登录
11 如图，AB是$\odot O$的弦，且$AB=6$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是优弧AB上的一点，$∠ ADC=30°$，则圆心O到弦AB的距离为 （
A.$3\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C
）A.$3\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
11. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件构造辅助线：连接OA、OC，设OC交AB于点E。首先利用垂径定理，由C是弧AB中点可得OC垂直平分AB，因此圆心到AB的距离就是OE的长度，同时得到半弦长AE=3。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ADC=30°推出∠AOC=60°。最后在直角三角形OAE中利用三角函数即可求出OE的长度。
【解析】
解：连接OA、OC，设OC与AB交于点E。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC为$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理得：$OC⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，线段OE的长即为圆心O到弦AB的距离。
∵ $∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ 由圆周角定理得：$∠ AOC=2∠ ADC=2×30°=60°$。
在$Rt△ OAE$中，$∠ AEO=90°$，$∠ AOE=60°$，$AE=3$，
$\tan∠ AOE=\frac{AE}{OE}$，即$\tan60°=\frac{3}{OE}$，
解得$OE=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆性质应用的常考题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的基本性质得到线段长度和角度关系，再利用三角函数求解目标量，解题思路清晰，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件构造辅助线：连接OA、OC，设OC交AB于点E。首先利用垂径定理，由C是弧AB中点可得OC垂直平分AB，因此圆心到AB的距离就是OE的长度，同时得到半弦长AE=3。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ADC=30°推出∠AOC=60°。最后在直角三角形OAE中利用三角函数即可求出OE的长度。
【解析】
解：连接OA、OC，设OC与AB交于点E。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC为$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理得：$OC⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，线段OE的长即为圆心O到弦AB的距离。
∵ $∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ 由圆周角定理得：$∠ AOC=2∠ ADC=2×30°=60°$。
在$Rt△ OAE$中，$∠ AEO=90°$，$∠ AOE=60°$，$AE=3$，
$\tan∠ AOE=\frac{AE}{OE}$，即$\tan60°=\frac{3}{OE}$，
解得$OE=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆性质应用的常考题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的基本性质得到线段长度和角度关系，再利用三角函数求解目标量，解题思路清晰，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
12 如图，AB是$\odot O$的弦，$∠ AOB=120°$，$OC⊥ AB$，垂足为C，OC的延长线交$\odot O$于点D。若$∠ APD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，则$∠ APD$的度数是________。
答案
12. $30°$
解析
【分析】
要求圆周角∠APD的度数，根据圆周角定理，需先求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数。已知△AOB是等腰三角形（OA、OB均为⊙O半径），且OC⊥AB，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出OC平分∠AOB，进而求出∠AOD的度数，再代入圆周角定理即可得到∠APD的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵OC⊥AB，∠AOB=120°，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得OD平分∠AOB，
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵∠APD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，∠AOD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴$∠ APD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将圆周角的求解转化为对应圆心角的求解，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求圆周角∠APD的度数，根据圆周角定理，需先求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数。已知△AOB是等腰三角形（OA、OB均为⊙O半径），且OC⊥AB，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出OC平分∠AOB，进而求出∠AOD的度数，再代入圆周角定理即可得到∠APD的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵OC⊥AB，∠AOB=120°，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得OD平分∠AOB，
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵∠APD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，∠AOD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴$∠ APD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将圆周角的求解转化为对应圆心角的求解，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13 如图,点A,B,C在⊙O上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC=
$2\sqrt{2}$
.答案
13. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用直径的性质构造直角：连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACD=90°；再根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC与∠ADC相等，结合已知∠ABC=∠DAC，可推出∠DAC=∠ADC，即△ACD为等腰直角三角形，最后结合AD的长度利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC，
又
∵∠ABC=∠DAC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=4，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入CD=AC，AD=4，得$2AC^2=16$，
解得$AC=2\sqrt{2}$（舍去负根）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是合理添加辅助线，利用直径的性质构造直角三角形，再结合圆周角的等量关系判断三角形形状求解，难度不大，需要熟练掌握圆周角相关推论的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径的性质构造直角：连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACD=90°；再根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC与∠ADC相等，结合已知∠ABC=∠DAC，可推出∠DAC=∠ADC，即△ACD为等腰直角三角形，最后结合AD的长度利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC，
又
∵∠ABC=∠DAC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=4，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入CD=AC，AD=4，得$2AC^2=16$，
解得$AC=2\sqrt{2}$（舍去负根）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是合理添加辅助线，利用直径的性质构造直角三角形，再结合圆周角的等量关系判断三角形形状求解，难度不大，需要熟练掌握圆周角相关推论的应用。
【难度系数】
0.7
14 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ ACD=30°$.
（1）求$∠ DAB$的度数.
（2）过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，DE的延长线交$\odot O$于点F. 若$AB=4$，求DF的长.
（1）求$∠ DAB$的度数.
（2）过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，DE的延长线交$\odot O$于点F. 若$AB=4$，求DF的长.
答案
14. (1) 连接BD.$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD},\therefore ∠ B=∠ ACD=30°. \because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$∠ DAB=90°-∠ B=60°$
(2) $\because ∠ ADB=90°,∠ B=30°,AB=4$,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$DB=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}. \because DE⊥ AB,∠ B=30°, \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DEB$中,$DE=\frac{1}{2}DB=\sqrt{3}. \because DE⊥ AB,AB$是$\odot O$的直径,$\therefore DF=2DE=2\sqrt{3}$
(2) $\because ∠ ADB=90°,∠ B=30°,AB=4$,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$DB=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}. \because DE⊥ AB,∠ B=30°, \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DEB$中,$DE=\frac{1}{2}DB=\sqrt{3}. \because DE⊥ AB,AB$是$\odot O$的直径,$\therefore DF=2DE=2\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）要求∠DAB的度数，已知∠ACD=30°，可利用“同弧所对的圆周角相等”将∠ACD转化为同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角∠B，再结合“直径所对的圆周角是直角”得到△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解。
（2）要求DF的长，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得DF=2DE，因此只需先求出DE的长度即可。先在Rt△ADB中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出BD的长，再在Rt△DEB中利用含30°角的直角三角形性质求出DE，最后乘2得到DF的长度。
【解析】
（1）连接BD，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴$∠B=∠ACD=30°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ADB=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB=90°-∠B=90°-30°=60°$。
（2）
∵$∠ADB=90°，∠B=30°，AB=4$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，由勾股定理得：
$DB=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵$DE⊥AB，∠B=30°$，
∴在$\mathrm{Rt}△DEB$中，$DE=\frac{1}{2}DB=\sqrt{3}$，
∵$DE⊥AB$，AB是$\odot O$的直径，
∴由垂径定理得：$DF=2DE=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DAB=60°}$；（2）$\boldsymbol{DF=2\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理及推论，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是熟练运用圆周角相关推论构造直角三角形，结合直角三角形的性质和垂径定理逐步推导，考查的都是圆章节的核心基础知识点，解题时注意辅助线的合理添加。
【难度系数】
0.7
（1）要求∠DAB的度数，已知∠ACD=30°，可利用“同弧所对的圆周角相等”将∠ACD转化为同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角∠B，再结合“直径所对的圆周角是直角”得到△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解。
（2）要求DF的长，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得DF=2DE，因此只需先求出DE的长度即可。先在Rt△ADB中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出BD的长，再在Rt△DEB中利用含30°角的直角三角形性质求出DE，最后乘2得到DF的长度。
【解析】
（1）连接BD，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴$∠B=∠ACD=30°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ADB=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB=90°-∠B=90°-30°=60°$。
（2）
∵$∠ADB=90°，∠B=30°，AB=4$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，由勾股定理得：
$DB=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵$DE⊥AB，∠B=30°$，
∴在$\mathrm{Rt}△DEB$中，$DE=\frac{1}{2}DB=\sqrt{3}$，
∵$DE⊥AB$，AB是$\odot O$的直径，
∴由垂径定理得：$DF=2DE=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DAB=60°}$；（2）$\boldsymbol{DF=2\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理及推论，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是熟练运用圆周角相关推论构造直角三角形，结合直角三角形的性质和垂径定理逐步推导，考查的都是圆章节的核心基础知识点，解题时注意辅助线的合理添加。
【难度系数】
0.7
15 已知A,B,C,D是⊙O上的四个点.
（1）如图①,若∠ADC=∠BCD=90°,
AD=CD,求证:AC⊥BD;
（2）如图②,若AC⊥BD,垂足为E,AB=
2,DC=4,求⊙O的半径.
（1）如图①,若∠ADC=∠BCD=90°,
AD=CD,求证:AC⊥BD;
（2）如图②,若AC⊥BD,垂足为E,AB=
2,DC=4,求⊙O的半径.
答案
15. (1) $\because ∠ ADC=∠ BCD=90°,\therefore AC,BD$是$\odot O$的直径，且交点为圆心O.$\because AD=CD,AO=CO,\therefore AC⊥ BD$
(2) 连接CO并延长,交$\odot O$于点K,连接DK,BC,则$∠ KDC=90°.$$\therefore ∠ K+∠ KCD=90°. \because AC⊥ BD,\therefore ∠ ACB+∠ EBC=90°. \because ∠ K=∠ EBC,\therefore ∠ KCD=∠ ACB. \therefore \overset{\frown}{DK}=\overset{\frown}{AB}.$$\therefore DK=AB=2.$ 在$\mathrm{Rt}△ KCD$中,$\because DC=4,DK=2,\therefore KC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}. \therefore \odot O$的半径为$\sqrt{5}$
(2) 连接CO并延长,交$\odot O$于点K,连接DK,BC,则$∠ KDC=90°.$$\therefore ∠ K+∠ KCD=90°. \because AC⊥ BD,\therefore ∠ ACB+∠ EBC=90°. \because ∠ K=∠ EBC,\therefore ∠ KCD=∠ ACB. \therefore \overset{\frown}{DK}=\overset{\frown}{AB}.$$\therefore DK=AB=2.$ 在$\mathrm{Rt}△ KCD$中,$\because DC=4,DK=2,\therefore KC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}. \therefore \odot O$的半径为$\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AC、BD均为⊙O的直径，交点即为圆心O；再结合已知AD=CD，可知△ADC是等腰三角形，O是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AC⊥BD。
（2）解题思路：要求⊙O的半径，可先求直径，因此构造过点C的直径CK，借助直径所对圆周角为直角得到Rt△KDC；再利用AC⊥BD的条件和圆周角定理，推出∠KCD=∠ACB，进而得到弧DK=弧AB，即DK=AB=2；最后在Rt△KDC中用勾股定理求出直径CK的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠ADC=∠BCD=90°，
∴ AC、BD是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），且AC与BD的交点为圆心O，
∴ AO=CO，
又
∵ AD=CD，
∴ DO是等腰△ADC底边AC上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，DO⊥AC，即AC⊥BD。
（2）解：
连接CO并延长，交⊙O于点K，连接DK、BC，
∵ CK是⊙O的直径，
∴ ∠KDC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴ ∠K + ∠KCD = 90°，
∵ AC⊥BD，垂足为E，
∴ ∠BEC=90°，即∠ACB + ∠EBC = 90°，
∵ ∠K和∠EBC都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠K=∠EBC，
∴ ∠KCD=∠ACB，
∴ 弧DK=弧AB（相等的圆周角所对的弧相等），
∴ DK=AB=2，
在Rt△KCD中，DC=4，DK=2，由勾股定理得：
$KC = \sqrt{DK^2 + DC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
∴ ⊙O的半径为$KC÷2 = \sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明成立；
（2）$\boxed{\sqrt{5}}$
【知识点】
圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题围绕圆的基本性质考查，第一问难度较低，结合圆周角推论和等腰三角形性质即可求证；第二问的解题关键是合理构造直径，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，考查了辅助线的构造能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）解题思路：首先根据90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AC、BD均为⊙O的直径，交点即为圆心O；再结合已知AD=CD，可知△ADC是等腰三角形，O是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AC⊥BD。
（2）解题思路：要求⊙O的半径，可先求直径，因此构造过点C的直径CK，借助直径所对圆周角为直角得到Rt△KDC；再利用AC⊥BD的条件和圆周角定理，推出∠KCD=∠ACB，进而得到弧DK=弧AB，即DK=AB=2；最后在Rt△KDC中用勾股定理求出直径CK的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠ADC=∠BCD=90°，
∴ AC、BD是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），且AC与BD的交点为圆心O，
∴ AO=CO，
又
∵ AD=CD，
∴ DO是等腰△ADC底边AC上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，DO⊥AC，即AC⊥BD。
（2）解：
连接CO并延长，交⊙O于点K，连接DK、BC，
∵ CK是⊙O的直径，
∴ ∠KDC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴ ∠K + ∠KCD = 90°，
∵ AC⊥BD，垂足为E，
∴ ∠BEC=90°，即∠ACB + ∠EBC = 90°，
∵ ∠K和∠EBC都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠K=∠EBC，
∴ ∠KCD=∠ACB，
∴ 弧DK=弧AB（相等的圆周角所对的弧相等），
∴ DK=AB=2，
在Rt△KCD中，DC=4，DK=2，由勾股定理得：
$KC = \sqrt{DK^2 + DC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
∴ ⊙O的半径为$KC÷2 = \sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明成立；
（2）$\boxed{\sqrt{5}}$
【知识点】
圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题围绕圆的基本性质考查，第一问难度较低，结合圆周角推论和等腰三角形性质即可求证；第二问的解题关键是合理构造直径，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，考查了辅助线的构造能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
