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1.(2024·辽宁)下列计算正确的是 （
A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a + 1) = a^2 + a$
D
）A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a + 1) = a^2 + a$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐个分析每个选项，结合对应的运算法则判断计算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。解题时需注意区分不同运算的法则，避免混淆指数的变化规律。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A计算错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，因此B计算错误；
选项C：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，因此C计算错误；
选项D：根据单项式乘多项式的法则，用单项式分别乘多项式的每一项再相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1 = a^2+a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的运算；单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式运算的基本法则，解题的核心是准确区分不同运算的规则，不要混淆同底数幂乘法、幂的乘方的指数变化规律，熟练掌握相关法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐个分析每个选项，结合对应的运算法则判断计算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。解题时需注意区分不同运算的法则，避免混淆指数的变化规律。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A计算错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，因此B计算错误；
选项C：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，因此C计算错误；
选项D：根据单项式乘多项式的法则，用单项式分别乘多项式的每一项再相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1 = a^2+a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的运算；单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式运算的基本法则，解题的核心是准确区分不同运算的规则，不要混淆同底数幂乘法、幂的乘方的指数变化规律，熟练掌握相关法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
2.计算：$(-\dfrac{3}{2})^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2023} =$
$\dfrac{3}{2}$
.答案
$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是幂的乘法运算题，观察可得两个因式的底数互为倒数，指数仅相差1，解题思路如下：第一步，先处理负号，根据偶数次幂的非负性，将带负号的幂转化为正的幂；第二步，把指数较大的幂拆成“底数×和另一个因式同指数的幂”的形式；第三步，逆用积的乘方运算法则，将两个同指数的幂先算底数乘积再乘方，简化计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{3}{2})^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2023}\\=&(\dfrac{3}{2})^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（负数的偶次幂为正）}\\=&\dfrac{3}{2} × (\dfrac{3}{2})^{2023} × (\dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（逆用同底数幂乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\=&\dfrac{3}{2} × (\dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（逆用积的乘方法则：$a^n · b^n=(ab)^n$）}\\=&\dfrac{3}{2} × 1^{2023}\\=&\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算 2. 有理数乘方符号法则 3. 同底数幂乘法逆运算
【点评】
本题属于幂的运算常规题型，核心考查幂的运算法则的灵活逆用，解题的突破口是观察到底数互为倒数、指数接近的特点，通过拆分高次幂构造同指数幂，再利用积的乘方简化计算，熟练掌握幂的相关运算法则的正、逆用法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是幂的乘法运算题，观察可得两个因式的底数互为倒数，指数仅相差1，解题思路如下：第一步，先处理负号，根据偶数次幂的非负性，将带负号的幂转化为正的幂；第二步，把指数较大的幂拆成“底数×和另一个因式同指数的幂”的形式；第三步，逆用积的乘方运算法则，将两个同指数的幂先算底数乘积再乘方，简化计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{3}{2})^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2023}\\=&(\dfrac{3}{2})^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（负数的偶次幂为正）}\\=&\dfrac{3}{2} × (\dfrac{3}{2})^{2023} × (\dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（逆用同底数幂乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\=&\dfrac{3}{2} × (\dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3})^{2023} \quad \mathrm{（逆用积的乘方法则：$a^n · b^n=(ab)^n$）}\\=&\dfrac{3}{2} × 1^{2023}\\=&\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算 2. 有理数乘方符号法则 3. 同底数幂乘法逆运算
【点评】
本题属于幂的运算常规题型，核心考查幂的运算法则的灵活逆用，解题的突破口是观察到底数互为倒数、指数接近的特点，通过拆分高次幂构造同指数幂，再利用积的乘方简化计算，熟练掌握幂的相关运算法则的正、逆用法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3.计算：
(1)$(2x^2)^4 - x · x^3 · x^4$；
(2)$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · (2y - x)$。
(1)$(2x^2)^4 - x · x^3 · x^4$；
(2)$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · (2y - x)$。
答案
(1)$15x^8$
(2)$-(x-2y)^4$
(2)$-(x-2y)^4$
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别计算两个项：第一项利用积的乘方、幂的乘方法则展开，第二项利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果；
(2) 先将底数统一为$(x-2y)$，把$(x-2y)$看作整体，再按照从左到右的顺序，依次利用同底数幂的除法、乘法法则计算，注意变形$(2y-x)$时的符号变化。
【解析】
(1) 计算$(2x^2)^4 - x · x^3 · x^4$：
第一步，根据积的乘方、幂的乘方法则计算：$(2x^2)^4=2^4×(x^2)^4=16x^8$；
第二步，根据同底数幂的乘法法则计算：$x · x^3 · x^4=x^{1+3+4}=x^8$；
第三步，合并同类项：$16x^8 - x^8=15x^8$。
(2) 计算$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · (2y - x)$：
第一步，统一底数：将$2y-x$变形为$-(x-2y)$，原式$=(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · [-(x-2y)]$；
第二步，根据同底数幂的除法法则计算：$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2=(x-2y)^{5-2}=(x-2y)^3$；
第三步，根据同底数幂的乘法法则计算：$(x-2y)^3 · [-(x-2y)]=-(x-2y)^{3+1}=-(x-2y)^4$。
【答案】
(1)$15x^8$
(2)$-(x-2y)^4$
【知识点】
幂的运算法则、整式混合运算、整体思想
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，第二题要注意统一底数时的符号处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别计算两个项：第一项利用积的乘方、幂的乘方法则展开，第二项利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果；
(2) 先将底数统一为$(x-2y)$，把$(x-2y)$看作整体，再按照从左到右的顺序，依次利用同底数幂的除法、乘法法则计算，注意变形$(2y-x)$时的符号变化。
【解析】
(1) 计算$(2x^2)^4 - x · x^3 · x^4$：
第一步，根据积的乘方、幂的乘方法则计算：$(2x^2)^4=2^4×(x^2)^4=16x^8$；
第二步，根据同底数幂的乘法法则计算：$x · x^3 · x^4=x^{1+3+4}=x^8$；
第三步，合并同类项：$16x^8 - x^8=15x^8$。
(2) 计算$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · (2y - x)$：
第一步，统一底数：将$2y-x$变形为$-(x-2y)$，原式$=(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2 · [-(x-2y)]$；
第二步，根据同底数幂的除法法则计算：$(x - 2y)^5 ÷ (x - 2y)^2=(x-2y)^{5-2}=(x-2y)^3$；
第三步，根据同底数幂的乘法法则计算：$(x-2y)^3 · [-(x-2y)]=-(x-2y)^{3+1}=-(x-2y)^4$。
【答案】
(1)$15x^8$
(2)$-(x-2y)^4$
【知识点】
幂的运算法则、整式混合运算、整体思想
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，第二题要注意统一底数时的符号处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
4.【一题多问】已知$a^m=3,a^n=2$，求下列各式的值：
(1)$a^m · a^n$；
(2)$(a^n)^3$；
(3)$a^{3m}+a^{2n}$；
(4)$a^{2m+3n}$；
(5)$a^{2m-n}$；
(6)$(3a^n)^2-(a^2)^{2n}$。
(1)$a^m · a^n$；
(2)$(a^n)^3$；
(3)$a^{3m}+a^{2n}$；
(4)$a^{2m+3n}$；
(5)$a^{2m-n}$；
(6)$(3a^n)^2-(a^2)^{2n}$。
答案
(1)6
(2)8
(3)31
(4)72
(5)$\dfrac{9}{2}$
(6)20
(2)8
(3)31
(4)72
(5)$\dfrac{9}{2}$
(6)20
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题核心是熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，将每个待求的式子通过公式变形，转化为仅含已知的$a^m$和$a^n$的形式，再代入数值计算即可。具体思考方向：①遇到同底数幂相乘/除，转化为指数相加/减，逆用公式即可拆分出$a^m$、$a^n$；②遇到指数是乘积形式，逆用幂的乘方公式，将底数转化为$a^m$或$a^n$，指数为对应的倍数；③遇到积的乘方，先按规则展开再变形。
【解析】
我们逐一计算每个式子：
(1) 根据同底数幂的乘法法则$a^x·a^y=a^{x+y}$，逆用公式得：
$a^m·a^n = 3×2 = 6$
(2) 根据幂的乘方法则$(a^x)^y=a^{xy}$，直接代入得：
$(a^n)^3 = 2^3 = 8$
(3) 逆用幂的乘方法则变形：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，代入得：
$a^{3m}+a^{2n}=3^3 + 2^2 = 27 + 4 = 31$
(4) 先逆用同底数幂乘法法则拆分，再逆用幂的乘方法则变形：
$a^{2m+3n}=a^{2m}·a^{3n}=(a^m)^2·(a^n)^3$
代入数值计算：$3^2×2^3 = 9×8 =72$
(5) 逆用同底数幂除法法则拆分，再逆用幂的乘方法则变形：
$a^{2m-n}=a^{2m}÷a^n=(a^m)^2÷a^n$
代入数值计算：$3^2÷2 = \frac{9}{2}$
(6) 先按积的乘方、幂的乘方法则化简原式：
$(3a^n)^2 - (a^2)^{2n}=9a^{2n} - a^{4n}=9(a^n)^2 - (a^n)^4$
代入数值计算：$9×2^2 - 2^4 = 9×4 - 16 = 36 -16 =20$
【答案】
(1)6；(2)8；(3)31；(4)72；(5)$\dfrac{9}{2}$；(6)20
【知识点】
同底数幂的运算，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的基础常考题，核心是灵活逆用各类幂的运算公式，将所求代数式转化为含已知条件的形式再计算，解题时要注意区分不同公式的指数变化规律，避免因混淆公式出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算性质的应用，解题核心是熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，将每个待求的式子通过公式变形，转化为仅含已知的$a^m$和$a^n$的形式，再代入数值计算即可。具体思考方向：①遇到同底数幂相乘/除，转化为指数相加/减，逆用公式即可拆分出$a^m$、$a^n$；②遇到指数是乘积形式，逆用幂的乘方公式，将底数转化为$a^m$或$a^n$，指数为对应的倍数；③遇到积的乘方，先按规则展开再变形。
【解析】
我们逐一计算每个式子：
(1) 根据同底数幂的乘法法则$a^x·a^y=a^{x+y}$，逆用公式得：
$a^m·a^n = 3×2 = 6$
(2) 根据幂的乘方法则$(a^x)^y=a^{xy}$，直接代入得：
$(a^n)^3 = 2^3 = 8$
(3) 逆用幂的乘方法则变形：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，代入得：
$a^{3m}+a^{2n}=3^3 + 2^2 = 27 + 4 = 31$
(4) 先逆用同底数幂乘法法则拆分，再逆用幂的乘方法则变形：
$a^{2m+3n}=a^{2m}·a^{3n}=(a^m)^2·(a^n)^3$
代入数值计算：$3^2×2^3 = 9×8 =72$
(5) 逆用同底数幂除法法则拆分，再逆用幂的乘方法则变形：
$a^{2m-n}=a^{2m}÷a^n=(a^m)^2÷a^n$
代入数值计算：$3^2÷2 = \frac{9}{2}$
(6) 先按积的乘方、幂的乘方法则化简原式：
$(3a^n)^2 - (a^2)^{2n}=9a^{2n} - a^{4n}=9(a^n)^2 - (a^n)^4$
代入数值计算：$9×2^2 - 2^4 = 9×4 - 16 = 36 -16 =20$
【答案】
(1)6；(2)8；(3)31；(4)72；(5)$\dfrac{9}{2}$；(6)20
【知识点】
同底数幂的运算，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的基础常考题，核心是灵活逆用各类幂的运算公式，将所求代数式转化为含已知条件的形式再计算，解题时要注意区分不同公式的指数变化规律，避免因混淆公式出现运算错误。
【难度系数】
0.8
5.计算:2a(a^2+2b)= (
D
) A.$a^3+4ab$ B.$2a^3+2ab$ C.$2a+4ab$ D.$2a^3+4ab$答案
5.D
解析
【分析】
本题是整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时要注意两个要点：一是同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；二是不要漏乘多项式的任何一项，系数相乘要准确，避免计算错误。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
第一步，用单项式2a分别乘多项式$a^2+2b$的两项：
$2a(a^2+2b)=2a· a^2 + 2a· 2b$
第二步，分别计算两个乘积：
$2a· a^2=2a^{1+2}=2a^3$，$2a· 2b=4ab$
第三步，把两个积相加，得到最终结果：$2a^3+4ab$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，计算时只要牢记法则，注意不要漏乘、准确计算系数和指数，就能顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时要注意两个要点：一是同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；二是不要漏乘多项式的任何一项，系数相乘要准确，避免计算错误。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
第一步，用单项式2a分别乘多项式$a^2+2b$的两项：
$2a(a^2+2b)=2a· a^2 + 2a· 2b$
第二步，分别计算两个乘积：
$2a· a^2=2a^{1+2}=2a^3$，$2a· 2b=4ab$
第三步，把两个积相加，得到最终结果：$2a^3+4ab$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，计算时只要牢记法则，注意不要漏乘、准确计算系数和指数，就能顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.9
6.已知
表示$3abc$，
表示$-4x^y w^z$，则
=
表示$3abc$，表示$-4x^y w^z$，则 = $-36m^6n^3$
答案
$-36m^6n^3$
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先读懂题目给出的两个图形符号的运算规则：从示例可知，插图1的运算规则是结果等于固定系数3乘图形内三个因式的乘积；插图2的运算规则是结果等于固定系数-4乘左侧字母的上方对应数字次方，再乘右侧字母的下方对应数字次方。第二步分别提取插图3中对应两类图形的元素，代入规则算出各自对应的单项式。第三步按照单项式乘单项式的运算法则计算最终结果，计算时系数相乘，同底数幂相加即可。
【解析】
1. 明确运算规则：
根据题意，插图1对应运算：$3 ×$ 内部三个因式的乘积；
插图2对应运算：$-4 ×$ 左字母$^{上方数字} ×$ 右字母$^{下方数字}$。
2. 拆分计算插图3的两部分：
插图3中插图1形式的部分内部因式为$3$、$m^2$、$n$，代入规则得：$3 × 3 × m^2 × n = 9m^2n$；
插图3中插图2形式的部分左字母为$m$，上方数字为$4$，右字母为$n$，下方数字为$2$，代入规则得：$-4 × m^4 × n^2 = -4m^4n^2$。
3. 计算两式的乘积：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂的指数相加：
$9m^2n × (-4m^4n^2) = [9 × (-4)] × (m^2 · m^4) × (n · n^2) = -36m^{2+4}n^{1+2} = -36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对新规则的读取理解能力和整式乘法的运算能力，解题的核心是准确把握图形符号对应的运算规则，避免因读错规则导致运算错误，计算时要注意系数的符号和同底数幂的指数运算规则。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先读懂题目给出的两个图形符号的运算规则：从示例可知，插图1的运算规则是结果等于固定系数3乘图形内三个因式的乘积；插图2的运算规则是结果等于固定系数-4乘左侧字母的上方对应数字次方，再乘右侧字母的下方对应数字次方。第二步分别提取插图3中对应两类图形的元素，代入规则算出各自对应的单项式。第三步按照单项式乘单项式的运算法则计算最终结果，计算时系数相乘，同底数幂相加即可。
【解析】
1. 明确运算规则：
根据题意，插图1对应运算：$3 ×$ 内部三个因式的乘积；
插图2对应运算：$-4 ×$ 左字母$^{上方数字} ×$ 右字母$^{下方数字}$。
2. 拆分计算插图3的两部分：
插图3中插图1形式的部分内部因式为$3$、$m^2$、$n$，代入规则得：$3 × 3 × m^2 × n = 9m^2n$；
插图3中插图2形式的部分左字母为$m$，上方数字为$4$，右字母为$n$，下方数字为$2$，代入规则得：$-4 × m^4 × n^2 = -4m^4n^2$。
3. 计算两式的乘积：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂的指数相加：
$9m^2n × (-4m^4n^2) = [9 × (-4)] × (m^2 · m^4) × (n · n^2) = -36m^{2+4}n^{1+2} = -36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对新规则的读取理解能力和整式乘法的运算能力，解题的核心是准确把握图形符号对应的运算规则，避免因读错规则导致运算错误，计算时要注意系数的符号和同底数幂的指数运算规则。
【难度系数】
0.7
7.已知多项式$2x^3 - 4x^2 - 1$除以多项式A，得商式为$2x$，余式为$x - 1$，则多项式A为________。
答案
$x^2 - 2x - \dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解答本题首先要明确整式除法中各部分的数量关系：被除式=除式×商式+余式。我们的目标是求除式A，因此可将上述公式变形为：A=(被除式-余式)÷商式，再代入已知的多项式，按照整式的减法、多项式除以单项式的运算法则逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据整式除法中各部分的关系可得：
$\mathrm{被除式} = A × \mathrm{商式} + \mathrm{余式}$
变形得：$A=(\mathrm{被除式} - \mathrm{余式}) ÷ \mathrm{商式}$
代入已知条件计算：
首先计算被除式减余式：
$\begin{aligned}(2x^3 - 4x^2 - 1) - (x - 1)&=2x^3 -4x^2 -1 -x +1\\&=2x^3 -4x^2 -x\end{aligned}$
再将所得结果除以商式$2x$：
$\begin{aligned}(2x^3 -4x^2 -x) ÷ 2x&=2x^3÷2x -4x^2÷2x -x÷2x\\&=x^2 -2x - \frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$x^2 - 2x - \dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式除法各部分关系、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握整式除法中四个量的等量关系，计算时注意去括号的符号变化，以及多项式除以单项式时每一项的运算规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确整式除法中各部分的数量关系：被除式=除式×商式+余式。我们的目标是求除式A，因此可将上述公式变形为：A=(被除式-余式)÷商式，再代入已知的多项式，按照整式的减法、多项式除以单项式的运算法则逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据整式除法中各部分的关系可得：
$\mathrm{被除式} = A × \mathrm{商式} + \mathrm{余式}$
变形得：$A=(\mathrm{被除式} - \mathrm{余式}) ÷ \mathrm{商式}$
代入已知条件计算：
首先计算被除式减余式：
$\begin{aligned}(2x^3 - 4x^2 - 1) - (x - 1)&=2x^3 -4x^2 -1 -x +1\\&=2x^3 -4x^2 -x\end{aligned}$
再将所得结果除以商式$2x$：
$\begin{aligned}(2x^3 -4x^2 -x) ÷ 2x&=2x^3÷2x -4x^2÷2x -x÷2x\\&=x^2 -2x - \frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$x^2 - 2x - \dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式除法各部分关系、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握整式除法中四个量的等量关系，计算时注意去括号的符号变化，以及多项式除以单项式时每一项的运算规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.计算:
(1)$-2a^2(3ab^2 - 5ab^3)$;
(2)$2x(3x - 5) - (2x - 3)(3x + 4)$;
(3)$(-2ab)^3 ÷ 4ab^2 · (-\dfrac{1}{2}b)$.
(1)$-2a^2(3ab^2 - 5ab^3)$;
(2)$2x(3x - 5) - (2x - 3)(3x + 4)$;
(3)$(-2ab)^3 ÷ 4ab^2 · (-\dfrac{1}{2}b)$.
答案
(1)$-6a^3b^2+10a^3b^3$
(2)$-9x+12$
(3)$a^2b^2$
(2)$-9x+12$
(3)$a^2b^2$
解析
【分析】
本题考查整式的运算，解题思路如下：
(1) 小题为单项式乘多项式，依据乘法分配律，用单项式分别乘多项式的每一项，再合并结果，运算时注意系数符号和同底数幂的乘法规则；
(2) 小题先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项即可；
(3) 小题是整式乘除混合运算，先计算积的乘方，再按照从左到右的顺序依次计算乘除，运算时分别处理系数、同底数幂的指数即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}-2a^2(3ab^2 - 5ab^3)&=-2a^2·3ab^2 + (-2a^2)·(-5ab^3)\\&=-6a^{3}b^2 + 10a^{3}b^3\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}2x(3x - 5) - (2x - 3)(3x + 4)&=(6x^2 -10x) - (6x^2 +8x -9x -12)\\&=6x^2 -10x -6x^2 +x +12\\&=-9x +12\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再从左到右计算乘除：
$\begin{aligned}(-2ab)^3 ÷ 4ab^2 · (-\dfrac{1}{2}b)&=-8a^3b^3 ÷4ab^2 ·(-\dfrac{1}{2}b)\\&=-2a^2b ·(-\dfrac{1}{2}b)\\&=a^2b^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6a^3b^2+10a^3b^3$
(2)$-9x+12$
(3)$a^2b^2$
【知识点】
整式的乘法运算，幂的运算法则，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题核心是严格遵循运算顺序，重点注意去括号的符号变化、幂的运算指数规则，熟练掌握此类题型能为后续复杂代数运算打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的运算，解题思路如下：
(1) 小题为单项式乘多项式，依据乘法分配律，用单项式分别乘多项式的每一项，再合并结果，运算时注意系数符号和同底数幂的乘法规则；
(2) 小题先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项即可；
(3) 小题是整式乘除混合运算，先计算积的乘方，再按照从左到右的顺序依次计算乘除，运算时分别处理系数、同底数幂的指数即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}-2a^2(3ab^2 - 5ab^3)&=-2a^2·3ab^2 + (-2a^2)·(-5ab^3)\\&=-6a^{3}b^2 + 10a^{3}b^3\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}2x(3x - 5) - (2x - 3)(3x + 4)&=(6x^2 -10x) - (6x^2 +8x -9x -12)\\&=6x^2 -10x -6x^2 +x +12\\&=-9x +12\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再从左到右计算乘除：
$\begin{aligned}(-2ab)^3 ÷ 4ab^2 · (-\dfrac{1}{2}b)&=-8a^3b^3 ÷4ab^2 ·(-\dfrac{1}{2}b)\\&=-2a^2b ·(-\dfrac{1}{2}b)\\&=a^2b^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6a^3b^2+10a^3b^3$
(2)$-9x+12$
(3)$a^2b^2$
【知识点】
整式的乘法运算，幂的运算法则，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题核心是严格遵循运算顺序，重点注意去括号的符号变化、幂的运算指数规则，熟练掌握此类题型能为后续复杂代数运算打好基础。
【难度系数】
0.8
9.下列计算正确的是 （
A.$(2a+b)(2a-b)=2a^2 - b^2$
B.$(2a+3b)^2=4a^2 +9b^2$
C.$(b - a)(a - b)= -a^2 +2ab -b^2$
D.$(-a -3b)^2=a^2 +3ab +9b^2$
C
）A.$(2a+b)(2a-b)=2a^2 - b^2$
B.$(2a+3b)^2=4a^2 +9b^2$
C.$(b - a)(a - b)= -a^2 +2ab -b^2$
D.$(-a -3b)^2=a^2 +3ab +9b^2$
答案
9.C
解析
【分析】
本题考查整式乘法中乘法公式的应用，解题思路是逐一验证每个选项：首先回忆平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征，再将每个选项的式子按照公式展开，和选项给出的结果对比即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方差公式，$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$，和选项给出的$2a^2 - b^2$不符，故A错误；
选项B：根据完全平方公式，$(2a+3b)^2=(2a)^2 + 2× 2a× 3b + (3b)^2=4a^2 + 12ab + 9b^2$，选项缺少中间的交叉项，故B错误；
选项C：先变形$(b-a)=-(a-b)$，则原式$=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，再用完全平方公式展开得$-(a^2 - 2ab + b^2)=-a^2 + 2ab - b^2$，和选项结果一致，故C正确；
选项D：先变形$(-a-3b)=-(a+3b)$，则原式$=[-(a+3b)]^2=(a+3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2$，和选项给出的$a^2 + 3ab + 9b^2$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查乘法公式的掌握程度，解题时要注意公式的结构特点，尤其是完全平方公式的交叉项和符号处理，避免出现漏项、系数算错的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中乘法公式的应用，解题思路是逐一验证每个选项：首先回忆平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征，再将每个选项的式子按照公式展开，和选项给出的结果对比即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方差公式，$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$，和选项给出的$2a^2 - b^2$不符，故A错误；
选项B：根据完全平方公式，$(2a+3b)^2=(2a)^2 + 2× 2a× 3b + (3b)^2=4a^2 + 12ab + 9b^2$，选项缺少中间的交叉项，故B错误；
选项C：先变形$(b-a)=-(a-b)$，则原式$=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，再用完全平方公式展开得$-(a^2 - 2ab + b^2)=-a^2 + 2ab - b^2$，和选项结果一致，故C正确；
选项D：先变形$(-a-3b)=-(a+3b)$，则原式$=[-(a+3b)]^2=(a+3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2$，和选项给出的$a^2 + 3ab + 9b^2$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查乘法公式的掌握程度，解题时要注意公式的结构特点，尤其是完全平方公式的交叉项和符号处理，避免出现漏项、系数算错的问题。
【难度系数】
0.8
10.(2024·抚顺望花区期末)计算：$2023^2 - 2022 × 2024 =$
1
。答案
1
解析
【分析】
观察算式中数字的特点，发现2022和2024分别与2023相差1，因此可以把2022转化为2023-1，2024转化为2023+1，此时乘积项2022×2024符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，即可和前面的2023²抵消，简化计算过程，避免直接计算大数乘积。
【解析】
解：原式$=2023^2 - (2023-1)×(2023+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2023-1)×(2023+1)=2023^2 - 1^2$
代入原式得：
$=2023^2 - (2023^2 - 1)$
$=2023^2 - 2023^2 + 1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法的典型简便计算题，解题核心是通过观察数字特征，将接近相同整数的两个数的乘积转化为平方差的形式，大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
观察算式中数字的特点，发现2022和2024分别与2023相差1，因此可以把2022转化为2023-1，2024转化为2023+1，此时乘积项2022×2024符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，即可和前面的2023²抵消，简化计算过程，避免直接计算大数乘积。
【解析】
解：原式$=2023^2 - (2023-1)×(2023+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2023-1)×(2023+1)=2023^2 - 1^2$
代入原式得：
$=2023^2 - (2023^2 - 1)$
$=2023^2 - 2023^2 + 1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法的典型简便计算题，解题核心是通过观察数字特征，将接近相同整数的两个数的乘积转化为平方差的形式，大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
11.(2024·沈阳一二六中期初)(1)已知$x^2+y^2=16$，$xy=5$，则$(x+y)^2$的值为
(2)已知$(x+y)^2=81$，$xy=8$，则$x-y=$
(3)已知$x$满足$(x-125)^2+(x-127)^2=202$，则$x-126$的值为
26
。(2)已知$(x+y)^2=81$，$xy=8$，则$x-y=$
$\pm7$
。(3)已知$x$满足$(x-125)^2+(x-127)^2=202$，则$x-126$的值为
$\pm10$
。答案
(1)26
(2)$\pm7$
(3)$\pm10$
(2)$\pm7$
(3)$\pm10$
解析
【分析】
本题三个小问均围绕完全平方公式的变形应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：直接利用完全平方和公式的展开式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知的$x^2+y^2$和$xy$的值代入计算即可。
2. 第(2)问：利用完全平方公式的变形关系$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，先求出$(x-y)^2$的值，再开平方，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
3. 第(3)问：观察到$x-125$和$x-127$都与$x-126$相差1，因此用换元法，设$a=x-126$，将原式转化为关于$a$的方程，展开后消去一次项即可快速求解。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2+y^2=16$，$xy=5$代入得：
原式$=16 + 2×5 = 26$
(2) 根据完全平方公式的变形：
$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
将$(x+y)^2=81$，$xy=8$代入得：
$(x-y)^2=81 - 4×8=49$
因为$(\pm7)^2=49$，所以$x-y=\pm7$
(3) 设$a=x-126$，则$x-125=a+1$，$x-127=a-1$，代入原式得：
$(a+1)^2 + (a-1)^2 = 202$
展开得：$a^2+2a+1 + a^2-2a+1 = 202$
合并同类项得：$2a^2 + 2 = 202$
化简得：$a^2=100$，因此$a=\pm10$，即$x-126=\pm10$
【答案】
(1)26；(2)$\pm7$；(3)$\pm10$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题时要熟练掌握完全平方和、完全平方差之间的转换关系，开平方运算时注意不要遗漏负根，第三题通过换元可大幅简化计算，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
本题三个小问均围绕完全平方公式的变形应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：直接利用完全平方和公式的展开式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知的$x^2+y^2$和$xy$的值代入计算即可。
2. 第(2)问：利用完全平方公式的变形关系$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，先求出$(x-y)^2$的值，再开平方，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
3. 第(3)问：观察到$x-125$和$x-127$都与$x-126$相差1，因此用换元法，设$a=x-126$，将原式转化为关于$a$的方程，展开后消去一次项即可快速求解。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2+y^2=16$，$xy=5$代入得：
原式$=16 + 2×5 = 26$
(2) 根据完全平方公式的变形：
$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
将$(x+y)^2=81$，$xy=8$代入得：
$(x-y)^2=81 - 4×8=49$
因为$(\pm7)^2=49$，所以$x-y=\pm7$
(3) 设$a=x-126$，则$x-125=a+1$，$x-127=a-1$，代入原式得：
$(a+1)^2 + (a-1)^2 = 202$
展开得：$a^2+2a+1 + a^2-2a+1 = 202$
合并同类项得：$2a^2 + 2 = 202$
化简得：$a^2=100$，因此$a=\pm10$，即$x-126=\pm10$
【答案】
(1)26；(2)$\pm7$；(3)$\pm10$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题时要熟练掌握完全平方和、完全平方差之间的转换关系，开平方运算时注意不要遗漏负根，第三题通过换元可大幅简化计算，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
