1.「2026山东烟台栖霞期中」对于二次函数$y=(x-1)^2+2$，下列叙述正确的是（）

A.图象的顶点坐标为$(-1,2)$
B.图象与$x$轴有两个交点
C.函数$y$有最大值2
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小

选项A,二次函数$y=(x-1)^2+2$的图象的顶点坐标为$(1,2)$,故说法错误；
选项B,令$y=0$,则$(x-1)^2+2=0$,该方程没有实数解，$\therefore$二次函数$y=(x-1)^2+2$的图象与$x$轴没有交点,故说法错误；
选项C,$\because$二次函数$y=(x-1)^2+2$的图象开口向上,顶点坐标为$(1,2)$,$\therefore$ 函数$y$有最小值,为2,故说法错误；
选项D,$\because$二次函数$y=(x-1)^2+2$的图象开口向上,对称轴直线为$x=1$,$\therefore$ 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,故说法正确.
故选 D.

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再依次对四个选项逐一验证，即可选出正确答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+2$，属于顶点式，其中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
选项A：顶点坐标为$(1,2)$，不是$(-1,2)$，故A说法错误；
选项B：令$y=0$，可得方程$(x-1)^2+2=0$，移项得$(x-1)^2=-2$，由于平方数具有非负性，该方程无实数解，因此图象与$x$轴没有交点，故B说法错误；
选项C：因函数图象开口向上，顶点为图象最低点，因此函数$y$有最小值2，没有最大值，故C说法错误；
选项D：函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在对称轴左侧即$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的范围，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数交点判断；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，重点考查对顶点式各参数对应性质的掌握，熟练记忆顶点、对称轴、开口方向与增减性、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 学科特色
教材变式「2026北京工大附中期中」在平面直角坐标系$xOy$中，将抛物线$y=-x^2$先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A.$y=(x+2)^2+3$
B.$y=-(x-2)^2+3$
C.$y=-(x+2)^2+3$
D.$y=-(x-2)^2-3$

根据“左加右减,上加下减”可得平移后的抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+3$,故选 B.

【分析】
遇到抛物线平移求解析式的问题，首先回忆二次函数图象平移的核心规则：“左加右减，上加下减”。需要明确两点：一是左右平移是针对自变量x本身的操作，向右平移要给x减平移距离，向左平移要给x加平移距离；二是上下平移是对整个函数解析式的操作，向上平移给整体加平移距离，向下平移给整体减平移距离。本题先处理向右平移2个单位的变换，再处理向上平移3个单位的变换，最终得到平移后的解析式，对应选项即可。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的法则：
1. 原抛物线为$y=-x^2$，先向右平移2个单位，根据“右减”规则，将自变量x替换为$x-2$，得到中间解析式：$y=-(x-2)^2$；
2. 再将上述抛物线向上平移3个单位，根据“上加”规则，给解析式整体加3，得到最终解析式：$y=-(x-2)^2+3$。
对应选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移法则
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，重点考查对平移法则的理解与应用，解题时需注意左右平移是对自变量x直接进行加减操作，避免混淆平移方向与加减符号即可快速得分。
【难度系数】
0.8

3.在坐标系中,画出二次函数$y=-(x-1)^2+2$的图象.观察所画图象,回答下列问题:
(1)求抛物线的顶点坐标与对称轴.
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?

画出函数图象如图.
(1)顶点坐标为$(1,2)$,对称轴为直线$x=1$.
(2)当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.

【分析】
解决本题首先要熟悉二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质：①画图时可先确定顶点、对称轴，再选取几组对称的点描点连线即可得到图象；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；③增减性由开口方向和对称轴共同决定：当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，按照这个思路逐步求解即可。
【解析】
首先绘制函数图象：
1. 确定二次函数$y=-(x-1)^2+2$的顶点为$(1,2)$，对称轴为直线$x=1$；
2. 选取对称点计算对应函数值：当$x=0$时，$y=-(0-1)^2+2=1$；当$x=2$时，$y=-(2-1)^2+2=1$；当$x=-1$时，$y=-(-1-1)^2+2=-2$；当$x=3$时，$y=-(3-1)^2+2=-2$；
3. 在坐标系中描出以上点，用平滑曲线连接得到抛物线图象。
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，对比本题函数$y=-(x-1)^2+2$，可得$h=1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(1,2)$，对称轴为直线$x=1$。
(2) 该函数中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下：
当$x＜1$（对称轴左侧）时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞1$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
画出函数图象如图.
(1)顶点坐标为$(1,2)$,对称轴为直线$x=1$.
(2)当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数图象绘制
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式的相关性质，属于基础题型，只要熟练掌握顶点式中各参数对应图象的特征，结合开口方向就能快速求解，是二次函数性质部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8

4.「2026江苏徐州邳州期中」关于二次函数$y=-x^2+2x+3$，下列结论正确的是（）

A.图象开口向上
B.图象的对称轴是直线$x=-1$
C.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.函数$y=-x^2+2x+3$的最大值为4

$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\because a=-1＜0$,$\therefore$ 二次函数的图象开口向下,选项 A 不正确;二次函数的图象的对称轴是直线$x=1$,故选项 B 不正确;$\because$ 二次函数的图象开口向下,对称轴是直线$x=1$,$\therefore$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,故选项 C 不正确;函数$y=-x^2+2x+3$的最大值为4,选项 D 正确.故选 D.

【分析】
要判断关于二次函数的结论是否正确，需先明确二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值等性质。首先可将给定的二次函数一般式配方为顶点式，再结合二次函数的性质逐一分析每个选项，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+4$
选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向下，A错误；
选项B：由顶点式可得，图象的对称轴是直线$x=1$，B错误；
选项C：$\because$ 图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。$x＜-1$属于$x＜1$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，C错误；
选项D：$\because$ 图象开口向下，顶点纵坐标为4，$\therefore$ 函数的最大值为4，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的核心是熟练掌握二次函数各项性质与解析式的对应关系，将一般式转化为顶点式可更直观快速地得到对称轴、最值等关键信息，从而高效判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8

5. 学科特色易错题「2026辽宁大连期中」将抛物线$y=x^2+2x$向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）

A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$

$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$.将抛物线$y=x^2+2x$向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为$y=(x+1)^2-3$,故选 A.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数平移的规律为“上加下减常数项，左加右减自变量”，且平移是针对顶点位置的变化，因此第一步要先把给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，再根据向下平移2个单位的要求调整顶点式的常数项，即可得到新抛物线的顶点式。
【解析】
首先对原抛物线的一般式进行配方，化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x\\&=x^2+2x+1-1\\&=(x+1)^2-1\end{aligned}$
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线向下平移2个单位，只需在原顶点式的常数项后减去2，可得新抛物线的解析式：
$y=(x+1)^2-1-2=(x+1)^2-3$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移类的基础易错题，易错点主要有两处：一是将一般式转化为顶点式时配方出错，二是混淆上下平移的加减规则，解题时牢记平移规律、规范配方步骤即可避免失误。
【难度系数】
0.7

6.(1)已知点$A(2,5)$,$B(4,5)$是抛物线$y=4x^2+bx+c$上的两点,则这条抛物线的对称轴为直线.
(2)如果抛物线$y=x^2+bx+2$的对称轴是直线$x=2$,那么$b$的值为.

(1)$\because A(2,5),B(4,5)$的横坐标不同,纵坐标相同，
$\therefore$ 点$A,B$关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{1}{2}×(2+4)=3$.
(2)$\because$ 抛物线$y=x^2+bx+2$的对称轴是直线$x=2$,
$\therefore -\frac{b}{2×1}=-\frac{b}{2}=2$,解得$b=-4$.

【分析】
(1) 首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标相同，根据二次函数的对称性可知，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，代入计算即可得到对称轴。
(2) 已知抛物线的一般式和对称轴，直接使用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入二次项系数a的值和已知的对称轴数值，解方程即可求出b的值。
【解析】
(1) $\because A(2,5),B(4,5)$的横坐标不同，纵坐标相同，
$\therefore$ 点$A,B$关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{1}{2}×(2+4)=3$。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2+bx+2$中二次项系数$a=1$，且对称轴是直线$x=2$，
$\therefore$ 代入对称轴公式得$-\frac{b}{2×1}=2$，解得$b=-4$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$-4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性和对称轴公式，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

7.「2026浙江温州二中月考」已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.$a＞0,b＞0,c＞0$
B.$a＜0,b＜0,c＞0$
C.$a＜0,b＞0,c＞0$
D.$a＞0,b＜0,c＜0$

$\because$ 图象开口向下,$\therefore a＜0$,
$\because$ 抛物线与$y$轴的交点在$y$轴正半轴上,$\therefore c＞0$,
$\because$ 对称轴在$y$轴右侧,
$\therefore -\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＞0$.
故选 C.

【分析】
要解这道题，需结合二次函数图象的特征分三步判断系数a、b、c的符号：第一步先根据抛物线开口方向确定a的符号；第二步根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号；第三步根据对称轴的位置，结合a的符号，利用对称轴公式推导b的符号，最后匹配选项得到答案即可。
【解析】
解：①判断a的符号：
∵ 抛物线图象开口向下，
∴ $a＜0$。
②判断c的符号：
∵ 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴ $c＞0$。
③判断b的符号：
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
结合已得的$a＜0$，要使分式结果为正，则分子$-b＜0$，
∴ $b＞0$。
综上$a＜0,b＞0,c＞0$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数对称轴性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础常考题，考查图象特征和系数符号的对应规律，记住“开口定a、y轴交点定c、对称轴结合a定b（左同右异）”的判断技巧，可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.8

8.「2026上海崇明民一中学期中」二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，给出下列结论：①$c＞0$；②$-\dfrac{b}{2a}＜0$；③$a+b+c＜0$；④当$-3＜x＜2$时，$y＞0$。其中所有正确结论的序号是。

$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$y$轴的正半轴相交,$\therefore c＞0$,故结论①正确;易知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的对称轴在$y$轴的左侧,$\therefore -\frac{b}{2a}＜0$,故结论②正确;由题图知当$x=1$时,$y＞0$,$\therefore a+b+c＞0$,故结论③不正确;$\because$ 当$-3＜x＜2$时,函数图象位于$x$轴的上方,$\therefore$ 当$-3＜x＜2$时,$y＞0$,故结论④正确.
$\therefore$ 正确的结论为①②④.

【分析】
要判断给出的4个结论是否正确，可结合二次函数图象的特征逐个分析：
①判断c的符号：c是x=0时的函数值，对应图象与y轴交点的纵坐标，观察交点在y轴的正负半轴即可；
②判断$-\dfrac{b}{2a}$的符号：$-\dfrac{b}{2a}$是二次函数的对称轴，观察对称轴在y轴的左侧还是右侧即可判断；
③判断$a+b+c$的符号：$a+b+c$是x=1时的函数值，找到x=1对应的图象位置，看点在x轴上方还是下方即可；
④判断$-3＜x＜2$时y的符号：观察该区间内的图象位于x轴上方还是下方即可。
【解析】
1. 分析结论①：二次函数图象与y轴交于正半轴，即x=0时$y=c＞0$，故①正确；
2. 分析结论②：由图可知二次函数图象的对称轴在y轴左侧，对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，因此$-\dfrac{b}{2a}＜0$，故②正确；
3. 分析结论③：当x=1时，代入函数得$y=a×1^2 +b×1 +c=a+b+c$，观察图象可知x=1时对应点在x轴上方，即y＞0，因此$a+b+c＞0$，故③错误；
4. 分析结论④：由图象可知，二次函数与x轴交于点(-3,0)和(2,0)，且开口向下，因此当$-3＜x＜2$时，函数图象位于x轴上方，即y＞0，故④正确。
综上，正确的结论序号为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数系数与图象关系，二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数图象的常规考题，解题关键是建立函数代数式与图象特征的对应关系，结合特殊点、交点、对称轴等信息快速判断，熟练掌握二次函数图象性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7

9.「2025安徽中考，★☆」已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则（）

A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$

$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象开口向上，$\therefore a＞0$.
又$\because$ 对称轴在$y$轴右侧,$\therefore -\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＜0$.
$\because$ 抛物线与$y$轴的交点在负半轴上,$\therefore c＜0$.
$\therefore abc＞0$,故选项 A 错误.
由图象知对称轴在直线$x=1$的左侧,$\therefore -\frac{b}{2a}＜1$,
又$a＞0$,两边乘$2a$得$-b＜2a$,$\therefore 2a+b＞0$,故选项 B 错误.
当$x=-1$时,$y=a-b+c$,由图象知$x=-1$时,$y＞0$,即$a-b+c＞0$,故选项 D 错误.
易知$-\frac{b}{2a}＞\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$,$\therefore -b＞a$,$\therefore -b-b+c＞a-b+c＞0$,即$2b-c＜0$,故选项 C 正确.
故选 C.

【分析】
解决这类二次函数图象判断系数相关不等式的问题，可按以下思路推导：①首先根据图象开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，确定a、b、c的正负，先判断选项A；②结合对称轴的取值范围，通过变形推导判断选项B；③代入x=-1得到对应的函数表达式，结合图象上x=-1处的函数值正负判断选项D；④排除错误选项后即可得到正确答案，也可通过对称轴的范围推导验证选项C。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象开口向上，$\therefore a＞0$。
∵对称轴在$y$轴右侧，$\therefore -\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$。
∵抛物线与$y$轴的交点在负半轴上，$\therefore c＜0$。
$\therefore abc＞0$，故A选项错误。
由图象可知对称轴在直线$x=1$的左侧，$\therefore -\frac{b}{2a}＜1$，
又$\because a＞0$，不等式两边同时乘$2a$得$-b＜2a$，整理得$2a+b＞0$，故B选项错误。
当$x=-1$时，对应的函数值$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时图象在x轴上方，即$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$，故D选项错误。
排除A、B、D，可验证C选项：
抛物线与x轴的两个交点在$(-1,0)$和$(2,0)$处，$\therefore$对称轴$-\frac{b}{2a}＞\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
两边乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-b＞a$，
不等式两边同时加$(-b+c)$得：$-b-b+c＞a-b+c$，
结合$a-b+c＞0$，可得$-2b+c＞0$，即$2b-c＜0$，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数特殊点函数值；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数图象的经典题型，核心考查数形结合思想，需要熟练掌握由图象特征推导系数符号、结合对称轴和特殊点函数值分析不等关系的方法，用排除法可快速得到答案。
【难度系数】
0.7

10.「2025山东威海中考改编，★☆」已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(用“＞”连接).

$\because$ 抛物线$y=-(x-2)^2+c$,$\therefore$ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=2$,$\because$ 点$(-2,y_1)$,$(3,y_2)$,$(7,y_3)$在二次函数图象上,且与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$,$|3-2|=1$,$|7-2|=5$,$1＜4＜5$,$\therefore y_2＞y_1＞y_3$.

【分析】
要比较三个点对应的函数值大小，首先从给出的二次函数顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴：该抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应函数值越大。接下来只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可推出y值的大小关系，无需代入计算具体函数值，简化运算步骤。
【解析】
$\because$ 二次函数解析式为$y=-(x-2)^2+c$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下的抛物线上的点到对称轴距离越近，函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-2|=4$，
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
点$(7,y_3)$到对称轴的距离为$|7-2|=5$，
$\because 1＜4＜5$，
$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题型，重点考查二次函数顶点式的性质应用，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，比直接代入解析式计算更简便，能降低运算出错概率，是需要熟练掌握的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8