点的x坐标为$\frac{3}{2}$，此时y值至少为1m，当a最小时抛物线刚好经过该端点，代入坐标即可求出a的最小值。
【解析】
建立模型
设抛物线的顶点为$M$.
∵ $AB=4\ \mathrm{m}$,$h=2\ \mathrm{m}$,
∴ $A(-2,0)$,$B(2,0)$,$M(0,2)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将点$A$,点$B$,点$M$的坐标代入得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\4a+2b+c=0,\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=0,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$.
运用模型
∵ 椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$,
∴ 令$y=0.72$,得$0.72=-\dfrac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=1.6$,$x_2=-1.6$,
可摆放椅子的总水平宽度为$1.6+1.6=3.2(\mathrm{m})$,
∵ 椅子宽度为$0.5\ \mathrm{m}$,$3.2÷0.5=6.4$,椅子数量为正整数，剩余宽度不足以摆放1把椅子,
∴ 最多可摆放的椅子数量为6张.
分析计算
根据题意设抛物线的函数关系式为$y=ax^2+2.5$,
∵ 一排能容纳5张高、宽分别为1 m和0.6 m的椅子，如图，
∴ 当$a$最小时，抛物线刚好经过最外侧椅子的上端点$F$,
∴ $y_F=1$,$x_F=\dfrac{5×0.6}{2}=\dfrac{3}{2}$,
∴ 抛物线$y=ax^2+2.5$经过点$F(\dfrac{3}{2},1)$,
即$1=a×(\dfrac{3}{2})^2+2.5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $a$的最小值为$-\dfrac{2}{3}$.
【答案】
【建立模型】设抛物线的顶点为$M$.
∵ $AB=4\ \mathrm{m}$,$h=2\ \mathrm{m}$,
∴ $A(-2,0)$,$B(2,0)$,$M(0,2)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将点$A$,点$B$,点$M$的坐标代入得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\4a+2b+c=0,\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=0,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$.
【运用模型】
∵ 椅子高度$EC=0.72\ \mathrm{m}$,
∴ 令$y=0.72$,得$0.72=-\dfrac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=1.6$,$x_2=-1.6$,
$1.6+1.6=3.2(\mathrm{m})$,
∵ 椅子宽度为$0.5\ \mathrm{m}$,$3.2÷0.5=6.4$,椅子数量为正整数,
∴ 最多可摆放的椅子数量为6张.
【分析计算】根据题意设抛物线的函数关系式为$y=ax^2+2.5$,
∵ 一排能容纳5张高、宽分别为1 m和0.6 m的椅子,如图,
∴ 当$a$最小时,抛物线刚好经过点$F$,
∴ $y_F=1$,$x_F=\dfrac{5×0.6}{2}=\dfrac{3}{2}$,
∴ 抛物线$y=ax^2+2.5$经过点$F(\dfrac{3}{2},1)$,
即$1=a×(\dfrac{3}{2})^2+2.5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $a$的最小值为$-\dfrac{2}{3}$.
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题以露营帐篷为生活背景，考查二次函数的建模思想与实际应用能力，需要将现实中的长度、高度问题转化为二次函数中点的坐标问题，求解时要注意实际问题中结果的取值要符合现实意义，能有效锻炼数学建模与运算能力。
【难度系数】
0.65
