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1 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆心角和圆周角的定义：圆心角的顶点在圆心，两边为与圆相交的半径；圆周角的顶点在圆上，两边均与圆相交。接下来对照定义逐一判断四个选项中是否同时存在这两类角，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两类角的定义：
1. 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角；
2. 圆心角：顶点在圆心，且两边都和圆相交的角。
逐个分析选项：
A选项：所有角的顶点都在圆上，仅存在圆周角，没有圆心角，不符合要求；
B选项：既有顶点在圆上的圆周角，又有顶点在圆心的圆心角，同时具备两类角，符合要求；
C选项：不存在顶点在圆心的角，没有圆心角，不符合要求；
D选项：所有角的顶点都在圆心，仅存在圆心角，没有圆周角，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义、圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆心角和圆周角定义的理解和区分，只要牢牢掌握两类角的顶点位置特征，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确圆心角和圆周角的定义：圆心角的顶点在圆心，两边为与圆相交的半径；圆周角的顶点在圆上，两边均与圆相交。接下来对照定义逐一判断四个选项中是否同时存在这两类角，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两类角的定义：
1. 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角；
2. 圆心角：顶点在圆心，且两边都和圆相交的角。
逐个分析选项：
A选项：所有角的顶点都在圆上，仅存在圆周角，没有圆心角，不符合要求；
B选项：既有顶点在圆上的圆周角，又有顶点在圆心的圆心角，同时具备两类角，符合要求；
C选项：不存在顶点在圆心的角，没有圆心角，不符合要求；
D选项：所有角的顶点都在圆心，仅存在圆心角，没有圆周角，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义、圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆心角和圆周角定义的理解和区分，只要牢牢掌握两类角的顶点位置特征，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2 如图，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是
(第2题)
$∠ BDC$
，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角是$∠ CBD,∠ CAD$
。 (第2题)答案
2. $∠ BDC$；$∠ CBD,∠ CAD$
解析
【分析】
解题前先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。找某段弧所对的圆周角时，需满足两个条件：①角的顶点不在该段弧上，在圆的其他位置；②角的两条边分别经过这段弧的两个端点。首先针对$\overset{\frown}{BC}$，它的两个端点是B和C，我们在圆上找符合上述条件的角；再针对$\overset{\frown}{CD}$，它的两个端点是C和D，同样找符合条件的角即可。
【解析】
1. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
$\overset{\frown}{BC}$的端点为B、C，顶点在圆上，两边分别过B、C的角为$∠ BDC$，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是$∠ BDC$。
2. 找$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角：
$\overset{\frown}{CD}$的端点为C、D，顶点在圆上，两边分别过C、D的角有：顶点为B时的$∠ CBD$，顶点为A时的$∠ CAD$，因此$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角是$∠ CBD、∠ CAD$。
【答案】
$∠ BDC$；$∠ CBD,∠ CAD$
【知识点】
圆周角的定义；弧与圆周角的对应
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对圆周角定义的理解和应用，解题时要注意一段弧对应的圆周角不止一个，不要出现漏解的情况，熟练掌握圆周角的特征是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。找某段弧所对的圆周角时，需满足两个条件：①角的顶点不在该段弧上，在圆的其他位置；②角的两条边分别经过这段弧的两个端点。首先针对$\overset{\frown}{BC}$，它的两个端点是B和C，我们在圆上找符合上述条件的角；再针对$\overset{\frown}{CD}$，它的两个端点是C和D，同样找符合条件的角即可。
【解析】
1. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
$\overset{\frown}{BC}$的端点为B、C，顶点在圆上，两边分别过B、C的角为$∠ BDC$，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是$∠ BDC$。
2. 找$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角：
$\overset{\frown}{CD}$的端点为C、D，顶点在圆上，两边分别过C、D的角有：顶点为B时的$∠ CBD$，顶点为A时的$∠ CAD$，因此$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角是$∠ CBD、∠ CAD$。
【答案】
$∠ BDC$；$∠ CBD,∠ CAD$
【知识点】
圆周角的定义；弧与圆周角的对应
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对圆周角定义的理解和应用，解题时要注意一段弧对应的圆周角不止一个，不要出现漏解的情况，熟练掌握圆周角的特征是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3 [2024湖南]如图，AB，AC为$\odot O$的两条弦，连接OB，OC.若$∠ A＝45°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
（第3题）
C
）A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
（第3题）答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先识别两个角的类型和所对的弧：∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧都是弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需要将已知的∠A的度数代入公式计算，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
∴∠BOC = 2∠BAC
又
∵∠BAC = 45°
∴∠BOC = 2×45° = 90°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角，计算难度低。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别两个角的类型和所对的弧：∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧都是弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需要将已知的∠A的度数代入公式计算，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
∴∠BOC = 2∠BAC
又
∵∠BAC = 45°
∴∠BOC = 2×45° = 90°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角，计算难度低。
【难度系数】
0.9
4 如图,点A,B,C,P都在$\odot O$上.若$∠ AOB=100°,∠ AOC=30°$,则$∠ P$的度数为
$35°$
.答案
4. $35°$
解析
【分析】
要计算圆周角∠P的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。观察图形可知∠P所对的弧是弧BC，因此需要先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数。已知∠AOB和∠AOC的度数，用∠AOB减去∠AOC即可得到∠BOC的度数，再结合圆周角定理就能求出∠P的度数。
【解析】
首先计算弧BC对应的圆心角：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 100° - 30° = 70°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ P$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，因此：
$∠ P = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是找准圆周角对应的同弧所对的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆周角∠P的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。观察图形可知∠P所对的弧是弧BC，因此需要先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数。已知∠AOB和∠AOC的度数，用∠AOB减去∠AOC即可得到∠BOC的度数，再结合圆周角定理就能求出∠P的度数。
【解析】
首先计算弧BC对应的圆心角：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 100° - 30° = 70°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ P$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，因此：
$∠ P = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是找准圆周角对应的同弧所对的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 [2024 宜宾]如图，AB是$\odot O$的直径. 若$∠ CDB=60°$, 则$∠ ABC$的度数为 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，∠CDB=60°，目标是求∠ABC的度数。第一步，回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∠CDB和∠CAB都对应弧CB，因此可得到∠CAB的度数；第二步，回忆直径的性质：直径所对的圆周角是直角，因此△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵ ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CAB=∠CDB=60°，
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB=90°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-60°=30°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；三角形内角和
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用圆周角定理的推论，先通过同弧找到相等的圆周角，再结合直径的性质得到直角三角形，最终计算所求角度，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，∠CDB=60°，目标是求∠ABC的度数。第一步，回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∠CDB和∠CAB都对应弧CB，因此可得到∠CAB的度数；第二步，回忆直径的性质：直径所对的圆周角是直角，因此△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵ ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CAB=∠CDB=60°，
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB=90°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-60°=30°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；三角形内角和
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用圆周角定理的推论，先通过同弧找到相等的圆周角，再结合直径的性质得到直角三角形，最终计算所求角度，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
6 [2024 陕西]如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，$∠ A = 53°$，则$∠ B$的度数是
（第6题）
$37°$
。（第6题）答案
6. $37°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关定理：看到圆的直径，优先想到直径所对的圆周角是直角；看到等弧，想到同圆中等弧所对的圆周角相等。我们可以通过连接BD构造直径所对的直角三角形，先在Rt△ADB中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再结合等弧的性质得到∠B与∠ABD相等，即可求出∠B的度数。
【解析】
连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ A = 53°$，
∴$∠ ABD = 90° - ∠ A = 90° - 53° = 37°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，
∴$∠ ABC = ∠ ABD$（同圆中，等弧所对的圆周角相等），
即$∠ B = 37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
圆周角定理推论、直角三角形性质、等弧对等角
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是对圆周角相关推论的应用，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，再结合等弧的性质转化角度，整体计算量小，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件联想相关定理：看到圆的直径，优先想到直径所对的圆周角是直角；看到等弧，想到同圆中等弧所对的圆周角相等。我们可以通过连接BD构造直径所对的直角三角形，先在Rt△ADB中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再结合等弧的性质得到∠B与∠ABD相等，即可求出∠B的度数。
【解析】
连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ A = 53°$，
∴$∠ ABD = 90° - ∠ A = 90° - 53° = 37°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，
∴$∠ ABC = ∠ ABD$（同圆中，等弧所对的圆周角相等），
即$∠ B = 37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
圆周角定理推论、直角三角形性质、等弧对等角
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是对圆周角相关推论的应用，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，再结合等弧的性质转化角度，整体计算量小，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
7（易错题）已知$\odot O$的直径AB长为2，弦AC长为$\sqrt{2}$，则弦AC所对的圆周角的度数为
$45°或135°$
。答案
7. $45°或135°$
易错分析：忽视一条弦对应两个圆周角致错。
易错分析：忽视一条弦对应两个圆周角致错。
解析
【分析】
解题时首先明确要求弦AC所对的圆周角，根据圆周角定理，需先求出弦AC对应的圆心角的度数：1. 连接半径OA、OC，由直径长度可得半径长，结合AC的长度，用勾股定理逆定理可判断△AOC的形状，得到圆心角∠AOC的度数；2. 注意一条弦对应两类圆周角，分别对应劣弧AC和优弧AC所对的圆周角，两类圆周角互补，不要漏解。
【解析】
解：连接OA、OC，
∵⊙O的直径AB=2，
∴半径OA=OC=1，
又
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴$OA^2 + OC^2 = 1^2 + 1^2 = 2 = (\sqrt{2})^2 = AC^2$，
∴△AOC是等腰直角三角形，$∠ AOC=90°$。
①当圆周角的顶点在劣弧AC所对的优弧上时，根据圆周角定理，该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×90°=45°$；
②当圆周角的顶点在优弧AC所对的劣弧上时，优弧AC的度数为$360°-90°=270°$，对应的圆周角度数为$\frac{1}{2}×270°=135°$。
综上，弦AC所对的圆周角的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理逆定理；圆的弦的性质
【点评】
本题为易错题，解题时易只考虑劣弧对应的$45°$圆周角，忽略优弧对应的$135°$圆周角导致漏解，需牢记一条非直径的弦对应两个互补的圆周角。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确要求弦AC所对的圆周角，根据圆周角定理，需先求出弦AC对应的圆心角的度数：1. 连接半径OA、OC，由直径长度可得半径长，结合AC的长度，用勾股定理逆定理可判断△AOC的形状，得到圆心角∠AOC的度数；2. 注意一条弦对应两类圆周角，分别对应劣弧AC和优弧AC所对的圆周角，两类圆周角互补，不要漏解。
【解析】
解：连接OA、OC，
∵⊙O的直径AB=2，
∴半径OA=OC=1，
又
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴$OA^2 + OC^2 = 1^2 + 1^2 = 2 = (\sqrt{2})^2 = AC^2$，
∴△AOC是等腰直角三角形，$∠ AOC=90°$。
①当圆周角的顶点在劣弧AC所对的优弧上时，根据圆周角定理，该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×90°=45°$；
②当圆周角的顶点在优弧AC所对的劣弧上时，优弧AC的度数为$360°-90°=270°$，对应的圆周角度数为$\frac{1}{2}×270°=135°$。
综上，弦AC所对的圆周角的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理逆定理；圆的弦的性质
【点评】
本题为易错题，解题时易只考虑劣弧对应的$45°$圆周角，忽略优弧对应的$135°$圆周角导致漏解，需牢记一条非直径的弦对应两个互补的圆周角。
【难度系数】
0.6
8 如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，$AC⊥ BC$，$AC=4$，$∠ ADC=30°$，则BC的长为
$4\sqrt{3}$
。答案
8. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察条件AC⊥BC，可联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此先作辅助线连接AB，得到AB为⊙O的直径。接下来要将已知的∠ADC=30°转化到直角三角形ACB中，根据同弧所对的圆周角相等，可知弧AC对应的∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC=30°，最后在Rt△ACB中利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接AB。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB是⊙O的直径。
∵ ∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC=30°。
在Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=4，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理推论，同弧所对圆周角相等，勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的基础题，解题的关键是通过直角圆周角确定直径，再利用圆周角的性质完成角度的转化，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，是圆周角知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察条件AC⊥BC，可联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此先作辅助线连接AB，得到AB为⊙O的直径。接下来要将已知的∠ADC=30°转化到直角三角形ACB中，根据同弧所对的圆周角相等，可知弧AC对应的∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC=30°，最后在Rt△ACB中利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接AB。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB是⊙O的直径。
∵ ∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC=30°。
在Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=4，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理推论，同弧所对圆周角相等，勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的基础题，解题的关键是通过直角圆周角确定直径，再利用圆周角的性质完成角度的转化，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，是圆周角知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
9 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，点M在$\odot O$上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
（1）若$CD=16$，$BE=4$，求$\odot O$的直径；
（2）连接BD，若$∠ M = ∠ CDM$，求$∠ CDB$的度数.
（1）若$CD=16$，$BE=4$，求$\odot O$的直径；
（2）连接BD，若$∠ M = ∠ CDM$，求$∠ CDB$的度数.
答案
9. (1) $\because$ AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB,CD=16,\therefore ∠ OED=90°,DE=\frac{1}{2}CD=8. \because BE=4,\therefore OE=OB-BE=OD-4.$ 在$\mathrm{Rt}△ OED$中,$\because OE^2+DE^2=OD^2,\therefore (OD-4)^2+8^2=OD^2.$$\therefore OD = 10. \therefore \odot O$ 的直径是 20
(2) $\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ OED=90°. \therefore ∠ EOD+∠ CDM=90°. \because ∠ M=∠ CDM$,$∠ EOD=2∠ M, \therefore ∠ EOD+∠ CDM=2∠ M+∠ CDM=2∠ CDM+∠ CDM=90°. \therefore ∠ CDM=∠ M=30°. \because AB⊥ CD$,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}. \therefore ∠ CDB=∠ M=30°$
(2) $\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ OED=90°. \therefore ∠ EOD+∠ CDM=90°. \because ∠ M=∠ CDM$,$∠ EOD=2∠ M, \therefore ∠ EOD+∠ CDM=2∠ M+∠ CDM=2∠ CDM+∠ CDM=90°. \therefore ∠ CDM=∠ M=30°. \because AB⊥ CD$,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}. \therefore ∠ CDB=∠ M=30°$
解析
【分析】
（1）求圆的直径可先求半径。已知直径AB垂直弦CD，首先根据垂径定理求出DE的长度；设⊙O的半径为r，则OE=r-BE，在Rt△OED中利用勾股定理列方程即可求出半径，进而得到直径。
（2）求∠CDB的度数，首先结合已知∠M=∠CDM，根据圆周角定理可得∠EOD=2∠M=2∠CDM，再在Rt△OED中利用直角三角形两锐角互余求出∠CDM的度数，最后根据垂径定理得到$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，利用同弧所对的圆周角相等即可得出∠CDB的度数。
【解析】
（1）
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB,CD=16$，
∴$∠ OED=90°$，$DE=\frac{1}{2}CD=8$。
∵$BE=4$，
∴$OE=OB-BE=OD-4$，
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
代入得$(OD-4)^2+8^2=OD^2$，
展开化简得$8OD=80$，解得$OD = 10$，
∴$\odot O$的直径为$2×10=20$。
（2）
∵$CD ⊥ AB$，
∴$∠ OED=90°$，
∴$∠ EOD+∠ CDM=90°$，
∵$∠ M=∠ CDM$，根据圆周角定理，圆心角$∠EOD=2∠M$，
∴$∠ EOD+∠ CDM=2∠ M+∠ CDM=2∠ CDM+∠ CDM=3∠CDM=90°$，
解得$∠ CDM=∠ M=30°$，
∵$AB⊥ CD$，根据垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角$∠ CDB=∠ M=30°$。
【答案】
(1) $\odot O$的直径为20；(2) $∠ CDB=30°$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质应用的典型基础题，求解半径时用到了方程思想，求角度时结合了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握圆的基本性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）求圆的直径可先求半径。已知直径AB垂直弦CD，首先根据垂径定理求出DE的长度；设⊙O的半径为r，则OE=r-BE，在Rt△OED中利用勾股定理列方程即可求出半径，进而得到直径。
（2）求∠CDB的度数，首先结合已知∠M=∠CDM，根据圆周角定理可得∠EOD=2∠M=2∠CDM，再在Rt△OED中利用直角三角形两锐角互余求出∠CDM的度数，最后根据垂径定理得到$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，利用同弧所对的圆周角相等即可得出∠CDB的度数。
【解析】
（1）
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB,CD=16$，
∴$∠ OED=90°$，$DE=\frac{1}{2}CD=8$。
∵$BE=4$，
∴$OE=OB-BE=OD-4$，
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
代入得$(OD-4)^2+8^2=OD^2$，
展开化简得$8OD=80$，解得$OD = 10$，
∴$\odot O$的直径为$2×10=20$。
（2）
∵$CD ⊥ AB$，
∴$∠ OED=90°$，
∴$∠ EOD+∠ CDM=90°$，
∵$∠ M=∠ CDM$，根据圆周角定理，圆心角$∠EOD=2∠M$，
∴$∠ EOD+∠ CDM=2∠ M+∠ CDM=2∠ CDM+∠ CDM=3∠CDM=90°$，
解得$∠ CDM=∠ M=30°$，
∵$AB⊥ CD$，根据垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角$∠ CDB=∠ M=30°$。
【答案】
(1) $\odot O$的直径为20；(2) $∠ CDB=30°$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质应用的典型基础题，求解半径时用到了方程思想，求角度时结合了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握圆的基本性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
10 如图，AB为$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=30°$，$AC=2\sqrt{3}$，则OE的长为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.2
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.2
答案
10. C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①根据弧$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$、AB是直径，结合垂径定理推论可得AB垂直CD；②利用同弧所对圆周角相等，由$∠ CDB=30°$推出$∠ CAB=30°$，再结合直径所对圆周角为直角，得到$Rt△ ACB$，通过三角函数计算出直径AB的长度，得到圆的半径；③根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得到$∠ COB=60°$，最后在$Rt△ OCE$中利用直角三角形的性质计算OE的长度。
【解析】
连接OC，
1. 由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为$\odot O$的直径，根据垂径定理推论可得：$AB⊥ CD$，即$∠ OEC=90°$；
2. $∠ CAB$与$∠ CDB$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，故$∠ CAB=∠ CDB=30°$；
3. 因为AB为直径，所以直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ACB$中，$AC=2\sqrt{3}$，$∠ CAB=30°$，则：
$\cos∠ CAB=\frac{AC}{AB}$，即$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=\frac{1}{2}AB=2$；
4. $∠ COB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$∠ CDB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，$∠ COB=2∠ CDB=60°$；
5. 在$Rt△ OCE$中，$∠ COE=60°$，$∠ OCE=30°$，因此$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理及推论，垂径定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形计算结合的常规综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关定理，快速找到图中的角度关系和直角三角形，进而通过边角关系计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：①根据弧$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$、AB是直径，结合垂径定理推论可得AB垂直CD；②利用同弧所对圆周角相等，由$∠ CDB=30°$推出$∠ CAB=30°$，再结合直径所对圆周角为直角，得到$Rt△ ACB$，通过三角函数计算出直径AB的长度，得到圆的半径；③根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得到$∠ COB=60°$，最后在$Rt△ OCE$中利用直角三角形的性质计算OE的长度。
【解析】
连接OC，
1. 由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为$\odot O$的直径，根据垂径定理推论可得：$AB⊥ CD$，即$∠ OEC=90°$；
2. $∠ CAB$与$∠ CDB$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，故$∠ CAB=∠ CDB=30°$；
3. 因为AB为直径，所以直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ACB$中，$AC=2\sqrt{3}$，$∠ CAB=30°$，则：
$\cos∠ CAB=\frac{AC}{AB}$，即$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=\frac{1}{2}AB=2$；
4. $∠ COB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$∠ CDB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，$∠ COB=2∠ CDB=60°$；
5. 在$Rt△ OCE$中，$∠ COE=60°$，$∠ OCE=30°$，因此$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理及推论，垂径定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形计算结合的常规综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关定理，快速找到图中的角度关系和直角三角形，进而通过边角关系计算线段长度。
【难度系数】
0.6
