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6. 情境「2026 山西大同月考，★☆」投壶，源于射礼，是我国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分.综合与实践小组的同学受游戏启发，将箭抽象为一个点，以抛出箭时的站立点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系进行研究.把壶近似看作矩形DEFG，D，E在x轴上.已知壶口的宽度GF=0.2米，高度EF=0.72米.某同学将箭从点A(0,1.5)处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线$y=ax^2+bx+c$的一部分，且当箭达到最大飞行高度2米时，到抛出点的水平距离为1米，箭刚好从G点擦边投入壶中.
(1)求抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数解析式.
(2)求站立点与壶的距离OE.
(3)该同学再次抛出箭，仅调整了抛出点A的高度，其他条件不变(箭的飞行轨迹所在抛物线的形状不变).若要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围.
(1)求抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数解析式.
(2)求站立点与壶的距离OE.
(3)该同学再次抛出箭，仅调整了抛出点A的高度，其他条件不变(箭的飞行轨迹所在抛物线的形状不变).若要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围.
答案
(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$,
设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2+2$,
将点$A(0,1.5)$的坐标代入解析式得 $a(0+1)^2+2=1.5$,解得 $a=-0.5$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.5(x+1)^2+2=-0.5x^2-x+1.5$.
(2)
∵ 四边形 DEFG 为矩形,
∴ $GF=DE=0.2$ 米,$EF=DG=0.72$ 米.
设 $G(a,0.72)$,
∵ 抛物线过点 G,
∴ $-0.5a^2-a+1.5=0.72$,解得 $a=-2.6$或 $a=0.6$(舍),
∴ $G(-2.6,0.72)$,
∴ $OD=2.6$ 米,
∴ $OE=OD-DE=2.6-0.2=2.4$(米).
(3)1.2 米≤OA≤1.5 米.
详解:易知点 A 不能上调,即 $OA≤1.5$ 米.
设点 A 的高度下调了 $m$ 米,
则调整后的抛物线解析式为 $y=-0.5x^2-x+1.5-m$,
由(2)可知,$G(-2.6,0.72)$,$F(-2.4,0.72)$,
当抛物线经过点 F 时,$-0.5×(-2.4)^2-(-2.4)+1.5-m=0.72$,解得 $m=0.3$,此时点 A 向下调整 0.3 米,
$1.5-0.3=1.2$(米),
∴ 调整后的 OA 的取值范围为 1.2 米≤OA≤1.5 米.
设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2+2$,
将点$A(0,1.5)$的坐标代入解析式得 $a(0+1)^2+2=1.5$,解得 $a=-0.5$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.5(x+1)^2+2=-0.5x^2-x+1.5$.
(2)
∵ 四边形 DEFG 为矩形,
∴ $GF=DE=0.2$ 米,$EF=DG=0.72$ 米.
设 $G(a,0.72)$,
∵ 抛物线过点 G,
∴ $-0.5a^2-a+1.5=0.72$,解得 $a=-2.6$或 $a=0.6$(舍),
∴ $G(-2.6,0.72)$,
∴ $OD=2.6$ 米,
∴ $OE=OD-DE=2.6-0.2=2.4$(米).
(3)1.2 米≤OA≤1.5 米.
详解:易知点 A 不能上调,即 $OA≤1.5$ 米.
设点 A 的高度下调了 $m$ 米,
则调整后的抛物线解析式为 $y=-0.5x^2-x+1.5-m$,
由(2)可知,$G(-2.6,0.72)$,$F(-2.4,0.72)$,
当抛物线经过点 F 时,$-0.5×(-2.4)^2-(-2.4)+1.5-m=0.72$,解得 $m=0.3$,此时点 A 向下调整 0.3 米,
$1.5-0.3=1.2$(米),
∴ 调整后的 OA 的取值范围为 1.2 米≤OA≤1.5 米.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，首先根据题意提取抛物线顶点坐标：箭达到最大高度2米时水平距离抛出点1米，结合坐标系可得顶点为(-1,2)，因此选择顶点式设解析式，再代入已知点A(0,1.5)即可求出参数，整理得到解析式。
(2) 求OE长度时，由矩形性质可知G点纵坐标为EF的长度0.72，将y=0.72代入抛物线解析式求出G点横坐标，再结合GF的长度即可计算OE的长度。
(3) 调整抛出点高度且抛物线形状不变，说明抛物线仅上下平移，a和对称轴不变，分别将壶口两端点G、F的坐标代入平移后的解析式，求出对应的OA高度，即可得到取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2+2$，
将点$A(0,1.5)$的坐标代入解析式得：$a(0+1)^2+2=1.5$，
解得 $a=-0.5$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.5(x+1)^2+2=-0.5x^2-x+1.5$。
(2)
∵ 四边形 DEFG 为矩形，
∴ $GF=DE=0.2$ 米，$EF=DG=0.72$ 米，即G点纵坐标为0.72，
设 $G(x,0.72)$，将其代入抛物线解析式得：
$-0.5x^2-x+1.5=0.72$，
解得 $x=-2.6$或 $x=0.6$，
∵ G点在x轴负半轴，舍去$x=0.6$，即$G(-2.6,0.72)$，
∴ $OD=2.6$ 米，
∴ $OE=OD-DE=2.6-0.2=2.4$（米）。
(3) 调整抛出点高度后抛物线形状、对称轴不变，仅上下平移，设调整后OA高度为h，则新抛物线解析式为$y=-0.5x^2-x+h$，
由(2)得$G(-2.6,0.72)$，$F(-2.4,0.72)$，要使箭投入壶中，抛物线需经过G、F之间：
当抛物线过G点时，代入得$-0.5×(-2.6)^2 - (-2.6) + h=0.72$，解得$h=1.5$；
当抛物线过F点时，代入得$-0.5×(-2.4)^2 - (-2.4) + h=0.72$，解得$h=1.2$；
故OA的取值范围为$1.2米≤OA≤1.5米$。
【答案】
(1) $y=-0.5x^2-x+1.5$（或$y=-0.5(x+1)^2+2$）
(2) $2.4$米
(3) $1.2米≤OA≤1.5米$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题结合传统投壶文化考查二次函数的实际应用，解题关键是将实际场景中的条件转化为二次函数的顶点、点坐标等数学性质，侧重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线解析式时，首先根据题意提取抛物线顶点坐标：箭达到最大高度2米时水平距离抛出点1米，结合坐标系可得顶点为(-1,2)，因此选择顶点式设解析式，再代入已知点A(0,1.5)即可求出参数，整理得到解析式。
(2) 求OE长度时，由矩形性质可知G点纵坐标为EF的长度0.72，将y=0.72代入抛物线解析式求出G点横坐标，再结合GF的长度即可计算OE的长度。
(3) 调整抛出点高度且抛物线形状不变，说明抛物线仅上下平移，a和对称轴不变，分别将壶口两端点G、F的坐标代入平移后的解析式，求出对应的OA高度，即可得到取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2+2$，
将点$A(0,1.5)$的坐标代入解析式得：$a(0+1)^2+2=1.5$，
解得 $a=-0.5$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.5(x+1)^2+2=-0.5x^2-x+1.5$。
(2)
∵ 四边形 DEFG 为矩形，
∴ $GF=DE=0.2$ 米，$EF=DG=0.72$ 米，即G点纵坐标为0.72，
设 $G(x,0.72)$，将其代入抛物线解析式得：
$-0.5x^2-x+1.5=0.72$，
解得 $x=-2.6$或 $x=0.6$，
∵ G点在x轴负半轴，舍去$x=0.6$，即$G(-2.6,0.72)$，
∴ $OD=2.6$ 米，
∴ $OE=OD-DE=2.6-0.2=2.4$（米）。
(3) 调整抛出点高度后抛物线形状、对称轴不变，仅上下平移，设调整后OA高度为h，则新抛物线解析式为$y=-0.5x^2-x+h$，
由(2)得$G(-2.6,0.72)$，$F(-2.4,0.72)$，要使箭投入壶中，抛物线需经过G、F之间：
当抛物线过G点时，代入得$-0.5×(-2.6)^2 - (-2.6) + h=0.72$，解得$h=1.5$；
当抛物线过F点时，代入得$-0.5×(-2.4)^2 - (-2.4) + h=0.72$，解得$h=1.2$；
故OA的取值范围为$1.2米≤OA≤1.5米$。
【答案】
(1) $y=-0.5x^2-x+1.5$（或$y=-0.5(x+1)^2+2$）
(2) $2.4$米
(3) $1.2米≤OA≤1.5米$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题结合传统投壶文化考查二次函数的实际应用，解题关键是将实际场景中的条件转化为二次函数的顶点、点坐标等数学性质，侧重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.65
7. 核心素养 模型观念 「2025湖北武汉中考」某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如表(不考虑空气阻力).
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系,描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
【建立模型】
(1)求$y$与$x$的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
(2)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由.
(3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如表(不考虑空气阻力).
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系,描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
【建立模型】
(1)求$y$与$x$的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
(2)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由.
(3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
答案
(1)把$(2,2.3),(3,2.6)$代入 $y=ax^2+bx+1.1$ 得$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3,\\9a+3b+1.1=2.6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.1,\\b=0.8,\end{cases}$
∴ $y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$.
(2)不能.理由:$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$,
∵ $-0.1＜0$,
∴ 当 $x=4$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 2.7,
∴ 羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到 2.8 m.
(3)
∵ 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,
∴ $a=-0.1$,
∴ 其解析式为 $y=-0.1x^2+kx+1.1$,
当 $x=5$ 时,$y=-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$,解得 $k＞0.7$.
∵ 球的落地点与球网的水平距离小于6 m,
∴ 当 $x=11$ 时,$y=-0.1×11^2+11k+1.1＜0$,解得 $k＜1$,
∴ $k$ 的取值范围为 $0.7＜k＜1$.
∴ $y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$.
(2)不能.理由:$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$,
∵ $-0.1＜0$,
∴ 当 $x=4$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 2.7,
∴ 羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到 2.8 m.
(3)
∵ 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,
∴ $a=-0.1$,
∴ 其解析式为 $y=-0.1x^2+kx+1.1$,
当 $x=5$ 时,$y=-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$,解得 $k＞0.7$.
∵ 球的落地点与球网的水平距离小于6 m,
∴ 当 $x=11$ 时,$y=-0.1×11^2+11k+1.1＜0$,解得 $k＜1$,
∴ $k$ 的取值范围为 $0.7＜k＜1$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含$a$、$b$两个未知参数，选取两组已知的$x$、$y$对应值代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到函数解析式。
(2) 要判断飞行高度能否达到2.8m，只需计算该二次函数的最大高度，与2.8m比较即可。可通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次项系数的正负判断最值情况。
(3) 抛物线形状不变则二次项系数$a$不变，先确定新的解析式；再将实际条件转化为不等式：①发球点距球网水平距离为5m，即$x=5$时，$y＞2.1$；②落地点与球网水平距离小于6m，说明落地点的水平距离$x＜5+6=11$，即$x=11$时$y＜0$；分别解两个不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 把$(2,2.3)$、$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3\\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a+b=0.6\\3a+b=0.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-0.1\\b=0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
(2) 不能，理由如下：
对函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
∵$-0.1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为2.7m，
∵$2.7＜2.8$，
∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8m。
(3)
∵抛物线形状不变，
∴$a=-0.1$，新解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
当$x=5$时，羽毛球飞过球网正上方，高度超过2.1m，代入得：
$-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
∵球的落地点与球网的水平距离小于6m，即落地点距发球点水平距离小于$5+6=11m$，
∴当$x=11$时，$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$
(2) 不能，理由见解析
(3) $0.7＜k＜1$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题以羽毛球飞行路线为真实背景，考查将实际问题转化为二次函数数学问题的建模能力，解题关键是准确把实际限制条件转化为对应的函数表达式或不等式，兼顾了对计算能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含$a$、$b$两个未知参数，选取两组已知的$x$、$y$对应值代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到函数解析式。
(2) 要判断飞行高度能否达到2.8m，只需计算该二次函数的最大高度，与2.8m比较即可。可通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次项系数的正负判断最值情况。
(3) 抛物线形状不变则二次项系数$a$不变，先确定新的解析式；再将实际条件转化为不等式：①发球点距球网水平距离为5m，即$x=5$时，$y＞2.1$；②落地点与球网水平距离小于6m，说明落地点的水平距离$x＜5+6=11$，即$x=11$时$y＜0$；分别解两个不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 把$(2,2.3)$、$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3\\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a+b=0.6\\3a+b=0.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-0.1\\b=0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
(2) 不能，理由如下：
对函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
∵$-0.1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为2.7m，
∵$2.7＜2.8$，
∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8m。
(3)
∵抛物线形状不变，
∴$a=-0.1$，新解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
当$x=5$时，羽毛球飞过球网正上方，高度超过2.1m，代入得：
$-0.1×5^2+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
∵球的落地点与球网的水平距离小于6m，即落地点距发球点水平距离小于$5+6=11m$，
∴当$x=11$时，$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.8x+1.1$
(2) 不能，理由见解析
(3) $0.7＜k＜1$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题以羽毛球飞行路线为真实背景，考查将实际问题转化为二次函数数学问题的建模能力，解题关键是准确把实际限制条件转化为对应的函数表达式或不等式，兼顾了对计算能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
