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11. 学科特色 分类讨论思想「2026天津耀华中学月考，★☆」已知二次函数$y=-(x-h)^2+1$在自变量$x$的值满足$1≤x≤3$的情况下，对应的函数值$y$的最大值是$-5$，则$h$的值为
$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$
。答案
$\because a=-1＜0$,$\therefore$ 当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＞h$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ ①若$h＜1$,则$x=1$时,$y$取得最大值$-5$,可得$-(1-h)^2+1=-5$,解得$h=1-\sqrt{6}$或$h=1+\sqrt{6}$(舍);②若$h＞3$,则当$x=3$时,$y$取得最大值$-5$,可得$-(3-h)^2+1=-5$,解得$h=3+\sqrt{6}$或$h=3-\sqrt{6}$(舍);③当$1≤ h≤ 3$时,最大值为1,不符合题意.综上,$h$的值为$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$.
解析
【分析】
首先明确该二次函数为顶点式，开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点纵坐标为1即函数理论最大值为1。已知在$1≤x≤3$区间内函数最大值为$-5$，说明对称轴不在该区间内，否则最大值应为1，不符合题意。因此需分三类讨论：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别确定区间内取最大值的$x$值，代入解析式求解后舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 二次函数开口向下，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
①若$h＜1$，此时$1≤x≤3$范围内$y$随$x$增大而减小，则$x=1$时$y$取最大值$-5$，代入得：
$-(1-h)^2+1=-5$，解得$h=1-\sqrt{6}$或$h=1+\sqrt{6}$，
$\because h＜1$，$\therefore h=1+\sqrt{6}$舍去；
②若$h＞3$，此时$1≤x≤3$范围内$y$随$x$增大而增大，则$x=3$时$y$取最大值$-5$，代入得：
$-(3-h)^2+1=-5$，解得$h=3+\sqrt{6}$或$h=3-\sqrt{6}$，
$\because h＞3$，$\therefore h=3-\sqrt{6}$舍去；
③若$1≤h≤3$，此时函数最大值为顶点纵坐标1，不符合题意，舍去。
综上，$h$的值为$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$。
【答案】
$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题核心考查二次函数限定区间的最值求解，解题关键是结合开口方向，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，求出解后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确该二次函数为顶点式，开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点纵坐标为1即函数理论最大值为1。已知在$1≤x≤3$区间内函数最大值为$-5$，说明对称轴不在该区间内，否则最大值应为1，不符合题意。因此需分三类讨论：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别确定区间内取最大值的$x$值，代入解析式求解后舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 二次函数开口向下，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
①若$h＜1$，此时$1≤x≤3$范围内$y$随$x$增大而减小，则$x=1$时$y$取最大值$-5$，代入得：
$-(1-h)^2+1=-5$，解得$h=1-\sqrt{6}$或$h=1+\sqrt{6}$，
$\because h＜1$，$\therefore h=1+\sqrt{6}$舍去；
②若$h＞3$，此时$1≤x≤3$范围内$y$随$x$增大而增大，则$x=3$时$y$取最大值$-5$，代入得：
$-(3-h)^2+1=-5$，解得$h=3+\sqrt{6}$或$h=3-\sqrt{6}$，
$\because h＞3$，$\therefore h=3-\sqrt{6}$舍去；
③若$1≤h≤3$，此时函数最大值为顶点纵坐标1，不符合题意，舍去。
综上，$h$的值为$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$。
【答案】
$1-\sqrt{6}$或$3+\sqrt{6}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题核心考查二次函数限定区间的最值求解，解题关键是结合开口方向，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，求出解后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
12.「2025黑龙江龙东地区中考，★☆」如图，抛物线$y = x^2 + bx + c$交x轴于点A,B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为$(3,-4)$。
(1)求b与c的值。
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使$△ PBC$的面积与$△ ABC$的面积相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求b与c的值。
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使$△ PBC$的面积与$△ ABC$的面积相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
答案
(1)$\because$ 抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点坐标为$(3,-4)$,$\therefore y=(x-3)^2-4=x^2-6x+5$,$\therefore b=-6$,$c=5$.
(2)存在,点$P$的横坐标为$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.
详解:对于抛物线$y=x^2-6x+5$,
当$y=0$时,$x^2-6x+5=0$,解得$x_1=1$,$x_2=5$,
$\therefore A(1,0)$,$B(5,0)$,$\therefore AB=5-1=4$,
当$x=0$时,$y=5$,
$\therefore C(0,5)$,
$\therefore OB=OC=5$,
$\because ∠ COB=90°$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=45°$,
如图,过点$B$作$x$轴的垂线,在$x$轴上方的垂线上截取$BD=BA=4$,连接$AD$与$BC$交于点$E$,则$D(5,4)$,
$\therefore ∠ DBC=90°-∠ OBC=45°=∠ OBC$,$∠ ADB=∠ BAD=45°$,
$\therefore BC⊥ AD$,$\therefore ED=EA$,
过点$D$作$BC$的平行线$l$,则$l$与抛物线的交点即为点$P$.
设直线$BC:y=mx+n$,
则$\begin{cases}5m+n=0,\\n=5,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC:y=-x+5$,
$\because BC// l$,
$\therefore$ 设直线$l:y=-x+q(q≠5)$,将$D(5,4)$代入得$-5+q=4$,解得$q=9$,
$\therefore$ 直线$l:y=-x+9$,
联立得$\begin{cases}y=-x+9,\\y=x^2-6x+5,\end{cases}$
整理得$x^2-5x-4=0$,
$\therefore x=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$,
$\therefore$ 点$P$的横坐标为$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先采用顶点式表示抛物线解析式，再将顶点式展开为一般式，与题目给出的一般式对比系数，即可直接求出b、c的值，此方法比代入对称轴、顶点坐标公式计算更简便。
(2) △PBC和△ABC有公共底BC，若二者面积相等，则点P和点A到直线BC的距离相等，因此点P在与BC平行的直线上。我们先求出A、B、C三点坐标和直线BC的解析式，再设出与BC平行的直线解析式，结合距离相等的条件求出直线解析式，最后联立直线与抛物线的方程求解，验证解对应的点在x轴上方即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点坐标为$(3,-4)$，
$\therefore$ 抛物线的顶点式为$y=(x-3)^2-4$，
展开得：$y=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$，
与$y=x^2+bx+c$对比系数，可得$b=-6$，$c=5$。
(2) 存在，求解过程如下：
对于抛物线$y=x^2-6x+5$，
令$y=0$，则$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，
$\because$ 点A在点B左侧，$\therefore A(1,0)$，$B(5,0)$，$AB=5-1=4$；
令$x=0$，则$y=5$，$\therefore C(0,5)$。
设直线BC的解析式为$y=mx+n$，将$B(5,0)$、$C(0,5)$代入解析式得：
$\begin{cases}5m+n=0\\n=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，
$\therefore$ 直线BC的解析式为$y=-x+5$。
$\because △ PBC$与$△ ABC$同底BC，且面积相等，
$\therefore$ 点P到直线BC的距离与点A到直线BC的距离相等，即点P在与BC平行的直线上。
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取$BD=BA=4$，则$D(5,4)$，易证$BC⊥ AD$且E为AD中点，因此过D作BC的平行线$l$，直线$l$到BC的距离等于A到BC的距离。
设直线$l$的解析式为$y=-x+q(q\ne5)$，将$D(5,4)$代入得：$-5+q=4$，解得$q=9$，即直线$l$的解析式为$y=-x+9$。
联立直线$l$与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+9\\y=x^2-6x+5\end{cases}$，
消去y整理得：$x^2-5x-4=0$，
由一元二次方程求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}$，
两个解对应的点P纵坐标均大于0，符合x轴上方的要求。
【答案】
(1) $b=-6$，$c=5$；
(2) 存在，点$P$的横坐标为$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$。
【知识点】
二次函数顶点式应用；待定系数法求解析式；二次函数面积问题
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查二次函数顶点式的基本应用，难度较低；第二问解题的关键是将同底三角形面积相等的条件转化为平行线间距离相等，将几何问题转化为函数联立求解的代数问题，计算时需注意求根公式的正确使用。
【难度系数】
0.65
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先采用顶点式表示抛物线解析式，再将顶点式展开为一般式，与题目给出的一般式对比系数，即可直接求出b、c的值，此方法比代入对称轴、顶点坐标公式计算更简便。
(2) △PBC和△ABC有公共底BC，若二者面积相等，则点P和点A到直线BC的距离相等，因此点P在与BC平行的直线上。我们先求出A、B、C三点坐标和直线BC的解析式，再设出与BC平行的直线解析式，结合距离相等的条件求出直线解析式，最后联立直线与抛物线的方程求解，验证解对应的点在x轴上方即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点坐标为$(3,-4)$，
$\therefore$ 抛物线的顶点式为$y=(x-3)^2-4$，
展开得：$y=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$，
与$y=x^2+bx+c$对比系数，可得$b=-6$，$c=5$。
(2) 存在，求解过程如下：
对于抛物线$y=x^2-6x+5$，
令$y=0$，则$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，
$\because$ 点A在点B左侧，$\therefore A(1,0)$，$B(5,0)$，$AB=5-1=4$；
令$x=0$，则$y=5$，$\therefore C(0,5)$。
设直线BC的解析式为$y=mx+n$，将$B(5,0)$、$C(0,5)$代入解析式得：
$\begin{cases}5m+n=0\\n=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，
$\therefore$ 直线BC的解析式为$y=-x+5$。
$\because △ PBC$与$△ ABC$同底BC，且面积相等，
$\therefore$ 点P到直线BC的距离与点A到直线BC的距离相等，即点P在与BC平行的直线上。
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取$BD=BA=4$，则$D(5,4)$，易证$BC⊥ AD$且E为AD中点，因此过D作BC的平行线$l$，直线$l$到BC的距离等于A到BC的距离。
设直线$l$的解析式为$y=-x+q(q\ne5)$，将$D(5,4)$代入得：$-5+q=4$，解得$q=9$，即直线$l$的解析式为$y=-x+9$。
联立直线$l$与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+9\\y=x^2-6x+5\end{cases}$，
消去y整理得：$x^2-5x-4=0$，
由一元二次方程求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}$，
两个解对应的点P纵坐标均大于0，符合x轴上方的要求。
【答案】
(1) $b=-6$，$c=5$；
(2) 存在，点$P$的横坐标为$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$。
【知识点】
二次函数顶点式应用；待定系数法求解析式；二次函数面积问题
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查二次函数顶点式的基本应用，难度较低；第二问解题的关键是将同底三角形面积相等的条件转化为平行线间距离相等，将几何问题转化为函数联立求解的代数问题，计算时需注意求根公式的正确使用。
【难度系数】
0.65
13. 核心素养 创新意识 定义:在平面直角坐标系中,有一条直线$x=m$,对于任意一个函数,作该函数自变量大于$m$的部分的图象关于直线$x=m$对称的图形,与原函数中自变量大于或等于$m$的部分的图象共同构成一个新的函数图象,则这个新函数叫作原函数关于直线$x=m$的“镜面函数”.例如:函数$y=x+1$关于直线$x=0$的“镜面函数”的表达式为$y=\begin{cases}x+1(x≥0), \\ -x+1(x＜0),\end{cases}$也可以写成$y=|x|+1$.已知$A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),D(-1,-2)$,函数$y=x^2-2nx+2(n＞0)$关于直线$x=0$的“镜面函数”图象与矩形$ABCD$的边恰好共有4个交点,求$n$的取值范围.
答案
画出示意图如图.
函数$y=x^2-2nx+2(n＞0)$关于直线$x=0$的“镜面函数”表达式为$y=\begin{cases}x^2-2nx+2(x≥0), \\ x^2+2nx+2(x＜0)\end{cases}(n＞0)$.
当$x=-1$时,$y＜0$,$\therefore 1-2n+2＜0$,解得$n＞\frac{3}{2}$,当$y=x^2-2nx+2(n＞0)$的图象的顶点在$CD$上时,$\frac{8-4n^2}{4}=-2$,解得$n=2$或$n=-2$(舍),此时,函数$y=x^2-2nx+2(n＞0)$关于直线$x=0$的“镜面函数”图象与矩形$ABCD$的边有5个交点,不合题意,$\therefore \frac{3}{2}＜n＜2$.当$x=3$时,$y＜-2$,$\therefore 9-6n+2＜-2$,解得$n＞\frac{13}{6}$.
综上,$n$的取值范围为$\frac{3}{2}＜n＜2$或$n＞\frac{13}{6}$.
解析
【分析】
解题首先根据“镜面函数”的定义，写出目标二次函数关于直线$x=0$的镜面函数分段解析式，该函数关于y轴对称，结合矩形ABCD的各边坐标，通过分析临界位置的函数值确定交点个数对应的n范围：第一步分析左半段抛物线与矩形左侧边、x轴的交点临界，得到第一个临界值$n=\frac{3}{2}$；第二步分析右半段抛物线顶点落在矩形下底边CD上的临界，得到$n=2$，此时交点个数为5，不符合要求；第三步分析右半段抛物线在$x=3$处的函数值低于矩形下底边的临界，得到$n=\frac{13}{6}$，最后结合交点恰好为4个的要求，分类整合得到n的取值范围。
【解析】
根据“镜面函数”的定义，函数$y=x^2-2nx+2(n＞0)$关于直线$x=0$的“镜面函数”表达式为：
$y=\begin{cases}x^2-2nx+2&(x≥0) \\ x^2+2nx+2&(x＜0)\end{cases}(n＞0)$
矩形ABCD的边范围为：$x=-1(-2≤y≤0)$，$x=3(-2≤y≤0)$，$y=0(-1≤x≤3)$，$y=-2(-1≤x≤3)$。
1. 分析第一种符合条件的情况：
当$x=-1$时，代入左半段函数得$y=3-2n$，若$y＜0$，即$3-2n＜0$，解得$n＞\frac{3}{2}$，此时左半段抛物线与矩形有2个交点。
当右半段抛物线$y=x^2-2nx+2$的顶点落在CD边（即$y=-2$）上时，由二次函数顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=-2$，代入$a=1,b=-2n,c=2$得：
$\frac{8-4n^2}{4}=-2$
化简得$n^2=4$，解得$n=2$（$n=-2$舍去，因$n＞0$），此时镜面函数与矩形共有5个交点，不符合题意，故$n＜2$。
因此第一种符合条件的范围是$\frac{3}{2}＜n＜2$。
2. 分析第二种符合条件的情况：
当$x=3$时，代入右半段函数得$y=11-6n$，若$y＜-2$，即$11-6n＜-2$，解得$n＞\frac{13}{6}$，此时右半段抛物线与矩形仅交于x轴和下底边各1个点，加上左半段的2个交点，总交点数恰好为4个，符合题意。
综上，$n$的取值范围为$\frac{3}{2}＜n＜2$或$n＞\frac{13}{6}$。
【答案】
$n$的取值范围是$\boldsymbol{\frac{3}{2}＜n＜2}$或$\boldsymbol{n＞\frac{13}{6}}$。
【知识点】
1. 新定义阅读理解
2. 二次函数对称性
3. 函数图象交点问题
【点评】
本题以新定义“镜面函数”为载体，考查二次函数的对称变换及图象交点个数的判断，解题时需要先准确理解新定义写出分段函数解析式，再结合几何图形的边界位置分类讨论，注意排除不符合交点个数要求的临界情况，着重考查数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
解题首先根据“镜面函数”的定义，写出目标二次函数关于直线$x=0$的镜面函数分段解析式，该函数关于y轴对称，结合矩形ABCD的各边坐标，通过分析临界位置的函数值确定交点个数对应的n范围：第一步分析左半段抛物线与矩形左侧边、x轴的交点临界，得到第一个临界值$n=\frac{3}{2}$；第二步分析右半段抛物线顶点落在矩形下底边CD上的临界，得到$n=2$，此时交点个数为5，不符合要求；第三步分析右半段抛物线在$x=3$处的函数值低于矩形下底边的临界，得到$n=\frac{13}{6}$，最后结合交点恰好为4个的要求，分类整合得到n的取值范围。
【解析】
根据“镜面函数”的定义，函数$y=x^2-2nx+2(n＞0)$关于直线$x=0$的“镜面函数”表达式为：
$y=\begin{cases}x^2-2nx+2&(x≥0) \\ x^2+2nx+2&(x＜0)\end{cases}(n＞0)$
矩形ABCD的边范围为：$x=-1(-2≤y≤0)$，$x=3(-2≤y≤0)$，$y=0(-1≤x≤3)$，$y=-2(-1≤x≤3)$。
1. 分析第一种符合条件的情况：
当$x=-1$时，代入左半段函数得$y=3-2n$，若$y＜0$，即$3-2n＜0$，解得$n＞\frac{3}{2}$，此时左半段抛物线与矩形有2个交点。
当右半段抛物线$y=x^2-2nx+2$的顶点落在CD边（即$y=-2$）上时，由二次函数顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=-2$，代入$a=1,b=-2n,c=2$得：
$\frac{8-4n^2}{4}=-2$
化简得$n^2=4$，解得$n=2$（$n=-2$舍去，因$n＞0$），此时镜面函数与矩形共有5个交点，不符合题意，故$n＜2$。
因此第一种符合条件的范围是$\frac{3}{2}＜n＜2$。
2. 分析第二种符合条件的情况：
当$x=3$时，代入右半段函数得$y=11-6n$，若$y＜-2$，即$11-6n＜-2$，解得$n＞\frac{13}{6}$，此时右半段抛物线与矩形仅交于x轴和下底边各1个点，加上左半段的2个交点，总交点数恰好为4个，符合题意。
综上，$n$的取值范围为$\frac{3}{2}＜n＜2$或$n＞\frac{13}{6}$。
【答案】
$n$的取值范围是$\boldsymbol{\frac{3}{2}＜n＜2}$或$\boldsymbol{n＞\frac{13}{6}}$。
【知识点】
1. 新定义阅读理解
2. 二次函数对称性
3. 函数图象交点问题
【点评】
本题以新定义“镜面函数”为载体，考查二次函数的对称变换及图象交点个数的判断，解题时需要先准确理解新定义写出分段函数解析式，再结合几何图形的边界位置分类讨论，注意排除不符合交点个数要求的临界情况，着重考查数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
1.「2026 浙江温州龙港期中」若$A(-5,y_1),B(-2,y_2),C(2,y_3)$为二次函数$y=mx^2+4mx+3(m＜0)$图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 (
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
C
)A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
$\because m＜0$,$\therefore$ 二次函数$y=mx^2+4mx+3(m＜0)$图象的开口向下,$\because$ 二次函数$y=mx^2+4mx+3(m＜0)$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{4m}{2m}=-2$,$\therefore$ 顶点坐标为$B(-2,y_2)$,故$y_2$最大.
$\because$ 点$C(2,y_3)$到对称轴的距离为$|2-(-2)|=4$,点$A(-5,y_1)$到对称轴的距离为$|-5-(-2)|=3$,$4＞3$,
$\therefore$ 点$C$离对称轴更远,故$y_3＜y_1$.因此$y_3＜y_1＜y_2$.故选 C.
$\because$ 点$C(2,y_3)$到对称轴的距离为$|2-(-2)|=4$,点$A(-5,y_1)$到对称轴的距离为$|-5-(-2)|=3$,$4＞3$,
$\therefore$ 点$C$离对称轴更远,故$y_3＜y_1$.因此$y_3＜y_1＜y_2$.故选 C.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，可按以下思路思考：首先根据二次项系数的符号判断图象开口方向，开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越小；其次用对称轴公式计算出函数的对称轴，确定在对称轴上的点对应函数值最大；最后计算剩余两点到对称轴的距离，对比距离大小即可判断对应函数值的大小关系。
【解析】
$\because m＜0$，$\therefore$ 二次函数$y=mx^2+4mx+3$的图象开口向下。
该二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4m}{2m}=-2$，
$\because$ 点$B(-2,y_2)$在对称轴上，$\therefore y_2$是三个函数值中的最大值。
分别计算点A、点C到对称轴的距离：
点$A(-5,y_1)$到对称轴的距离为$|-5-(-2)|=3$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离为$|2-(-2)|=4$，
$\because 4＞3$，即点C离对称轴更远，开口向下时离对称轴越远函数值越小，$\therefore y_3＜y_1$。
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口性质、二次函数对称轴计算、二次函数增减性应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，无需代入计算具体函数值，只要掌握开口方向、对称轴与函数值的对应关系，即可快速求解，解题过程中要注意区分开口向上、向下时函数值随离对称轴距离的变化规律。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，可按以下思路思考：首先根据二次项系数的符号判断图象开口方向，开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越小；其次用对称轴公式计算出函数的对称轴，确定在对称轴上的点对应函数值最大；最后计算剩余两点到对称轴的距离，对比距离大小即可判断对应函数值的大小关系。
【解析】
$\because m＜0$，$\therefore$ 二次函数$y=mx^2+4mx+3$的图象开口向下。
该二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4m}{2m}=-2$，
$\because$ 点$B(-2,y_2)$在对称轴上，$\therefore y_2$是三个函数值中的最大值。
分别计算点A、点C到对称轴的距离：
点$A(-5,y_1)$到对称轴的距离为$|-5-(-2)|=3$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离为$|2-(-2)|=4$，
$\because 4＞3$，即点C离对称轴更远，开口向下时离对称轴越远函数值越小，$\therefore y_3＜y_1$。
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口性质、二次函数对称轴计算、二次函数增减性应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，无需代入计算具体函数值，只要掌握开口方向、对称轴与函数值的对应关系，即可快速求解，解题过程中要注意区分开口向上、向下时函数值随离对称轴距离的变化规律。
【难度系数】
0.7
物线 $y=3x^2+bx+1$ 上，若 $3＜b＜4$，则下列判断正确的是（
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
）A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
$\because$ 抛物线$y=3x^2+bx+1$,$3＞0$,$\therefore$ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×3}=-\frac{b}{6}$.当$x=0$时,$y=1$,
$\therefore$ 抛物线过点$(0,1)$,$\because 3＜b＜4$,$\therefore -\frac{2}{3}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{1}{2}$,
$\therefore$ 点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离大于点$(0,1)$到对称轴的距离且小于点$B(1,y_2)$到对称轴的距离,$\therefore 1＜y_1＜y_2$,故选 A.
$\therefore$ 抛物线过点$(0,1)$,$\because 3＜b＜4$,$\therefore -\frac{2}{3}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{1}{2}$,
$\therefore$ 点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离大于点$(0,1)$到对称轴的距离且小于点$B(1,y_2)$到对称轴的距离,$\therefore 1＜y_1＜y_2$,故选 A.
解析
【分析】
解决本题首先回忆二次函数的核心性质：开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题步骤如下：第一步先根据二次函数解析式确定开口方向、对称轴公式，找到特殊点$(0,1)$（$x=0$时代入解析式直接得$y=1$）；第二步结合$b$的取值范围，通过不等式变形求出对称轴的取值范围；第三步分别计算点$A(-2,y_1)$、点$B(1,y_2)$、点$(0,1)$到对称轴的距离，比较三个距离的大小，即可对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
解：对于抛物线$y=3x^2+bx+1$，
$\because a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2×3}=-\frac{b}{6}$，
当$x=0$时，代入解析式得$y=1$，即抛物线过点$(0,1)$，
$\because 3＜b＜4$，不等式两边同时除以$-6$，不等号方向改变，
$\therefore \frac{3}{-6}＞\frac{b}{-6}＞\frac{4}{-6}$，即$-\frac{2}{3}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{1}{2}$，
分别计算各点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$2-\frac{b}{6}$，范围是$\frac{4}{3}∼\frac{3}{2}$；
点$(0,1)$到对称轴的距离为$\frac{b}{6}$，范围是$\frac{1}{2}∼\frac{2}{3}$；
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$1+\frac{b}{6}$，范围是$\frac{3}{2}∼\frac{5}{3}$；
可得距离大小关系：$\frac{b}{6}＜2-\frac{b}{6}＜1+\frac{b}{6}$，
$\because$ 抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
$\therefore 1＜y_1＜y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴公式，不等式基本性质
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是掌握开口方向确定的前提下，二次函数值与点到对称轴距离的对应关系，结合不等式变形求出对称轴范围即可快速判断函数值大小，对基础性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.65
解决本题首先回忆二次函数的核心性质：开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题步骤如下：第一步先根据二次函数解析式确定开口方向、对称轴公式，找到特殊点$(0,1)$（$x=0$时代入解析式直接得$y=1$）；第二步结合$b$的取值范围，通过不等式变形求出对称轴的取值范围；第三步分别计算点$A(-2,y_1)$、点$B(1,y_2)$、点$(0,1)$到对称轴的距离，比较三个距离的大小，即可对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
解：对于抛物线$y=3x^2+bx+1$，
$\because a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2×3}=-\frac{b}{6}$，
当$x=0$时，代入解析式得$y=1$，即抛物线过点$(0,1)$，
$\because 3＜b＜4$，不等式两边同时除以$-6$，不等号方向改变，
$\therefore \frac{3}{-6}＞\frac{b}{-6}＞\frac{4}{-6}$，即$-\frac{2}{3}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{1}{2}$，
分别计算各点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$2-\frac{b}{6}$，范围是$\frac{4}{3}∼\frac{3}{2}$；
点$(0,1)$到对称轴的距离为$\frac{b}{6}$，范围是$\frac{1}{2}∼\frac{2}{3}$；
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$1+\frac{b}{6}$，范围是$\frac{3}{2}∼\frac{5}{3}$；
可得距离大小关系：$\frac{b}{6}＜2-\frac{b}{6}＜1+\frac{b}{6}$，
$\because$ 抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
$\therefore 1＜y_1＜y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴公式，不等式基本性质
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是掌握开口方向确定的前提下，二次函数值与点到对称轴距离的对应关系，结合不等式变形求出对称轴范围即可快速判断函数值大小，对基础性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.65
3. 学科特色
多解法 若$A(-4,y_1),B(-2,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=3(x+1)^2$的图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
多解法 若$A(-4,y_1),B(-2,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=3(x+1)^2$的图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2＜y_3＜y_1$
(用“＜”连接).答案
【解法一】代入计算比较:$y_1=3×(-4+1)^2=27$,$y_2=3×(-2+1)^2=3$,$y_3=3×(1+1)^2=12$,$\therefore y_2＜y_3＜y_1$.
【解法二】利用点到对称轴的距离比较:$\because$ 抛物线的解析式为$y=3(x+1)^2$,$\therefore$ 抛物线开口向上,$\therefore$ 离对称轴越远的点的纵坐标越大.$\because$ 对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 点$A$离对称轴最远,其次是点$C$,点$B$离对称轴最近,$\therefore y_2＜y_3＜y_1$.
【解法三】利用函数增减性比较:易知抛物线的对称轴为直线$x=-1$,点$C(1,y_3)$关于对称轴对称的点的坐标为$(-3,y_3)$,$\because$ 抛物线开口向上,$\therefore$ 在对称轴的左侧,$y$随$x$的增大而减小,$\because -4＜-3＜-2$,$\therefore y_2＜y_3＜y_1$.
【解法四】观察图象比较:画出二次函数$y=3(x+1)^2$的大致图象如图所示.
观察可知,$y_2＜y_3＜y_1$.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，可从多个角度思考：①最直接的方法是将三点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的函数值后比较大小；②利用二次函数的对称性与开口方向判断：开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，先确定抛物线对称轴，再计算各点到对称轴的距离即可比较；③利用函数增减性判断：将不在对称轴同侧的点对称到同侧，再结合对称轴一侧的增减性比较横坐标大小，进而得到函数值的大小关系；④也可直接观察图象，根据三点的位置高低判断纵坐标大小。
【解析】
解法一（代入计算法）：
将$A(-4,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(1,y_3)$分别代入$y=3(x+1)^2$得：
$y_1=3×(-4+1)^2=3×9=27$，
$y_2=3×(-2+1)^2=3×1=3$，
$y_3=3×(1+1)^2=3×4=12$，
$\because 3＜12＜27$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
解法二（对称轴距离比较法）：
二次函数$y=3(x+1)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-1)|=3$，
点B到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点C到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
解法三（增减性比较法）：
二次函数$y=3(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，开口向上，
在对称轴左侧（$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而减小，
点$C(1,y_3)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,y_3)$，该点在对称轴左侧，
此时左侧三点的横坐标满足：$-4＜-3＜-2$，
根据增减性可得$y_2＜y_3＜y_1$。
解法四（图象法）：
画出二次函数$y=3(x+1)^2$的大致图象如图所示：
观察图象中三点的位置，纵坐标从低到高依次为B、C、A，故$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数值比较；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，提供了多种解题思路，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的开口方向、对称性、增减性快速判断，能帮助学生灵活掌握二次函数的相关性质，拓展解题思维。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，可从多个角度思考：①最直接的方法是将三点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的函数值后比较大小；②利用二次函数的对称性与开口方向判断：开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，先确定抛物线对称轴，再计算各点到对称轴的距离即可比较；③利用函数增减性判断：将不在对称轴同侧的点对称到同侧，再结合对称轴一侧的增减性比较横坐标大小，进而得到函数值的大小关系；④也可直接观察图象，根据三点的位置高低判断纵坐标大小。
【解析】
解法一（代入计算法）：
将$A(-4,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(1,y_3)$分别代入$y=3(x+1)^2$得：
$y_1=3×(-4+1)^2=3×9=27$，
$y_2=3×(-2+1)^2=3×1=3$，
$y_3=3×(1+1)^2=3×4=12$，
$\because 3＜12＜27$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
解法二（对称轴距离比较法）：
二次函数$y=3(x+1)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-1)|=3$，
点B到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点C到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
解法三（增减性比较法）：
二次函数$y=3(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，开口向上，
在对称轴左侧（$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而减小，
点$C(1,y_3)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,y_3)$，该点在对称轴左侧，
此时左侧三点的横坐标满足：$-4＜-3＜-2$，
根据增减性可得$y_2＜y_3＜y_1$。
解法四（图象法）：
画出二次函数$y=3(x+1)^2$的大致图象如图所示：
观察图象中三点的位置，纵坐标从低到高依次为B、C、A，故$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数值比较；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，提供了多种解题思路，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的开口方向、对称性、增减性快速判断，能帮助学生灵活掌握二次函数的相关性质，拓展解题思维。
【难度系数】
0.8
