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11 如图，AB为$\odot O$的直径，AC为$\odot O$的弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点. 过点D作$DE⊥ AB$于点E，延长DE交$\odot O$于点F. 若$AC=12$，$AE=3$，则$\odot O$的直径为（
A.10
B.13
C.15
D.16
（第11题）
C
）A.10
B.13
C.15
D.16
（第11题）答案
11.C
解析
【分析】
解题思路如下：①利用垂径定理，由$DE⊥AB$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，且$DE$是$DF$的一半；结合$D$是$\overset{\frown}{AC}$中点，可推得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，根据等弧对等弦得到$DF=AC=12$，即可求出$DE$的长度。②连接$AD$、$BD$，由$AB$是直径得$∠ ADB$为直角，结合$DE⊥AB$可证明$△ ADE∽△ DBE$，利用相似三角形的性质得到$DE^2=AE·EB$，代入已知数值求出$EB$，最后相加$AE$和$EB$即可得到直径$AB$的长度。
【解析】
1. 根据垂径定理：
∵$DE⊥AB$，$AB$为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，$DE=EF=\frac{1}{2}DF$。
2.
∵$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=2\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AF}=2\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$。同圆中等弧对应等弦，故$DF=AC=12$，因此$DE=\frac{1}{2}DF=6$。
3. 连接$AD$、$BD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。又
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ AED=∠ DEB=90°$，$∠ ADE+∠ DAE=90°$，$∠ DAE+∠ B=90°$，可推出$∠ ADE=∠ B$，因此$△ ADE ∽ △ DBE$。
4. 由相似三角形对应边成比例得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{EB}$，即$DE^2=AE· EB$。将$DE=6$，$AE=3$代入得：$6^2=3· EB$，解得$EB=12$。
5. 因此直径$AB=AE+EB=3+12=15$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，弧弦的等量关系，相似三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是通过弧的等量转化得到对应弦长相等，再结合相似三角形的性质求解线段长度，需要熟练掌握圆的基本性质和相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①利用垂径定理，由$DE⊥AB$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，且$DE$是$DF$的一半；结合$D$是$\overset{\frown}{AC}$中点，可推得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，根据等弧对等弦得到$DF=AC=12$，即可求出$DE$的长度。②连接$AD$、$BD$，由$AB$是直径得$∠ ADB$为直角，结合$DE⊥AB$可证明$△ ADE∽△ DBE$，利用相似三角形的性质得到$DE^2=AE·EB$，代入已知数值求出$EB$，最后相加$AE$和$EB$即可得到直径$AB$的长度。
【解析】
1. 根据垂径定理：
∵$DE⊥AB$，$AB$为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，$DE=EF=\frac{1}{2}DF$。
2.
∵$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=2\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AF}=2\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$。同圆中等弧对应等弦，故$DF=AC=12$，因此$DE=\frac{1}{2}DF=6$。
3. 连接$AD$、$BD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。又
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ AED=∠ DEB=90°$，$∠ ADE+∠ DAE=90°$，$∠ DAE+∠ B=90°$，可推出$∠ ADE=∠ B$，因此$△ ADE ∽ △ DBE$。
4. 由相似三角形对应边成比例得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{EB}$，即$DE^2=AE· EB$。将$DE=6$，$AE=3$代入得：$6^2=3· EB$，解得$EB=12$。
5. 因此直径$AB=AE+EB=3+12=15$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，弧弦的等量关系，相似三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是通过弧的等量转化得到对应弦长相等，再结合相似三角形的性质求解线段长度，需要熟练掌握圆的基本性质和相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.65
12 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=25°$，以点$C$为圆心、$BC$长为半径的圆交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为
$50°$
。答案
12.$50°$
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求圆心角$∠ BCD$的度数。首先可在$Rt△ ABC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ ABC$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ CBD$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等可求得$∠ CDB$的度数；最后利用三角形内角和定理即可算出$∠ BCD$的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=25°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ ABC=90°-∠ A=90°-25°=65°$。
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，
$\therefore △ CBD$是等腰三角形，$∠ CDB=∠ CBD=65°$。
在$△ CBD$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=180°-∠ CBD-∠ CDB=180°-65°-65°=50°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题为基础题型，解题的关键是抓住“同圆半径相等”这一隐含条件，结合三角形的角度计算相关知识即可求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求圆心角$∠ BCD$的度数。首先可在$Rt△ ABC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ ABC$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ CBD$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等可求得$∠ CDB$的度数；最后利用三角形内角和定理即可算出$∠ BCD$的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=25°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ ABC=90°-∠ A=90°-25°=65°$。
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，
$\therefore △ CBD$是等腰三角形，$∠ CDB=∠ CBD=65°$。
在$△ CBD$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=180°-∠ CBD-∠ CDB=180°-65°-65°=50°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题为基础题型，解题的关键是抓住“同圆半径相等”这一隐含条件，结合三角形的角度计算相关知识即可求解。
【难度系数】
0.7
13 教材变式题 如图，A，B是$\odot O$上的点，$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点。若$\odot O$的半径为2，则四边形ACBO的面积为
$2\sqrt{3}$
。答案
13.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先考虑添加辅助线OC，利用弧中点的性质：同圆中等弧对应的圆心角相等，结合已知∠AOB=120°，可推出∠AOC=∠BOC=60°；再根据圆的半径相等，可知△AOC和△BOC都是等边三角形，最后将四边形ACBO的面积转化为两个等边三角形的面积之和计算即可。
【解析】
解：连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$，
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=OB=2$，
∴$△ AOC$和$△ BOC$均为有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长），
则$S_{△ AOC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，$S_{△ BOC}=\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形ACBO}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定与性质；图形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是正确添加辅助线，将未知的四边形面积转化为熟悉的等边三角形面积求解，是圆中面积计算类的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑添加辅助线OC，利用弧中点的性质：同圆中等弧对应的圆心角相等，结合已知∠AOB=120°，可推出∠AOC=∠BOC=60°；再根据圆的半径相等，可知△AOC和△BOC都是等边三角形，最后将四边形ACBO的面积转化为两个等边三角形的面积之和计算即可。
【解析】
解：连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$，
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=OB=2$，
∴$△ AOC$和$△ BOC$均为有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长），
则$S_{△ AOC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，$S_{△ BOC}=\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形ACBO}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定与性质；图形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是正确添加辅助线，将未知的四边形面积转化为熟悉的等边三角形面积求解，是圆中面积计算类的典型考法。
【难度系数】
0.7
14 如图，AB是$\odot O$的直径，M，N分别是OA，OB的中点，点C，D在$\odot O$上，$CM⊥ AB$，$DN⊥ AB$. 试判断$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BD}$之间的数量关系，并说明理由.
答案
14.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$ 理由:连接$CO,DO$. $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore OA=OB$. $\because M,N$分别是$OA,OB$的中点,$\therefore OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$. $\therefore OM = ON$. $\because CM ⊥ AB, DN ⊥ AB$，$\therefore ∠ CMO=∠ DNO=90°$. 又$\because OC = OD,\therefore \mathrm{Rt}△ CMO≌\mathrm{Rt}△ DNO.\therefore ∠ COA=∠ DOB.\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
解析
【分析】
要判断同圆中两条弧的数量关系，根据圆心角与弧的关系定理，只需证明两条弧所对的圆心角相等即可。首先连接半径OC、OD，构造包含两个圆心角的直角三角形，再结合已知条件证明两个直角三角形全等，得到对应圆心角相等，进而推出弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由如下：
连接$CO,DO$.
$\because AB$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore OA=OB$.
$\because M,N$分别是$OA,OB$的中点，$\therefore OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$，$\therefore OM = ON$.
$\because CM ⊥ AB, DN ⊥ AB$，$\therefore ∠ CMO=∠ DNO=90°$，即$△ CMO$和$△ DNO$都是直角三角形.
又$\because OC = OD$（都是$\odot O$的半径），$\therefore \mathrm{Rt}△ CMO≌\mathrm{Rt}△ DNO(\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ COA=∠ DOB$.
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【答案】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
圆的基本性质；全等三角形判定；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与全等三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接半径构造全等三角形，利用同圆中圆心角与弧的对应关系推导结论，有助于锻炼学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断同圆中两条弧的数量关系，根据圆心角与弧的关系定理，只需证明两条弧所对的圆心角相等即可。首先连接半径OC、OD，构造包含两个圆心角的直角三角形，再结合已知条件证明两个直角三角形全等，得到对应圆心角相等，进而推出弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由如下：
连接$CO,DO$.
$\because AB$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore OA=OB$.
$\because M,N$分别是$OA,OB$的中点，$\therefore OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$，$\therefore OM = ON$.
$\because CM ⊥ AB, DN ⊥ AB$，$\therefore ∠ CMO=∠ DNO=90°$，即$△ CMO$和$△ DNO$都是直角三角形.
又$\because OC = OD$（都是$\odot O$的半径），$\therefore \mathrm{Rt}△ CMO≌\mathrm{Rt}△ DNO(\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ COA=∠ DOB$.
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【答案】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
圆的基本性质；全等三角形判定；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与全等三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接半径构造全等三角形，利用同圆中圆心角与弧的对应关系推导结论，有助于锻炼学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
15 如图，以$□ ABCD$的一个顶点A为圆心、AB长为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，BA的延长线交$\odot A$于点G. 判断$\overset{\frown}{EF}$和$\overset{\frown}{FG}$是否相等，并说明理由。
答案
15.$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$ 理由:连接$AE$. $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD // BC$. $\therefore ∠ GAD = ∠ GBC, ∠ DAE = ∠ AEB$. $\because AB=AE,\therefore ∠ GBC = ∠ AEB. \therefore ∠ DAE = ∠ GAD. \therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.
解析
【分析】
要判断同圆中两段弧是否相等，可通过证明两段弧所对的圆心角相等来推导。首先明确$\overset{\frown}{EF}$对应的圆心角为$∠ EAD$，$\overset{\frown}{FG}$对应的圆心角为$∠ GAD$，因此解题目标是证明$∠ EAD=∠ GAD$。我们可以连接辅助线AE，结合平行四边形对边平行的性质得到角的等量关系，再利用圆的半径相等推出$△ ABE$是等腰三角形，通过角的等量代换即可证明两个圆心角相等，进而得到弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由如下：
连接$AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore ∠ GAD = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ DAE = ∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB$、$AE$均为$\odot A$的半径，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore ∠ B = ∠ AEB$（等腰三角形两底角相等）。
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAD$（等量代换）。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
【答案】
$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由见解析。
【知识点】
圆心角与弧的关系；平行四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线，将弧相等的判定转化为圆心角相等的判定，再结合平行四边形、等腰三角形的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.7
要判断同圆中两段弧是否相等，可通过证明两段弧所对的圆心角相等来推导。首先明确$\overset{\frown}{EF}$对应的圆心角为$∠ EAD$，$\overset{\frown}{FG}$对应的圆心角为$∠ GAD$，因此解题目标是证明$∠ EAD=∠ GAD$。我们可以连接辅助线AE，结合平行四边形对边平行的性质得到角的等量关系，再利用圆的半径相等推出$△ ABE$是等腰三角形，通过角的等量代换即可证明两个圆心角相等，进而得到弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由如下：
连接$AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore ∠ GAD = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ DAE = ∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB$、$AE$均为$\odot A$的半径，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore ∠ B = ∠ AEB$（等腰三角形两底角相等）。
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAD$（等量代换）。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
【答案】
$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由见解析。
【知识点】
圆心角与弧的关系；平行四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线，将弧相等的判定转化为圆心角相等的判定，再结合平行四边形、等腰三角形的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.7
16 如图，$\odot O$的半径$OA⊥ OC$，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$OA=4$。
（1）求$∠ COD$的度数；
（2）求弦AD的长；
（3）已知P是半径OC上一动点，求$AP+PD$的最小值。
（1）求$∠ COD$的度数；
（2）求弦AD的长；
（3）已知P是半径OC上一动点，求$AP+PD$的最小值。
答案
16. (1) $\because OA⊥ OC,\therefore ∠ AOC=90°.\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ AOD=2∠ COD. \therefore ∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$
(2) 由(1),知$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°$. $\because OA=OD,\therefore △ AOD$为等边三角形. $\therefore AD=OA=4$
(3) 如图,过点D作$DE⊥ OC$,交$\odot O$于点E,连接AE,交OD,OC于点B,P,连接DP,OE,则此时$AP+PD$的值最小.根据圆的对称性,易得E是点D关于OC的对称点,OC是DE的垂直平分线,$\therefore PD = PE. \therefore AP + PD = AP + PE = AE$. 由(1),知$∠ COD=30°,\therefore ∠ COE=∠ COD=30°. \therefore ∠ DOE=60°. \because ∠ AOD=60°,\therefore ∠ DOE=∠ AOD. \because AO=EO,\therefore OB⊥ AE. \therefore AB = BE$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$\because ∠ AOB = 60°,\therefore ∠ OAB=30°. \because OA=4,\therefore OB=\frac{1}{2}OA=2. \therefore AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=2\sqrt{3}. \therefore BE=AB=2\sqrt{3}. \therefore AE=AB+BE=4\sqrt{3}$,即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题可分3小问逐步求解：
（1）求$∠ COD$的度数：先由$OA⊥ OC$得到圆心角$∠ AOC=90°$，根据同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$可得$∠ AOD=2∠ COD$，两个角相加等于$∠ AOC$，即可求出$∠ COD$的大小。
（2）求弦$AD$的长：由第一问结论先求出$∠ AOD$的度数，又$OA$、$OD$都是圆的半径，长度相等，可判定$△ AOD$是等边三角形，即可得到$AD$的长度。
（3）求$AP+PD$的最小值：属于轴对称最短路径问题，$OC$为对称轴，根据圆的对称性找到点$D$关于$OC$的对称点$E$，根据轴对称性质可得$PD=PE$，因此$AP+PD=AP+PE$，当$A$、$P$、$E$三点共线时和最小，即最小值为$AE$的长度，再结合圆心角的度数和勾股定理计算$AE$即可。
【解析】
（1）$\because OA⊥ OC$，$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because$同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠ AOD=2∠ COD$。
$\therefore ∠ COD+∠ AOD=3∠ COD=∠ AOC=90°$，解得$∠ COD=\frac{1}{3}×90°=30°$。
（2）由（1）得$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°$。
$\because OA$、$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OD$，
$\therefore △ AOD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore AD=OA=4$。
（3）如图，过点$D$作$DE⊥ OC$，交$\odot O$于点$E$，连接$AE$，交$OD$、$OC$于点$B$、$P$，连接$DP$、$OE$，则此时$AP+PD$的值最小。
根据圆的轴对称性，$OC$是$DE$的垂直平分线，因此$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$\therefore PD=PE$，
$\therefore AP+PD=AP+PE=AE$，即$AE$的长度就是$AP+PD$的最小值。
由（1）知$∠ COD=30°$，由对称性得$∠ COE=∠ COD=30°$，$\therefore ∠ DOE=60°$，
又$\because ∠ AOD=60°$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=120°$，
$\because AO=EO=4$，$\therefore △ AOE$是等腰三角形，$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OB=\frac{1}{2}OA=2$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AB=4\sqrt{3}$，即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ COD=30°$；
(2) $AD=4$；
(3) $AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定与性质；轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质以及最短路径问题，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问结合圆的对称性转化最短路径问题是解题的关键，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
本题可分3小问逐步求解：
（1）求$∠ COD$的度数：先由$OA⊥ OC$得到圆心角$∠ AOC=90°$，根据同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$可得$∠ AOD=2∠ COD$，两个角相加等于$∠ AOC$，即可求出$∠ COD$的大小。
（2）求弦$AD$的长：由第一问结论先求出$∠ AOD$的度数，又$OA$、$OD$都是圆的半径，长度相等，可判定$△ AOD$是等边三角形，即可得到$AD$的长度。
（3）求$AP+PD$的最小值：属于轴对称最短路径问题，$OC$为对称轴，根据圆的对称性找到点$D$关于$OC$的对称点$E$，根据轴对称性质可得$PD=PE$，因此$AP+PD=AP+PE$，当$A$、$P$、$E$三点共线时和最小，即最小值为$AE$的长度，再结合圆心角的度数和勾股定理计算$AE$即可。
【解析】
（1）$\because OA⊥ OC$，$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because$同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠ AOD=2∠ COD$。
$\therefore ∠ COD+∠ AOD=3∠ COD=∠ AOC=90°$，解得$∠ COD=\frac{1}{3}×90°=30°$。
（2）由（1）得$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°$。
$\because OA$、$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OD$，
$\therefore △ AOD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore AD=OA=4$。
（3）如图，过点$D$作$DE⊥ OC$，交$\odot O$于点$E$，连接$AE$，交$OD$、$OC$于点$B$、$P$，连接$DP$、$OE$，则此时$AP+PD$的值最小。
根据圆的轴对称性，$OC$是$DE$的垂直平分线，因此$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$\therefore PD=PE$，
$\therefore AP+PD=AP+PE=AE$，即$AE$的长度就是$AP+PD$的最小值。
由（1）知$∠ COD=30°$，由对称性得$∠ COE=∠ COD=30°$，$\therefore ∠ DOE=60°$，
又$\because ∠ AOD=60°$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=120°$，
$\because AO=EO=4$，$\therefore △ AOE$是等腰三角形，$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OB=\frac{1}{2}OA=2$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AB=4\sqrt{3}$，即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ COD=30°$；
(2) $AD=4$；
(3) $AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定与性质；轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质以及最短路径问题，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问结合圆的对称性转化最短路径问题是解题的关键，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
