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2.(2025·大连中山区期末)在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)2025年1月的月历如图1所示,我们用如图2所示的“N”字形框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分),先将位置B,D上的数相乘,再将位置A,E上的数相乘,最后将两积作差.例如,$10×12 - 17×5$,$20×22 - 27×15$,不难发现,这两个代数式的计算结果都等于
(2)设“N”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)在2025年某月的月历中,用正方形框架框住如图3所示的阴影部分的9个位置上的数,如果最小的数和最大的数的乘积为225,设中间位置上的数为y,求y的值.
(1)2025年1月的月历如图1所示,我们用如图2所示的“N”字形框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分),先将位置B,D上的数相乘,再将位置A,E上的数相乘,最后将两积作差.例如,$10×12 - 17×5$,$20×22 - 27×15$,不难发现,这两个代数式的计算结果都等于
35
.(2)设“N”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)在2025年某月的月历中,用正方形框架框住如图3所示的阴影部分的9个位置上的数,如果最小的数和最大的数的乘积为225,设中间位置上的数为y,求y的值.
答案
(1)35
(2)证明:
∵位置C上的数为$x$,
∴位置B上的数为$x-1$,位置D上的数为$x+1$,位置A上的数为$x+6$,位置E上的数为$x-6$,$\therefore (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)=x^2-1-(x^2-36)=x^2-1-x^2+36=35$.
(3)由月历可知框出的9个位置上的数中,正方形框架左上角的数最小,右下角的数最大.
∵中间位置上的数为$y$,
∴正方形框架中左上角的数为$y-8$,右下角的数为$y+8$,
∴最大的数为$y+8$,最小的数为$y-8$,$\therefore (y+8)(y-8)=225$,$\therefore y^2-64=225$,$\therefore y^2=289$,$\therefore y=\pm17$.
∵月历中的数$y＞0$,$\therefore y=17$.
(2)证明:
∵位置C上的数为$x$,
∴位置B上的数为$x-1$,位置D上的数为$x+1$,位置A上的数为$x+6$,位置E上的数为$x-6$,$\therefore (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)=x^2-1-(x^2-36)=x^2-1-x^2+36=35$.
(3)由月历可知框出的9个位置上的数中,正方形框架左上角的数最小,右下角的数最大.
∵中间位置上的数为$y$,
∴正方形框架中左上角的数为$y-8$,右下角的数为$y+8$,
∴最大的数为$y+8$,最小的数为$y-8$,$\therefore (y+8)(y-8)=225$,$\therefore y^2-64=225$,$\therefore y^2=289$,$\therefore y=\pm17$.
∵月历中的数$y＞0$,$\therefore y=17$.
解析
【分析】
(1) 直接计算给出的两个代数式的结果，即可得到共同的数值；
(2) 结合月历数字“同一行相邻数差1，同一列相邻数差7”的规律，用含x的代数式分别表示出B、D、A、E位置的数，再按照题意计算两积的差，利用平方差公式化简即可证明规律；
(3) 首先明确正方形框的9个数中，最小数是左上角的数，最大数是右下角的数，结合月历规律用含y的代数式表示出最小数和最大数，根据乘积为225列方程，求解后结合月历数为正数舍去负解即可得到y的值。
【解析】
(1) 计算：$10×12 - 17×5=120-85=35$，$20×22 -27×15=440-405=35$，两个式子的计算结果均为35。
(2) 证明：
∵位置C上的数为$x$，
根据月历数字规律可得：位置B上的数为$x-1$，位置D上的数为$x+1$，位置A上的数为$x+6$，位置E上的数为$x-6$，
$\therefore (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)$
$=x^2-1-(x^2-36)$
$=x^2-1-x^2+36$
$=35$，规律得证。
(3) 解：月历正方形框的9个数中，左上角的数最小，右下角的数最大。
∵中间位置上的数为$y$，
∴最小的数为$y-8$，最大的数为$y+8$，
由题意得：$(y+8)(y-8)=225$，
$\therefore y^2-64=225$，
$\therefore y^2=289$，
解得$y=\pm17$，
∵月历中的数均为正整数，$y＞0$，
$\therefore y=17$。
【答案】
(1) $\boxed{35}$
(2) 规律成立，证明见解析
(3) $\boxed{17}$
【知识点】
平方差公式，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探究与整式、方程的综合应用，解题核心是掌握月历“同行差1、同列差7”的数字特点，灵活运用平方差公式可简化计算，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 直接计算给出的两个代数式的结果，即可得到共同的数值；
(2) 结合月历数字“同一行相邻数差1，同一列相邻数差7”的规律，用含x的代数式分别表示出B、D、A、E位置的数，再按照题意计算两积的差，利用平方差公式化简即可证明规律；
(3) 首先明确正方形框的9个数中，最小数是左上角的数，最大数是右下角的数，结合月历规律用含y的代数式表示出最小数和最大数，根据乘积为225列方程，求解后结合月历数为正数舍去负解即可得到y的值。
【解析】
(1) 计算：$10×12 - 17×5=120-85=35$，$20×22 -27×15=440-405=35$，两个式子的计算结果均为35。
(2) 证明：
∵位置C上的数为$x$，
根据月历数字规律可得：位置B上的数为$x-1$，位置D上的数为$x+1$，位置A上的数为$x+6$，位置E上的数为$x-6$，
$\therefore (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)$
$=x^2-1-(x^2-36)$
$=x^2-1-x^2+36$
$=35$，规律得证。
(3) 解：月历正方形框的9个数中，左上角的数最小，右下角的数最大。
∵中间位置上的数为$y$，
∴最小的数为$y-8$，最大的数为$y+8$，
由题意得：$(y+8)(y-8)=225$，
$\therefore y^2-64=225$，
$\therefore y^2=289$，
解得$y=\pm17$，
∵月历中的数均为正整数，$y＞0$，
$\therefore y=17$。
【答案】
(1) $\boxed{35}$
(2) 规律成立，证明见解析
(3) $\boxed{17}$
【知识点】
平方差公式，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探究与整式、方程的综合应用，解题核心是掌握月历“同行差1、同列差7”的数字特点，灵活运用平方差公式可简化计算，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3.(1)观察下列每组中两个数的积,通过计算找出哪两个数的积最大,它们有什么规律?
①$25×25,26×24,27×23,28×22,\dots,49×1$;
②$99×1,98×2,97×3,96×4,\dots,50×50$.
利用你发现的规律解决下列问题:
(2)若一个长方形的周长为20 cm,则它的面积的最大值为________cm².
(3)若$m,n$为任意实数,则代数式$(m-2n)(8-m+2n)$的最大值是________,此时$m$和$n$之间的数量关系是________.
数量关系是________.
①$25×25,26×24,27×23,28×22,\dots,49×1$;
②$99×1,98×2,97×3,96×4,\dots,50×50$.
利用你发现的规律解决下列问题:
(2)若一个长方形的周长为20 cm,则它的面积的最大值为________cm².
(3)若$m,n$为任意实数,则代数式$(m-2n)(8-m+2n)$的最大值是________,此时$m$和$n$之间的数量关系是________.
数量关系是________.
答案
(1)①$25×25=625,26×24=624,27×23=621,28×22=616,\dots,49×1=49$.
②$99×1=99,98×2=196,97×3=291,96×4=384,\dots,50×50=2\ 500$.
在第①组中,$25×25$的积最大,在第②组中,$50×50$的积最大.
规律:若两个数的和为定值,则两个数的差越大,它们的积越小,当两数相等时,它们的乘积最大.
(2)25
(3)16 $m=2n+4$
②$99×1=99,98×2=196,97×3=291,96×4=384,\dots,50×50=2\ 500$.
在第①组中,$25×25$的积最大,在第②组中,$50×50$的积最大.
规律:若两个数的和为定值,则两个数的差越大,它们的积越小,当两数相等时,它们的乘积最大.
(2)25
(3)16 $m=2n+4$
解析
【分析】
首先解决找规律部分：先分别计算两组算式的乘积，观察每组中两个乘数的和是否为固定值，对比乘积大小和两个数差值的关系，总结出通用规律。再利用规律解决后续问题：（2）长方形周长固定可推出长与宽的和固定，根据规律可得长和宽相等时面积最大；（3）把两个括号中的代数式看作两个整体，先验证两个整体的和为定值，再根据规律求乘积最大值，最后列等式推导m和n的数量关系。
【解析】
(1) 计算①组各乘积：
$25×25=625$，$26×24=624$，$27×23=621$，$28×22=616$，……，$49×1=49$。
观察发现①组两个乘数的和均为$50$，其中$25×25$的积最大，此时两个乘数相等。
计算②组各乘积：
$99×1=99$，$98×2=196$，$97×3=291$，……，$50×50=2500$。
观察发现②组两个乘数的和均为$100$，其中$50×50$的积最大，此时两个乘数相等。
总结规律：若两个数的和为定值，则两个数的差越大，它们的积越小，当两数相等时，乘积最大。
(2) 长方形周长为20cm，因此长+宽=$20÷2=10$cm，和为定值。根据规律，当长=宽=$10÷2=5$cm时，面积最大，最大面积为$5×5=25$cm²。
(3) 设$a=m-2n$，$b=8-m+2n$，则$a+b=(m-2n)+(8-m+2n)=8$，和为定值。根据规律，当$a=b$时，$ab$的乘积最大，此时$a=b=8÷2=4$，最大乘积为$4×4=16$。
当$a=4$时，$m-2n=4$，整理得$m=2n+4$。
【答案】
(1) 规律：若两个数的和为定值，两个数的差越大，积越小，两数相等时乘积最大；
(2) $\boxed{25}$；
(3) $\boxed{16}$；$\boxed{m=2n+4}$
【知识点】
规律探究；最值问题；代数式运算
【点评】
本题先通过计算归纳出“和定积最大”的规律，再将规律迁移应用到几何面积最值和代数式最值问题中，侧重考查归纳总结能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
首先解决找规律部分：先分别计算两组算式的乘积，观察每组中两个乘数的和是否为固定值，对比乘积大小和两个数差值的关系，总结出通用规律。再利用规律解决后续问题：（2）长方形周长固定可推出长与宽的和固定，根据规律可得长和宽相等时面积最大；（3）把两个括号中的代数式看作两个整体，先验证两个整体的和为定值，再根据规律求乘积最大值，最后列等式推导m和n的数量关系。
【解析】
(1) 计算①组各乘积：
$25×25=625$，$26×24=624$，$27×23=621$，$28×22=616$，……，$49×1=49$。
观察发现①组两个乘数的和均为$50$，其中$25×25$的积最大，此时两个乘数相等。
计算②组各乘积：
$99×1=99$，$98×2=196$，$97×3=291$，……，$50×50=2500$。
观察发现②组两个乘数的和均为$100$，其中$50×50$的积最大，此时两个乘数相等。
总结规律：若两个数的和为定值，则两个数的差越大，它们的积越小，当两数相等时，乘积最大。
(2) 长方形周长为20cm，因此长+宽=$20÷2=10$cm，和为定值。根据规律，当长=宽=$10÷2=5$cm时，面积最大，最大面积为$5×5=25$cm²。
(3) 设$a=m-2n$，$b=8-m+2n$，则$a+b=(m-2n)+(8-m+2n)=8$，和为定值。根据规律，当$a=b$时，$ab$的乘积最大，此时$a=b=8÷2=4$，最大乘积为$4×4=16$。
当$a=4$时，$m-2n=4$，整理得$m=2n+4$。
【答案】
(1) 规律：若两个数的和为定值，两个数的差越大，积越小，两数相等时乘积最大；
(2) $\boxed{25}$；
(3) $\boxed{16}$；$\boxed{m=2n+4}$
【知识点】
规律探究；最值问题；代数式运算
【点评】
本题先通过计算归纳出“和定积最大”的规律，再将规律迁移应用到几何面积最值和代数式最值问题中，侧重考查归纳总结能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
