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2.(真题·台州三门)【探究】如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式:________。(用含$a,b$的等式表示)
【应用】请应用这个公式完成下列各题:
(1)已知$4m^2 - n^2 = 12,2m + n = 4$,求$2m - n$的值。
(2)计算:$2025^2 - 2026×2024$。
【拓展】求$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)…(2^{32} + 1) + 1$的个位数字。
【应用】请应用这个公式完成下列各题:
(1)已知$4m^2 - n^2 = 12,2m + n = 4$,求$2m - n$的值。
(2)计算:$2025^2 - 2026×2024$。
【拓展】求$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)…(2^{32} + 1) + 1$的个位数字。
答案
【探究】$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【应用】(1)由$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$,得$a - b = (a^2 - b^2) ÷ (a + b)$,所以$2m - n = (4m^2 - n^2) ÷ (2m + n) = 12 ÷ 4 = 3$。
(2)$2025^2 - 2026 × 2024 = 2025^2 - (2025 + 1)(2025 - 1) = 2025^2 - (2025^2 - 1) = 2025^2 - 2025^2 + 1 = 1$。
【拓展】由$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$,得$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) \dots (2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$,所以$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) \dots (2^{32} + 1) + 1 = 2^{64} - 1 + 1 = 2^{64}$,因为$2^1$的个位数字为2,$2^2$的个位数字为4,$2^3$的个位数字为8,$2^4$的个位数字为6,$2^5$的个位数字为2……所以$2^n$的个位数字按2,4,8,6的规律循环出现,因为$64 ÷ 4 = 16$,所以$2^{64}$的个位数字为6,所以此题的结果为6。
【应用】(1)由$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$,得$a - b = (a^2 - b^2) ÷ (a + b)$,所以$2m - n = (4m^2 - n^2) ÷ (2m + n) = 12 ÷ 4 = 3$。
(2)$2025^2 - 2026 × 2024 = 2025^2 - (2025 + 1)(2025 - 1) = 2025^2 - (2025^2 - 1) = 2025^2 - 2025^2 + 1 = 1$。
【拓展】由$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$,得$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) \dots (2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$,所以$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) \dots (2^{32} + 1) + 1 = 2^{64} - 1 + 1 = 2^{64}$,因为$2^1$的个位数字为2,$2^2$的个位数字为4,$2^3$的个位数字为8,$2^4$的个位数字为6,$2^5$的个位数字为2……所以$2^n$的个位数字按2,4,8,6的规律循环出现,因为$64 ÷ 4 = 16$,所以$2^{64}$的个位数字为6,所以此题的结果为6。
