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1.(2025·大连沙河口区期末)在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,我们利用$n×n$的方框在月历上框出一些数,选取方框中位于顶点处的4个数,设这4个数分别为$a,b,c,d(a＜b＜c＜d)$,计算“$bc−ad$”的值,探索其运算结果的规律.
2025年1月的月历如图1所示,当$n=2$时,小明在其中画出两个$2×2$的方框,通过计算发现$bc−ad=7$.
(1)请你再画出一个$2×2$的方框,通过计算说明框出的数是否符合这个规律.
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明.
(3)请同学们利用小明的方法,借助2025年2月的月历,继续进行如下探究:
①如图2,当$n=3$时,在月历中用$3×3$的方框框住一些数,并选出位于顶点处的4个数,探究“$bc−ad$”的值的规律(直接写出结论,不用证明);
②如图3,当$n=4$时,若在月历中用$4×4$的方框框住一些数,并选出位于顶点处的4个数,直接写出“$bc−ad$”的值的规律.
(4)通过以上的探究过程,请你写出“$bc−ad$”的运算结果的一般规律(用含$n$的式子表示).
2025年1月的月历如图1所示,当$n=2$时,小明在其中画出两个$2×2$的方框,通过计算发现$bc−ad=7$.
(1)请你再画出一个$2×2$的方框,通过计算说明框出的数是否符合这个规律.
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明.
(3)请同学们利用小明的方法,借助2025年2月的月历,继续进行如下探究:
①如图2,当$n=3$时,在月历中用$3×3$的方框框住一些数,并选出位于顶点处的4个数,探究“$bc−ad$”的值的规律(直接写出结论,不用证明);
②如图3,当$n=4$时,若在月历中用$4×4$的方框框住一些数,并选出位于顶点处的4个数,直接写出“$bc−ad$”的值的规律.
(4)通过以上的探究过程,请你写出“$bc−ad$”的运算结果的一般规律(用含$n$的式子表示).
答案
(1)画出的2×2的方框如图所示
.4×10−3×11=7,
∴符合这个规律(答案不唯一).
(2)证明:设$a=x$,则$b=x+1,c=x+7,d=x+8$,
$\therefore bc-ad=(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7$,即$bc-ad=7$.
(3)①$bc-ad=28$.②$bc-ad=63$.
(4)“$bc-ad$”的运算结果的一般规律为$bc-ad=7(n-1)^2$.
解析
【分析】
(1) 解决本问可在月历中任意选取一个2×2的方框，框出四个顶点数，按照$bc-ad$的公式计算，验证结果是否为7即可。
(2) 要证明规律，首先利用月历的数字特点：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，设最小数$a=x$，将$b、c、d$都用含$x$的代数式表示，代入$bc-ad$进行整式运算，化简后若结果为常数7即可证明规律成立。
(3) ①探究$n=3$的规律：同样根据月历数字差的特点，写出四个顶点数的代数式，代入计算得到结果即可；②$n=4$的规律同理，代入计算即可得到结果。
(4) 观察$n=2、3、4$时$bc-ad$的结果，找到结果和$n$的对应关系，归纳出含$n$的通用规律。
【解析】
(1) 选取2×2方框框住3、4、10、11四个数：
计算$bc-ad=4×10 - 3×11=40-33=7$，因此框出的数符合这个规律（答案不唯一，任意2×2方框均可验证）。
(2) 证明：设左上角的数$a=x$，
根据月历数字规律，同一行右侧数比左侧大1，同一列下方数比上方大7，因此$b=x+1$，$c=x+7$，$d=x+8$，
代入计算：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+1)(x+7)-x(x+8)\\&=x^2+7x+x+7-(x^2+8x)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
因此$bc-ad=7$，规律成立。
(3) ①当$n=3$时，设$a=x$，则$b=x+2$，$c=x+14$，$d=x+16$，
计算得$bc-ad=(x+2)(x+14)-x(x+16)=28$；
②当$n=4$时，设$a=x$，则$b=x+3$，$c=x+21$，$d=x+24$，
计算得$bc-ad=(x+3)(x+21)-x(x+24)=63$。
(4) 观察结果：
$n=2$时，$bc-ad=7=7×(2-1)^2$；
$n=3$时，$bc-ad=28=7×(3-1)^2$；
$n=4$时，$bc-ad=63=7×(4-1)^2$；
因此可得通用规律。
【答案】
(1)画出的2×2的方框如图所示.
4×10−3×11=7,
∴符合这个规律(答案不唯一).
(2)证明:设$a=x$,则$b=x+1,c=x+7,d=x+8$,
$\therefore bc-ad=(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7$,即$bc-ad=7$.
(3)①$bc-ad=28$.②$bc-ad=63$.
(4)“$bc-ad$”的运算结果的一般规律为$bc-ad=7(n-1)^2$.
【知识点】
月历数字规律，整式的运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计规律探究问题，考查了整式运算的实际应用，引导学生通过特殊示例归纳一般规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决本问可在月历中任意选取一个2×2的方框，框出四个顶点数，按照$bc-ad$的公式计算，验证结果是否为7即可。
(2) 要证明规律，首先利用月历的数字特点：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，设最小数$a=x$，将$b、c、d$都用含$x$的代数式表示，代入$bc-ad$进行整式运算，化简后若结果为常数7即可证明规律成立。
(3) ①探究$n=3$的规律：同样根据月历数字差的特点，写出四个顶点数的代数式，代入计算得到结果即可；②$n=4$的规律同理，代入计算即可得到结果。
(4) 观察$n=2、3、4$时$bc-ad$的结果，找到结果和$n$的对应关系，归纳出含$n$的通用规律。
【解析】
(1) 选取2×2方框框住3、4、10、11四个数：
计算$bc-ad=4×10 - 3×11=40-33=7$，因此框出的数符合这个规律（答案不唯一，任意2×2方框均可验证）。
(2) 证明：设左上角的数$a=x$，
根据月历数字规律，同一行右侧数比左侧大1，同一列下方数比上方大7，因此$b=x+1$，$c=x+7$，$d=x+8$，
代入计算：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+1)(x+7)-x(x+8)\\&=x^2+7x+x+7-(x^2+8x)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
因此$bc-ad=7$，规律成立。
(3) ①当$n=3$时，设$a=x$，则$b=x+2$，$c=x+14$，$d=x+16$，
计算得$bc-ad=(x+2)(x+14)-x(x+16)=28$；
②当$n=4$时，设$a=x$，则$b=x+3$，$c=x+21$，$d=x+24$，
计算得$bc-ad=(x+3)(x+21)-x(x+24)=63$。
(4) 观察结果：
$n=2$时，$bc-ad=7=7×(2-1)^2$；
$n=3$时，$bc-ad=28=7×(3-1)^2$；
$n=4$时，$bc-ad=63=7×(4-1)^2$；
因此可得通用规律。
【答案】
(1)画出的2×2的方框如图所示
.4×10−3×11=7,
∴符合这个规律(答案不唯一).
(2)证明:设$a=x$,则$b=x+1,c=x+7,d=x+8$,
$\therefore bc-ad=(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7$,即$bc-ad=7$.
(3)①$bc-ad=28$.②$bc-ad=63$.
(4)“$bc-ad$”的运算结果的一般规律为$bc-ad=7(n-1)^2$.
【知识点】
月历数字规律，整式的运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计规律探究问题，考查了整式运算的实际应用，引导学生通过特殊示例归纳一般规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
