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1. 学科特色 多解法 二次函数的图象如图所示，则其表达式是（
A.$y=-x^2+2x+3$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2-2x+3$
D.$y=-x^2-2x-3$
A
）A.$y=-x^2+2x+3$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2-2x+3$
D.$y=-x^2-2x-3$
答案
【解法一】交点式:设二次函数表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,把$(0,3)$代入得 $a×1×(-3)=3$,解得 $a=-1$,所以二次函数表达式为 $y=-(x+1)(x-3)$,即 $y=-x^2+2x+3$.故选 A.
【解法二】一般式:设二次函数表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$,由题图可知函数图象经过点$(-1,0),(3,0),(0,3)$,将三点坐标代入,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$所以二次函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$.故选 A.
【解法二】一般式:设二次函数表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$,由题图可知函数图象经过点$(-1,0),(3,0),(0,3)$,将三点坐标代入,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$所以二次函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$.故选 A.
解析
【分析】
解题时先观察图像提取有效信息：二次函数开口向下，与x轴交于(-1,0)、(3,0)，与y轴交于(0,3)。求二次函数解析式可选用两种思路：①已知x轴两个交点，优先选交点式，设交点式后代入第三个点求参数a，再整理为一般式匹配选项；②设一般式，将三个已知点坐标代入列三元一次方程组，求解a、b、c即可得到解析式。也可先根据开口方向（a＜0）排除开口向上的选项B，缩小判断范围。
【解析】
方法一（交点式）：
∵二次函数图象与x轴交于点(-1,0)、(3,0)
∴设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$
将点(0,3)代入解析式，得：
$a×(0+1)×(0-3)=3$
$-3a=3$，解得$a=-1$
∴解析式为$y=-(x+1)(x-3)$，展开整理得$y=-x^2+2x+3$。
方法二（一般式）：
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
将点(-1,0)、(3,0)、(0,3)分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a-b=-3\\9a+3b=-3\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，掌握交点式和一般式的适用条件是解题关键，结合图像特征先排除错误选项可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图像提取有效信息：二次函数开口向下，与x轴交于(-1,0)、(3,0)，与y轴交于(0,3)。求二次函数解析式可选用两种思路：①已知x轴两个交点，优先选交点式，设交点式后代入第三个点求参数a，再整理为一般式匹配选项；②设一般式，将三个已知点坐标代入列三元一次方程组，求解a、b、c即可得到解析式。也可先根据开口方向（a＜0）排除开口向上的选项B，缩小判断范围。
【解析】
方法一（交点式）：
∵二次函数图象与x轴交于点(-1,0)、(3,0)
∴设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$
将点(0,3)代入解析式，得：
$a×(0+1)×(0-3)=3$
$-3a=3$，解得$a=-1$
∴解析式为$y=-(x+1)(x-3)$，展开整理得$y=-x^2+2x+3$。
方法二（一般式）：
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
将点(-1,0)、(3,0)、(0,3)分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a-b=-3\\9a+3b=-3\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，掌握交点式和一般式的适用条件是解题关键，结合图像特征先排除错误选项可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2.根据下列条件求函数表达式.
(1)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(0,2)$，$(1,3),(2,2)$.
(2)二次函数的图象与$x$轴交于点$A(-2,0)$，$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C(0,8)$.
(3)二次函数的图象过点$(0,1)$，顶点坐标是$(8,9)$.
(1)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(0,2)$，$(1,3),(2,2)$.
(2)二次函数的图象与$x$轴交于点$A(-2,0)$，$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C(0,8)$.
(3)二次函数的图象过点$(0,1)$，顶点坐标是$(8,9)$.
答案
(1)把$(0,2),(1,3),(2,2)$代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}c=2,\\a+b+c=3,\\4a+2b+c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+2$.
(2)设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)(x-4)(a≠0)$,把 $C(0,8)$代入得$-8a=8$,解得 $a=-1$,
∴ 抛物线的表达式为 $y=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$.
(3)
∵ 顶点坐标为$(8,9)$,
∴ 设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-8)^2+9(a≠0)$.
把$(0,1)$代入得 $a(0-8)^2+9=1$,
∴ $a=-\frac{1}{8}$,
∴ $y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9$,即 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$.
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+2$.
(2)设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)(x-4)(a≠0)$,把 $C(0,8)$代入得$-8a=8$,解得 $a=-1$,
∴ 抛物线的表达式为 $y=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$.
(3)
∵ 顶点坐标为$(8,9)$,
∴ 设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-8)^2+9(a≠0)$.
把$(0,1)$代入得 $a(0-8)^2+9=1$,
∴ $a=-\frac{1}{8}$,
∴ $y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9$,即 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$.
解析
【分析】
本题考查二次函数解析式的求解，核心方法是待定系数法，需根据已知条件选择最优的函数形式简化计算：
(1)已知函数图象上三个普通点的坐标，无特殊点，因此选用一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组即可求出$a、b、c$的值，得到解析式；
(2)已知二次函数与$x$轴的两个交点坐标，优先选用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为函数与$x$轴交点的横坐标），仅含一个未知参数$a$，代入与$y$轴交点坐标即可求出$a$，再整理为一般式即可；
(3)已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），仅含一个未知参数$a$，代入已知点坐标求出$a$，再整理为一般式即可。
【解析】
(1)将点$(0,2)$，$(1,3)$，$(2,2)$代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=2,\\a+b+c=3,\\4a+2b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+2$。
(2)
∵ 二次函数图象与x轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$，
∴ 设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)(x-4)(a≠0)$，
把 $C(0,8)$代入得$-8a=8$，解得 $a=-1$，
∴ 抛物线的表达式为 $y=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$。
(3)
∵ 二次函数的顶点坐标为$(8,9)$，
∴ 设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-8)^2+9(a≠0)$，
把$(0,1)$代入得 $a(0-8)^2+9=1$，解得 $a=-\frac{1}{8}$，
∴ $y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9$，整理得 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+2$；(2)$y=-x^2+2x+8$；(3)$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.二次函数的表达形式
3.解一次方程组
【点评】
本题是求解二次函数解析式的基础典型题，核心是根据已知条件灵活选择合适的函数表达形式，能有效减少计算量，提升解题效率，需熟练掌握三种函数形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数解析式的求解，核心方法是待定系数法，需根据已知条件选择最优的函数形式简化计算：
(1)已知函数图象上三个普通点的坐标，无特殊点，因此选用一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组即可求出$a、b、c$的值，得到解析式；
(2)已知二次函数与$x$轴的两个交点坐标，优先选用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为函数与$x$轴交点的横坐标），仅含一个未知参数$a$，代入与$y$轴交点坐标即可求出$a$，再整理为一般式即可；
(3)已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），仅含一个未知参数$a$，代入已知点坐标求出$a$，再整理为一般式即可。
【解析】
(1)将点$(0,2)$，$(1,3)$，$(2,2)$代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=2,\\a+b+c=3,\\4a+2b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+2$。
(2)
∵ 二次函数图象与x轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$，
∴ 设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)(x-4)(a≠0)$，
把 $C(0,8)$代入得$-8a=8$，解得 $a=-1$，
∴ 抛物线的表达式为 $y=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$。
(3)
∵ 二次函数的顶点坐标为$(8,9)$，
∴ 设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-8)^2+9(a≠0)$，
把$(0,1)$代入得 $a(0-8)^2+9=1$，解得 $a=-\frac{1}{8}$，
∴ $y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9$，整理得 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+2$；(2)$y=-x^2+2x+8$；(3)$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.二次函数的表达形式
3.解一次方程组
【点评】
本题是求解二次函数解析式的基础典型题，核心是根据已知条件灵活选择合适的函数表达形式，能有效减少计算量，提升解题效率，需熟练掌握三种函数形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
3.「2026重庆开州中学期中」如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距离喷水头2米时,达到最大高度1.8米,则水流喷射的最远水平距离OC是 (
A.6米
B.5米
C.4米
D.1米
B
)A.6米
B.5米
C.4米
D.1米
答案
∵ 当喷射出的水流距离喷水头2米时,达到最大高度1.8米,
∴ 可设抛物线解析式为 $y=a(x-2)^2+1.8$,将$(0,1)$代入,得 $1=4a+1.8$,解得 $a=-\frac{1}{5}$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{5}(x-2)^2+1.8$,令 $y=0$,解得 $x=5$(舍负),
∴ $C(5,0)$,
∴ $OC=5$米.故选 B.
解析
【分析】
这是二次函数解决抛物线形实际问题，首先已知抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，优先选择顶点式设二次函数解析式可简化计算；其次喷水头高度为1米，说明抛物线过点$(0,1)$，将该点代入所设解析式就能求出未知参数$a$，得到完整的抛物线解析式；最后水流喷射的最远水平距离$OC$就是抛物线与$x$轴正半轴交点的横坐标，即令$y=0$，解一元二次方程取正根即可得到$OC$的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$（$a≠0$）。
已知喷水头高度$OB$为1米，即抛物线过点$(0,1)$，将$(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-2)^2+1.8$
$1=4a+1.8$
解得$a=-\frac{1}{5}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}(x-2)^2+1.8$
当水流落地时高度$y=0$，令$y=0$，则：
$0=-\frac{1}{5}(x-2)^2+1.8$
整理得$(x-2)^2=9$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离为正，舍去负根）
即点$C$的坐标为$(5,0)$，因此$OC=5$米。
【答案】B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的关键是结合已知顶点坐标选择顶点式设函数解析式，降低计算量，再利用函数与方程的联系求解交点坐标即可得到所求实际距离，掌握二次函数的基本性质和解析式求法就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决抛物线形实际问题，首先已知抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，优先选择顶点式设二次函数解析式可简化计算；其次喷水头高度为1米，说明抛物线过点$(0,1)$，将该点代入所设解析式就能求出未知参数$a$，得到完整的抛物线解析式；最后水流喷射的最远水平距离$OC$就是抛物线与$x$轴正半轴交点的横坐标，即令$y=0$，解一元二次方程取正根即可得到$OC$的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$（$a≠0$）。
已知喷水头高度$OB$为1米，即抛物线过点$(0,1)$，将$(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-2)^2+1.8$
$1=4a+1.8$
解得$a=-\frac{1}{5}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}(x-2)^2+1.8$
当水流落地时高度$y=0$，令$y=0$，则：
$0=-\frac{1}{5}(x-2)^2+1.8$
整理得$(x-2)^2=9$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离为正，舍去负根）
即点$C$的坐标为$(5,0)$，因此$OC=5$米。
【答案】B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的关键是结合已知顶点坐标选择顶点式设函数解析式，降低计算量，再利用函数与方程的联系求解交点坐标即可得到所求实际距离，掌握二次函数的基本性质和解析式求法就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
4.「2026天津津南期中改编」如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m.有下列结论：①该抛物线的解析式为$y=-2.45x^2$；②当水面宽度为5 m时，水面下降了1.125 m；③当水面下降2 m时，水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.其中，正确结论的个数为 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
设抛物线的解析式为 $y=ax^2$,由题意得点$(2,-2)$在抛物线上,将$(2,-2)$代入$y=ax^2$,得$-2=a·2^2$,解得$a=-\frac{1}{2}$,故抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2$,所以①错误.
当水面宽度为5 m时,$x=±\frac{5}{2}$,把 $x=\frac{5}{2}$代入 $y=-\frac{1}{2}x^2$,得$y=-\frac{1}{2}×(\frac{5}{2})^2=-\frac{1}{2}×\frac{25}{4}=-\frac{25}{8}=-3.125$,由于原来水面宽4 m时 $y=-2$,故水面下降的高度为$|-3.125-(-2)|=|-1.125|=1.125$ m,所以②正确.
当水面下降2 m时,$y=-4$,把 $y=-4$代入 $y=-\frac{1}{2}x^2$,得$-4=-\frac{1}{2}x^2$,则 $x^2=8$,解得 $x=±2\sqrt{2}$,此时水面宽度为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}(m)$,原来水面宽4 m,故水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)m$,所以③正确.故选 C.
当水面宽度为5 m时,$x=±\frac{5}{2}$,把 $x=\frac{5}{2}$代入 $y=-\frac{1}{2}x^2$,得$y=-\frac{1}{2}×(\frac{5}{2})^2=-\frac{1}{2}×\frac{25}{4}=-\frac{25}{8}=-3.125$,由于原来水面宽4 m时 $y=-2$,故水面下降的高度为$|-3.125-(-2)|=|-1.125|=1.125$ m,所以②正确.
当水面下降2 m时,$y=-4$,把 $y=-4$代入 $y=-\frac{1}{2}x^2$,得$-4=-\frac{1}{2}x^2$,则 $x^2=8$,解得 $x=±2\sqrt{2}$,此时水面宽度为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}(m)$,原来水面宽4 m,故水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)m$,所以③正确.故选 C.
解析
【分析】
首先观察坐标系可知，该抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。第一步先利用已知条件“水面宽4m时，拱顶离水面2m”确定抛物线上的点坐标，代入解析式求出a的值，验证结论①是否正确；第二步分析结论②：水面宽度为5m时，对应抛物线上点的横坐标为$\pm\frac{5}{2}$，代入解析式求出此时的纵坐标，与原水面纵坐标$-2$作差，即可得到水面下降高度，判断②是否正确；第三步分析结论③：水面下降2m时，对应纵坐标为$-4$，代入解析式求出此时的横坐标，计算当前水面宽度，减去原宽度4m即可得到增加的宽度，判断③是否正确。最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$，由题意可知，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，即点$(2,-2)$在抛物线上。
将$(2,-2)$代入$y=ax^2$得：$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，故结论①错误。
当水面宽度为5m时，抛物线上对应点的横坐标为$x=\pm\frac{5}{2}$，将$x=\frac{5}{2}$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$y=-\frac{1}{2}×(\frac{5}{2})^2=-\frac{25}{8}=-3.125$。原水面宽4m时$y=-2$，因此水面下降高度为$|-3.125 - (-2)|=1.125m$，故结论②正确。
当水面下降2m时，对应纵坐标$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$-4=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=8$，即$x=\pm2\sqrt{2}$。此时水面宽度为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}m$，比原水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)m$，故结论③正确。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题核心是结合坐标系特点选择合适的解析式形式，再利用待定系数法求出函数解析式，最后结合实际问题中坐标的几何意义求解对应量，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系可知，该抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。第一步先利用已知条件“水面宽4m时，拱顶离水面2m”确定抛物线上的点坐标，代入解析式求出a的值，验证结论①是否正确；第二步分析结论②：水面宽度为5m时，对应抛物线上点的横坐标为$\pm\frac{5}{2}$，代入解析式求出此时的纵坐标，与原水面纵坐标$-2$作差，即可得到水面下降高度，判断②是否正确；第三步分析结论③：水面下降2m时，对应纵坐标为$-4$，代入解析式求出此时的横坐标，计算当前水面宽度，减去原宽度4m即可得到增加的宽度，判断③是否正确。最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$，由题意可知，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，即点$(2,-2)$在抛物线上。
将$(2,-2)$代入$y=ax^2$得：$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，故结论①错误。
当水面宽度为5m时，抛物线上对应点的横坐标为$x=\pm\frac{5}{2}$，将$x=\frac{5}{2}$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$y=-\frac{1}{2}×(\frac{5}{2})^2=-\frac{25}{8}=-3.125$。原水面宽4m时$y=-2$，因此水面下降高度为$|-3.125 - (-2)|=1.125m$，故结论②正确。
当水面下降2m时，对应纵坐标$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$-4=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=8$，即$x=\pm2\sqrt{2}$。此时水面宽度为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}m$，比原水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)m$，故结论③正确。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题核心是结合坐标系特点选择合适的解析式形式，再利用待定系数法求出函数解析式，最后结合实际问题中坐标的几何意义求解对应量，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
5.「2025新疆中考，★☆」天山胜利隧道于2025年建成通车，成为世界上最长的高速公路隧道，大大提升了区域交通效率，促进经济发展.如图所示的是隧道截面图，其轮廓可近似看成是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
答案
(1)由题意得,顶点坐标为$(\frac{12}{2},8)$,即$(6,8)$,
∴ 设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠0)$,
将$(12,0)$代入,得 $a(12-6)^2+8=0$,解得 $a=-\frac{2}{9}$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤x≤12)$.
(2)能安全通过,理由如下:
当两车间隔2米时,如图所示,
由题意得 $x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$,将 $x=2$ 代入 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$,得 $y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$,
∵ $\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$,
∴ 能安全通过.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先观察已知条件：隧道底部宽12米，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(12,0)$，因此顶点横坐标为6，结合隧道高8米可得顶点坐标为$(6,8)$，所以选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知交点即可求出系数a，得到解析式。
(2) 判断车辆能否安全通过，需先确定车辆最外侧对应的x坐标：两辆车各宽3米，间距2米，以中心线$x=6$为基准，左侧车辆左边缘的x值为6减去间距的一半1米，再减去车宽3米，即$x=2$，代入解析式求出该位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，若差值≥0.5米即可安全通过，否则不能。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠0)$，
将$(12,0)$代入解析式得：$a(12-6)^2+8=0$，
解得 $a=-\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤x≤12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
当两车间隔2米时，如图所示，
由题意可得左侧车辆左边缘对应的横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
因为$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，满足竖直方向空隙不少于0.5米的要求，所以可以安全通过。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤x≤12)$
(2) 能安全通过，理由如下：
当两车间隔2米时，如图所示，
由题意得 $x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，将 $x=2$ 代入 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得 $y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
∵ $\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，
∴ 能安全通过。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确建立抛物线模型，结合题意找到对应自变量的取值，通过计算函数值比较判断结论，贴合生活实际，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线解析式时，先观察已知条件：隧道底部宽12米，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(12,0)$，因此顶点横坐标为6，结合隧道高8米可得顶点坐标为$(6,8)$，所以选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知交点即可求出系数a，得到解析式。
(2) 判断车辆能否安全通过，需先确定车辆最外侧对应的x坐标：两辆车各宽3米，间距2米，以中心线$x=6$为基准，左侧车辆左边缘的x值为6减去间距的一半1米，再减去车宽3米，即$x=2$，代入解析式求出该位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，若差值≥0.5米即可安全通过，否则不能。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠0)$，
将$(12,0)$代入解析式得：$a(12-6)^2+8=0$，
解得 $a=-\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤x≤12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
当两车间隔2米时，如图所示，
由题意可得左侧车辆左边缘对应的横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
因为$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，满足竖直方向空隙不少于0.5米的要求，所以可以安全通过。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤x≤12)$
(2) 能安全通过，理由如下：
当两车间隔2米时，如图所示，
由题意得 $x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，将 $x=2$ 代入 $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得 $y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
∵ $\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，
∴ 能安全通过。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确建立抛物线模型，结合题意找到对应自变量的取值，通过计算函数值比较判断结论，贴合生活实际，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
