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12.利用乘法公式进行计算：
(1)$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1)$；
(2)$(3x+2)^2-(3x-5)^2$；
(3)$(2x+3y)^2(2x-3y)^2$。
(1)$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1)$；
(2)$(3x+2)^2-(3x-5)^2$；
(3)$(2x+3y)^2(2x-3y)^2$。
答案
(1)$x^8-1$
(2)$42x-21$
(3)$16x^4-72x^2y^2+81y^4$
(2)$42x-21$
(3)$16x^4-72x^2y^2+81y^4$
解析
【分析】
这三道题均考查乘法公式的灵活运用，解题时先观察式子的结构特征，选择对应公式简化计算：
(1) 式子是多个二项式连乘，前两个因式符合平方差公式的结构，计算得到的结果和下一个因式又构成平方差的形式，可连续使用平方差公式计算，避免逐项展开的繁琐；
(2) 式子是两个整式的平方差，可直接逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，比分别展开两个完全平方再相减更简便，减少计算错误；
(3) 两个因式的指数相同，可先逆用积的乘方性质$a^2b^2=(ab)^2$，将两个底数先相乘，再利用平方差公式、完全平方公式依次计算即可。
【解析】
(1) 连续使用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)\\&=(x^4-1)(x^4+1)\\&=x^8-1\end{aligned}$
(2) 逆用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(3x+2)-(3x-5)][(3x+2)+(3x-5)]\\&=(3x+2-3x+5)(3x+2+3x-5)\\&=7×(6x-3)\\&=42x-21\end{aligned}$
(3) 先逆用积的乘方，再依次用平方差、完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(2x+3y)(2x-3y)]^2\\&=(4x^2-9y^2)^2\\&=(4x^2)^2-2×4x^2×9y^2+(9y^2)^2\\&=16x^4-72x^2y^2+81y^4\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^8-1$；(2)$42x-21$；(3)$16x^4-72x^2y^2+81y^4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，积的乘方逆用
【点评】
这组题目核心考查乘法公式的灵活运用，解题时不要盲目展开，先观察式子的结构特征，匹配对应的公式可大幅简化计算过程，降低出错概率，需要熟练掌握各乘法公式的形式特点，做到快速识别、正确套用。
【难度系数】
0.75
这三道题均考查乘法公式的灵活运用，解题时先观察式子的结构特征，选择对应公式简化计算：
(1) 式子是多个二项式连乘，前两个因式符合平方差公式的结构，计算得到的结果和下一个因式又构成平方差的形式，可连续使用平方差公式计算，避免逐项展开的繁琐；
(2) 式子是两个整式的平方差，可直接逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，比分别展开两个完全平方再相减更简便，减少计算错误；
(3) 两个因式的指数相同，可先逆用积的乘方性质$a^2b^2=(ab)^2$，将两个底数先相乘，再利用平方差公式、完全平方公式依次计算即可。
【解析】
(1) 连续使用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)\\&=(x^4-1)(x^4+1)\\&=x^8-1\end{aligned}$
(2) 逆用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(3x+2)-(3x-5)][(3x+2)+(3x-5)]\\&=(3x+2-3x+5)(3x+2+3x-5)\\&=7×(6x-3)\\&=42x-21\end{aligned}$
(3) 先逆用积的乘方，再依次用平方差、完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(2x+3y)(2x-3y)]^2\\&=(4x^2-9y^2)^2\\&=(4x^2)^2-2×4x^2×9y^2+(9y^2)^2\\&=16x^4-72x^2y^2+81y^4\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^8-1$；(2)$42x-21$；(3)$16x^4-72x^2y^2+81y^4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，积的乘方逆用
【点评】
这组题目核心考查乘法公式的灵活运用，解题时不要盲目展开，先观察式子的结构特征，匹配对应的公式可大幅简化计算过程，降低出错概率，需要熟练掌握各乘法公式的形式特点，做到快速识别、正确套用。
【难度系数】
0.75
13.【新考法·新定义】(2025·大连西岗区期末)规定$a,b$两数之间的一种运算,记作$[a,b]$.如果$a^c = b$,那么$[a,b]=c$.例如,因为$2^4=16$,所以$[2,16]=4$.
(1)$[3,27]=$
(2)已知$1=[-2, -2],2=[-2,4],3=[-2, -8],4=[-2,16],5=[-2, -32],···$,则$9=[-2,$
(3)令$n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3]$,若$b_1 + b_2 + b_3 = 3072$,求$n$的值.
(1)$[3,27]=$
3
,$[$-2
$, -8]=3$;(2)已知$1=[-2, -2],2=[-2,4],3=[-2, -8],4=[-2,16],5=[-2, -32],···$,则$9=[-2,$
-512
$],n=[-2,$$(-2)^n$
$]$;(3)令$n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3]$,若$b_1 + b_2 + b_3 = 3072$,求$n$的值.
答案
解:(1)3 -2
(2)-512 $(-2)^n$
(3)$\because n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3],$
$\therefore b_1=(-2)^n,b_2=(-2)^{n+1},b_3=(-2)^{n+2}.$
$\because b_1+b_2+b_3=3\ 072,$
$\therefore (-2)^n+(-2)^{n+1}+(-2)^{n+2}=3\ 072,$
$\therefore (-2)^n[1+(-2)+(-2)^2]=3\ 072,$
$\therefore 3×(-2)^n=3\ 072,\therefore (-2)^n=1\ 024,$
$\therefore n=10.$
(2)-512 $(-2)^n$
(3)$\because n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3],$
$\therefore b_1=(-2)^n,b_2=(-2)^{n+1},b_3=(-2)^{n+2}.$
$\because b_1+b_2+b_3=3\ 072,$
$\therefore (-2)^n+(-2)^{n+1}+(-2)^{n+2}=3\ 072,$
$\therefore (-2)^n[1+(-2)+(-2)^2]=3\ 072,$
$\therefore 3×(-2)^n=3\ 072,\therefore (-2)^n=1\ 024,$
$\therefore n=10.$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算规则：如果$a^c = b$，那么$[a,b]=c$，本质是已知底数和幂的值，求对应的指数。
（1）第一空需计算3的多少次方等于27，结合乘方运算即可得到结果；第二空已知指数为3、幂为-8，通过乘方的逆运算即可求出底数。
（2）根据给出的示例规律，$9=[-2,\_\_\_\_\_\_]$即求$(-2)^9$的结果；同理可总结出$n=[-2,\_\_\_\_\_\_]$的通用表达式。
（3）先根据新定义规则，将$b_1、b_2、b_3$转化为含$n$的乘方形式，再提取公因式$(-2)^n$简化等式，最后结合乘方的性质求解$n$的值。
【解析】
(1) 因为$3^3=27$，所以$[3,27]=3$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$[-2,-8]=3$。
(2) 由运算规则可知，$9=[-2,x]$等价于$x=(-2)^9=-512$；
结合给出的示例规律可推得，$n=[-2,(-2)^n]$。
(3) $\because n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3],$
$\therefore b_1=(-2)^n,b_2=(-2)^{n+1},b_3=(-2)^{n+2}.$
$\because b_1+b_2+b_3=3072,$
$\therefore (-2)^n+(-2)^{n+1}+(-2)^{n+2}=3072,$
提取公因式$(-2)^n$得：$(-2)^n[1+(-2)+(-2)^2]=3072,$
计算得括号内结果为3，即$3×(-2)^n=3072,$
化简得$(-2)^n=1024,$
又$1024=(-2)^{10}$，因此$n=10.$
【答案】
(1)3；-2
(2)-512；$(-2)^n$
(3)$n=10$
【知识点】
新定义运算，有理数的乘方，提取公因式
【点评】
本题结合新定义考查乘方的相关运算，解题的关键是读懂新定义的运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的乘方运算，第三小问运用提取公因式的方法可快速简化算式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算规则：如果$a^c = b$，那么$[a,b]=c$，本质是已知底数和幂的值，求对应的指数。
（1）第一空需计算3的多少次方等于27，结合乘方运算即可得到结果；第二空已知指数为3、幂为-8，通过乘方的逆运算即可求出底数。
（2）根据给出的示例规律，$9=[-2,\_\_\_\_\_\_]$即求$(-2)^9$的结果；同理可总结出$n=[-2,\_\_\_\_\_\_]$的通用表达式。
（3）先根据新定义规则，将$b_1、b_2、b_3$转化为含$n$的乘方形式，再提取公因式$(-2)^n$简化等式，最后结合乘方的性质求解$n$的值。
【解析】
(1) 因为$3^3=27$，所以$[3,27]=3$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$[-2,-8]=3$。
(2) 由运算规则可知，$9=[-2,x]$等价于$x=(-2)^9=-512$；
结合给出的示例规律可推得，$n=[-2,(-2)^n]$。
(3) $\because n=[-2,b_1],n+1=[-2,b_2],n+2=[-2,b_3],$
$\therefore b_1=(-2)^n,b_2=(-2)^{n+1},b_3=(-2)^{n+2}.$
$\because b_1+b_2+b_3=3072,$
$\therefore (-2)^n+(-2)^{n+1}+(-2)^{n+2}=3072,$
提取公因式$(-2)^n$得：$(-2)^n[1+(-2)+(-2)^2]=3072,$
计算得括号内结果为3，即$3×(-2)^n=3072,$
化简得$(-2)^n=1024,$
又$1024=(-2)^{10}$，因此$n=10.$
【答案】
(1)3；-2
(2)-512；$(-2)^n$
(3)$n=10$
【知识点】
新定义运算，有理数的乘方，提取公因式
【点评】
本题结合新定义考查乘方的相关运算，解题的关键是读懂新定义的运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的乘方运算，第三小问运用提取公因式的方法可快速简化算式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
14.【新考法·阅读理解】通过前面的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1，可以得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；如图2，可以得到$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。现用四个长与宽分别为$a,b$的小长方形拼成如图3所示的正方形（包含中间的阴影部分），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)［探索发现］①从整体看，图3中大正方形的面积可以表示为________；
②从图3中的五个部分看，大正方形的面积可以表示为________，根据题意可以得到的等式为________。
(2)［解决问题］若$(x+y)^2 = 400$，$xy = 19$，且$x＞y$，则$x-y = \_\_\_\_\_\_$。
(3)［拓展提升］如图4，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边分别向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H得到长方形DCBH。设$AB=10$，图中阴影部分的面积为24，求$BC-CD$的值。$(BC＞CD)$
(1)［探索发现］①从整体看，图3中大正方形的面积可以表示为________；
②从图3中的五个部分看，大正方形的面积可以表示为________，根据题意可以得到的等式为________。
(2)［解决问题］若$(x+y)^2 = 400$，$xy = 19$，且$x＞y$，则$x-y = \_\_\_\_\_\_$。
(3)［拓展提升］如图4，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边分别向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H得到长方形DCBH。设$AB=10$，图中阴影部分的面积为24，求$BC-CD$的值。$(BC＞CD)$
答案
(1)①$(a+b)^2$
②$(a-b)^2+4ab$ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)18
(3)2
②$(a-b)^2+4ab$ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)18
(3)2
解析
【分析】
(1) 观察图3：①整体来看，大正方形的边长为小长方形的长与宽之和$a+b$，直接用正方形面积公式即可表示；②分部分计算时，中间阴影小正方形的边长为$a-b$，加上4个小长方形的总面积，两种方式表示的是同一个大正方形的面积，联立即可得到等式。
(2) 利用(1)得到的等式变形，代入已知的$(x+y)^2$和$xy$的值，结合$x＞y$的条件取正的平方根即可求解。
(3) 设$BC=m$，$CD=n$，根据正方形性质可得$AC=CD=n$，结合$AB=10$得到$m+n=10$；再根据阴影部分是长方形，面积为$mn=24$，最后利用完全平方公式变形求解$m-n$，结合$BC＞CD$的条件取正根即可。
【解析】
(1) ① 图3中大正方形的边长为$a+b$，因此面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
② 中间阴影小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此大正方形面积为$\boldsymbol{(a-b)^2+4ab}$；
两种方法表示的都是大正方形的面积，因此得到等式$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(2) 由(1)的等式变形得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$(x+y)^2=400$，$xy=19$代入得：
$(x-y)^2=400-4×19=324$，
因为$x＞y$，所以$x-y＞0$，因此$x-y=\sqrt{324}=18$。
(3) 设$BC=m$，$CD=n$，
∵四边形$ACDE$是正方形，
∴$AC=CD=n$，
∵$AB=AC+BC=10$，
∴$m+n=10$，
∵阴影部分为长方形$DCBH$，面积为24，
∴$mn=24$，
由完全平方公式变形得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
代入$m+n=10$，$mn=24$得：
$(m-n)^2=10^2-4×24=4$，
∵$BC＞CD$即$m＞n$，
∴$m-n＞0$，因此$m-n=2$，即$BC-CD=2$。
【答案】
(1)①$(a+b)^2$；②$(a-b)^2+4ab$，$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)18
(3)2
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，面积法计算
【点评】
本题结合几何图形面积考查完全平方公式的推导与变形应用，要求学生掌握数形结合思想，能灵活运用完全平方公式的变形解决问题，侧重对公式理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图3：①整体来看，大正方形的边长为小长方形的长与宽之和$a+b$，直接用正方形面积公式即可表示；②分部分计算时，中间阴影小正方形的边长为$a-b$，加上4个小长方形的总面积，两种方式表示的是同一个大正方形的面积，联立即可得到等式。
(2) 利用(1)得到的等式变形，代入已知的$(x+y)^2$和$xy$的值，结合$x＞y$的条件取正的平方根即可求解。
(3) 设$BC=m$，$CD=n$，根据正方形性质可得$AC=CD=n$，结合$AB=10$得到$m+n=10$；再根据阴影部分是长方形，面积为$mn=24$，最后利用完全平方公式变形求解$m-n$，结合$BC＞CD$的条件取正根即可。
【解析】
(1) ① 图3中大正方形的边长为$a+b$，因此面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
② 中间阴影小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此大正方形面积为$\boldsymbol{(a-b)^2+4ab}$；
两种方法表示的都是大正方形的面积，因此得到等式$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(2) 由(1)的等式变形得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$(x+y)^2=400$，$xy=19$代入得：
$(x-y)^2=400-4×19=324$，
因为$x＞y$，所以$x-y＞0$，因此$x-y=\sqrt{324}=18$。
(3) 设$BC=m$，$CD=n$，
∵四边形$ACDE$是正方形，
∴$AC=CD=n$，
∵$AB=AC+BC=10$，
∴$m+n=10$，
∵阴影部分为长方形$DCBH$，面积为24，
∴$mn=24$，
由完全平方公式变形得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
代入$m+n=10$，$mn=24$得：
$(m-n)^2=10^2-4×24=4$，
∵$BC＞CD$即$m＞n$，
∴$m-n＞0$，因此$m-n=2$，即$BC-CD=2$。
【答案】
(1)①$(a+b)^2$；②$(a-b)^2+4ab$，$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)18
(3)2
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，面积法计算
【点评】
本题结合几何图形面积考查完全平方公式的推导与变形应用，要求学生掌握数形结合思想，能灵活运用完全平方公式的变形解决问题，侧重对公式理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
